Première ES IE6 suites numériques S1 – 2014

Première ES
IE6 suites numériques
S1 – 2014-2015
Exercice 1 : (4 points)
On considère les suites u et v définies sur  par :
v0 = 0
un = 2n² - 1 et 
vn+1 = 2(vn)² - 1
1) Calculer les deux premiers termes de ces suites.
2) Calculer le quatrième terme de ces suites.
Exercice 2 : algorithme (3 points)
La suite (un) est définie par u0 = A et l’algorithme suivant permettant d’afficher les termes de u 1
à uN.
Saisir A
Saisir N
U prend la valeur A
Pour I variant de 1 à N
U prend la valeur 2*U – 1
Fin Pour
Afficher U
1) Déterminer u1, u2, u3 et u4 quand u0 = 3.
2) Exprimer un+1 en fonction de un.
3) Représenter les cinq premiers termes de la suites dans un repère (O ;I,J).
Exercice 3 : (3 points)
Etudier le sens de variation des suites définies sur  par :

un = -3n² - 4n – 5

vn =
2n + 1
n+3
1
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S2 – 2014-2015
Exercice 1 : (4 points)
On considère les suites u et v définies sur  par :
v0 = 1
un = 1 – 5n² et 
vn+1 = 1 - 5(vn)²
1) Calculer les deux premiers termes de ces suites.
2) Calculer le quatrième terme de ces suites.
Exercice 2 : algorithme (3 points)
La suite (vn) est définie par v0 = B et l’algorithme suivant permettant d’afficher les termes de
v1 à vN.
Saisir B
Saisir N
V prend la valeur B
Pour I variant de 1 à N
V prend la valeur 3*V + 1
Fin Pour
Afficher V
1) Déterminer v1, v2, v3 et v4 quand v0 = 1.
2) Exprimer vn+1 en fonction de vn.
3) Représenter les cinq premiers termes de la suites dans un repère (O ;I,J).
Exercice 3 : (3 points)
Etudier le sens de variation des suites définies sur  par :

un = 2n² + 3n + 1

vn =
3n + 2
n+1
2
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CORRECTION
S1 – 2014-2015
Exercice 1 : (4 points)
On considère les suites u et v définies sur  par :
v0 = 0
un = 2n² - 1 et 
vn+1 = 2(vn)² - 1
1) Calculer les deux premiers termes de ces suites.
2) Calculer le quatrième terme de ces suites.
1) u0 = 20² - 1 = 0 – 1 = -1
u1 = 21² - 1 = 2 – 1 = 1
v0 = 0
v1 = 2(v0)² - 1 = 20² - 1 = = -1
2) u3 = 23² - 1 = 29 – 1 = 17
Pour calculer v3, il faut d’abord calculer les termes précédents.
v2 = 2(v1)² - 1 = 2(-1)² - 1 = 2 – 1 = 1
v3 = 2(v2)² - 1 = 21² - 1 = 2 – 1 = 1
Remarque :
La suite (un) est définie de manière explicite.
La suite (vn) est définie de manière récurrente.
Exercice 2 : algorithme (4 points)
La suite (un) est définie par u0 = A et l’algorithme suivant permettant d’afficher les termes de
u1 à uN.
Saisir A
Saisir N
U prend la valeur A
Pour I variant de 1 à N
U prend la valeur 2*U – 1
Fin Pour
Afficher U
1) Déterminer u1, u2, u3 et u4 quand u0 = 3.
2) Exprimer un+1 en fonction de un.
3) Représenter les cinq premiers termes de la suites dans un repère (O ;I,J).
1) u1 = 2u0 – 1 = 23 – 1 = 6 – 1 = 5
u2 = 2u1 – 1 = 25 – 1 = 10 – 1 = 9
u3 = 29 – 1 = 18 – 1 = 17
u4 = 217 – 1 = 34 – 1 = 33
2) un+1 = 2un – 1
3
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CORRECTION
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Exercice 3 : (3 points)
Etudier le sens de variation des suites définies sur  par :

un = -3n² - 4n – 5

vn =
2n + 1
n+3
1ère méthode :
un+1 – un
= -3(n + 1)² - 4(n + 1) - 5 – (-3n² - 4n - 5)
= -3(n² + 2n + 1) – 4n - 4 - 5 + 3n² + 4n + 5
= -3n² - 6n – 3 – 4 + 3n²
= -6n – 7
Or pour n ≥ 0, -6n – 7 ≤ 0.
Donc un+1 – un ≤ 0
Donc un+1 ≤ un
Donc la suite (un) est décroissante.
2ème méthode :
un = f(n), f étant une fonction définie par f(x) = -3x² -4x + 5.
La suite (un) et la fonction f ont le même sens de variation sur [0 ; + [
Or f’(x) = -32x – 4 = -6x – 4
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CORRECTION
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Pour x ≥ 0, f’(x) ≤ 0.
Donc la fonction f est décroissante sur [0 ; + [.
Et la suite (un) est donc décroissante.
1ère méthode :
vn+1 – vn =
2(n + 1) + 1 2n + 1 (2n + 2 + 1)(n + 3) (2n + 1)(n + 4)
=
(n + 3) + 1 n + 3
(n + 4)(n + 3)
(n + 4)(n + 3)
vn+1 – vn =
2n² + 6n + 3n + 9 – (2n² + 8n + n + 4) 2n² + 9n + 9 – 2n² - 9n – 4
=
(n + 4)(n + 3)
(n + 4)(n + 3)
vn+1 – vn =
5
(n + 4)(n + 3)
Or, pour n ≥ 0, (n + 4)(n + 3) > 0.
Donc vn+1 – vn > 0
Donc vn+1 > vn
Donc la suite (vn) est croissante.
2ème méthode :
vn = g(n), g étant une fonction définie par g(x) =
2x + 1
.
x+3
La suite (vn) et la fonction g ont le même sens de variation sur [0 ; + [
g(x) =
u(x)
avec u(x) = 2x + 1 et v(x) = x + 3.
v(x)
u’(x) = 2 et v’(x) = 1
Or g’(x) =
u’(x)v(x) – u(x)v’(x) 2(x + 3) – (2x + 1) 2x + 6 – 2x – 1
5
=
=
=
(v(x))²
(x + 3)²
(x + 3)²
(x + 3)²
Or (x + 3)² donc g’(x) > 0 pour x  [0 ; + [.
Donc g est croissante sur [0 ; + [ et la suite (vn) est croissante.
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CORRECTION
S2
Exercice 1 : (4 points)
On considère les suites u et v définies sur  par :
v0 = 1
un = 1 – 5n² et 
vn+1 = 1 - 5(vn)²
1) Calculer les deux premiers termes de ces suites.
2) Calculer le quatrième terme de ces suites.
1) u0 = 1 - 50² = 1
v0 = 1
u1 = 1 - 51² = 1 – 5 = -4
v1 = 1 - 5(v0)² = 1 - 51² = 1 – 5 = -4
2) u3 = 1 - 53² = 1 - 59 = 1 – 45 = - 44
Pour calculer v3, il faut d’abord calculer les termes précédents.
v2 = 1 - 5(v1)² = 1 - 5(-4)² = 1 - 516 = 1 – 80 = - 79
v3 = 1 - 5(v2)² = 1 - 5(-79)² = 1 – 56241 = 1 – 31205 = - 31 204
Exercice 2 : algorithme (4 points)
La suite (vn) est définie par v0 = B et l’algorithme suivant permettant d’afficher les termes de
v1 à vN.
Saisir B
Saisir N
V prend la valeur B
Pour I variant de 1 à N
V prend la valeur 3*V + 1
Fin Pour
Afficher V
1) Déterminer v1, v2, v3 et v4 quand v0 = 1.
2) Exprimer vn+1 en fonction de vn.
3) Représenter les cinq premiers termes de la suites dans un repère (O ;I,J).
1) v1 = 3v0 + 1 = 31 + 1 = 4
v2 = 3v1 + 1 = 34 + 1 = 12 + 1 = 13
v3 = 3v2 + 1 = 313 + 1 = 39 + 1 = 40
v4 = 340 + 1 = 120 + 1 = 121
2) vn+1 = 3vn + 1
3)
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CORRECTION
S2
Exercice 3 : (3 points)
Etudier le sens de variation des suites définies sur  par :

un = 2n² + 3n + 1

vn =
3n + 2
n+1
1ère méthode :
un+1 – un
= 2(n + 1)² + 3(n + 1) + 1 – (2n² + 3n + 1)
= 2(n² + 2n + 1) + 3n + 3 + 1 – 2n² -3n – 1
= 2n² + 4n + 2 + 3 - 2n²
= 4n + 5
Or pour n ≥ 0, 4n + 5 > 0
Donc un+1 – un > 0
Donc un+1 > un
Donc la suite (un) est croissante.
2ème méthode :
un = f(n), f étant une fonction définie par f(x) = 2x² + 3x + 1
La suite (un) et la fonction f ont le même sens de variation sur [0 ; + [
Or f’(x) = 22x + 3 = 4x + 3
Or pour x ≥ 0, 4x + 3 > 0.
Donc f’(x) > 0.
7
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DS suites numériques
CORRECTION
S2
Donc la fonction f est croissante sur [0 ; + [ et la suite (un) est croissante.
1ère méthode :
vn+1 – vn =
3(n + 1) + 2 3n + 2 (3n + 5)(n + 1) (3n + 2)(n + 2)
–
=
n+1+1
n+1
(n + 2)(n + 1)
(n + 2)(n + 1)
vn+1 – vn =
3n² + 3n + 5n + 5 – (3n² + 6n + 2n + 4) 3n² + 8n + 5 – 3n² - 8n – 4
=
(n + 2)(n + 1)
(n +2)(n + 1)
vn+1 – vn =
1
(n + 2)(n + 1)
Or pour n ≥ 0, (n +2)(n+ 1) > 0 ; donc vn+1 – vn ≥ 0
Et vn+1 > vn.
Donc la suite (vn) est croissante.
2ème méthode :
vn = g(n), g étant une fonction définie par g(x) =
3x + 2
x+1
La suite (vn) et la fonction g ont le même sens de variation sur [0 ; + [
g(x) =
u(x)
avec u(x) = 3x + 2 et v(x) = x + 1
v(x)
u’(x) = 3 et v’(x) = 1
Or g’(x) =
u’(x)v(x) – u(x)v’(x) 3(x + 1) – (3x + 2)1 3x + 3 – 3x – 2
1
=
=
=
(v(x))²
(x + 1)²
(x + 1)²
(x + 1)²
Pour x ≥ 0, g’(x) > 0
Donc la fonction g est croissante sur [0 ;+ [et la suite (vn) est croissante.
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