Etude de Circuits avec les lois de Kirchhoff Ponts diviseurs de
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Etude de Circuits avec les lois de Kirchhoff Ponts diviseurs de
Supplément EXERCICES – EC1 – Circuit Electrique en Régime Stationnaire – Part1 Etude de Circuits avec les lois de Kirchhoff d) Déterminer U2 et U3 en fonction de E1, E2, R1, R2, R3 et R4 (Attention, peut-on utiliser le pont diviseur de tension ?) R1 Exercice 1 : Loi des noeuds Déterminer la valeur de I4 sur tous les schémas suivants : I1 = 2A I1 = 2A I0 = 5A Exercice 4 : Ponts Diviseurs de Tension I3 = 4A E I3 = 4A Exprimer U1 et U2 en fonction de e et des résistances : I4 F I1 = 2A I4 E2 Ponts diviseurs de tension et de courant I4 D I2 = -1A R3 E1 I2 = 1A C I4 I1 = 3A U3 I3 = 2A B I2 = 1A U2 I1 = 2A I3 = 4A I4 I2 = 1A A R4 R2 I2=-3A R1 U1 R2 U2 R1 U1 R2 U2 e R1 U1 e R2 R U2 Exercice 2 : Loi des mailles Calculer les valeurs des tensions U2 : U2 D2 U1 = 7V r U2 e D2 U1 = 7V D1 D3 D1 D4 U5 = 1V D3 D5 D2 U2 D1 Montage à vide U1 = 3V E R R E RS Us b) Déterminer I et U R1 I1 R U2 Montage en charge Us Exercice 3 : Etude de quelques circuits a) Déterminer I et I1 R2 Æ Exprimer la valeur de Us sur le montage à vide en fonction de E, R et de α, la position du potentiomètre Æ Tracer la courbe de Us en fonction de α. Que dire ? Æ Faire de même sur le montage en charge (avec RS en plus) Æ Tracer la nouvelle courbe de Us en fonction de α. Qu’est-ce qui a changé ? U3 = -2V D4 e U1 Exercice 5 : Montage potentiométrique U4 = 2V U4 = 2V R1 U3 = -1V D3 U3=4V r U R1 Exercice 6 : Pont de Wheatstone R3 R2 I I Æ Déterminer la tension U en fonction de E, R1, R2, R3 et R4 Æ En déduire une condition sur R1, R2, R3 et R4 pour que U = 0 R2 R1 R3 E I 20R E R2 E c) Déterminer les expressions de I, U, I1 et I2 R U 2R I1 4R R4 I2 12R U R3 E Exercice 7 : Pont diviseur de Courant Exercice 11 : Caractéristiques de résistance Æ Exprimer d’abord I1 et I2 en fonction de I et des résistances, puis en fonction de e et des résistances : I I1 I I2 I1 I2 R1 R2 U (en V) I (en mA) e e R1 R2 On mesure la caractéristique d’un résistor de résistance R inconnue (tension U et intensité I) : R3 0 0 3,24 0,5 4,09 0,7 5,35 1 5,97 1,1 7,19 1,4 9,46 1,8 Æ Représenter la caractéristique U=f(I) de la résistance Æ Calculer la valeur de R à partir de la courbe tracée Exercice 12 : Caractéristiques d’un générateur I r e I1 I2 R1 R2 I r e I1 I2 R1 R2 On mesure la caractéristique d’un générateur : I (en mA) U (en V) R3 0 24 5 23,5 10 23 15 22.5 20 22 25 21.5 30 21 Æ Représenter la caractéristique U=f(I) du générateur Æ Trouver l’équation du générateur et le modéliser Exercice 13 : Caractéristiques de résistances Résistances équivalentes On dispose d’une résistance R1 de 1kΩ et d’une résistance R2 de 2kΩ, que l’on peut disposer en série ou en parallèle. Exercice 8 : Résistances équivalentes Æ Tracer la caractéristique de ces deux résistances (pour U variant entre 0 et 10V) Æ Trouver les expressions des résistances équivalentes R1 R1 R2 R1 R1 R Æ Comment obtient-on graphiquement la caractéristique de l’association en série R1+ R2 ? Vérifier la pente de la courbe. R2 R Æ Comment obtient-on graphiquement la caractéristique de l’association parallèle R1//R2 ? Vérifier la pente de la courbe. R3 R1 R2 R4 R1 R3 R2 Petites questions de bon sens R4 R2 Exercice 14 : Luminosité de lampes R4 R Dans les montages suivants, composés de lampes identiques, comparez leur luminosité à l’intérieur de chacun des circuits. Indications : Æ la luminosité d’une lampe est d’autant plus importante que l’intensité du courant qui la traverse est grande Æ On pourra considérer en première approximation que les lampes se comportent comme des résistances. R4 12Ω R 4Ω 10Ω 6Ω 15Ω R R Exercice 9 : Résistances équivalentes On dispose de 6 résistances identiques de 200Ω. Comment faut-il les brancher pour obtenir une résistance équivalente : Æ 1,2kΩ Æ 300Ω Æ 150Ω A1 R E Caractéristiques de Résistances 5 2.2 10 4.5 15 7.0 20 9.0 A2 A2 A1 A2 A5 E On mesure la caractéristique d’un résistor de résistance R inconnue (tension U et intensité I) : 0 0.0 E2 E1 E Exercice 10 : Caractéristiques de résistance U (en V) I (en mA) A1 25 11.4 30 13.7 Æ Représenter la caractéristique U=f(I) de la résistance Æ Calculer la valeur de R à partir de la courbe tracée A1 E A2 A3 A1 A4 A3 A2 SOLUTION des EXERCICES – EC1 Exercice 3.1 : Caractéristique d’une résistance TD EC1 – Régime Permanent Exercice 1.1 : Loi des Nœuds ⎧I 0 = I 1 + I 2 ⎧I 2 = 3 A ⎧I 6 = I 0 ⎪ ⎪ ⎪ Loi des nœuds : , et ⎨I 4 = I 2 + I 5 ⇒ ⎨I 5 = −1A ⎨I 7 = I 5 ⎪I = I + I ⎪I = −2A ⎪I = −I 1 ⎩5 1 3 ⎩ 8 ⎩ 3 L’indication I 4 = 2 A signifie qu’à chaque seconde, il y a N= 2 ×1 Q I 4 ⋅T = = = 1,25.10+19 électrons qui traversent D4. e e 1,6.10−19 Exercice 1.2 : Loi des Mailles ⎧U 1 +U 2 = U 5 ⎧U 4 = − 6V Loi des mailles : ⎪U +U = U , ⇒ ⎪U = − 1V ⎨ 3 ⎨ 5 4 5 ⎪U = U +U ⎪U = − 5V 4 6 ⎩ 2 ⎩ 1 L’indication U 6 = 10V signifie qu’il y a une différence de Exercice 1.3 : Etude de Circuits E E ⎧ (Req à l'ensemble) ⎪I = R + R / /R = R1R2 ( 3 1 2) ⎪ + R a) ⎪ 3 R1 + R2 ⎨ ⎪ R2 R2 I= E (Diviseur de Courant) ⎪I 1 = R R R R + + ⎪⎩ 1 2 3 ( 1 R2 ) + R1R2 b) Avec un double pont diviseur de tension : r3 r3 + r 2 × ( r3 + r2 ) / / r1 E ( ( r3 + r2 ) / / r1 ) + r4 E1 + E 2 6R et I1 = 2E 1 − E 2 6R Exercice 2 : Ponts Diviseurs R1 ⎧ U1 = E a) Diviseurs de tension en n’oubliant pas r : ⎪ R1 + R2 + r ⎪ ⎨ R2 ⎪U = E ⎪⎩ 2 R1 + R2 + r R2 ⎧ b) Æ Avec I ' =I1 +I2, Diviseurs de courant : (1) ⎪⎪I 1 = R + R I ' 1 2 ⎨ R 1 I' (2) ⎪I 2 = ⎪⎩ R1 + R2 On divise (1) , ce qui donne I = R2 I 1 2 R1 On aurait pu directement trouver R1I 1 = R2I 2 = U R = U R … (2) 1 2 R3 Æ Soit I = R2 I ' = R2 × I (2 ponts diviseurs) 1 R1 + R2 R1 + R2 R3 + ( R1 / /R2 ) Soit directement I = 1 Æ Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE Æ Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points Æ Ordonnée à l’origine =12V=fém du générateur Æ Coefficient directeur r ≈ 200Ω ( R2 / /R3 ) I , ce qui revient au même R1 + ( R2 / /R3 ) Exercice 1 : Loi des Nœuds ⎧I 4 = I 2 − I 1 = −1A ⎪ ⎪I 4 = I 1 + I 2 − I 3 = −1A Toutes les lois des nœuds : ⎪I = −I − I − I = −5A ⎨4 1 2 3 ⎪I = I + I − I = 8A ⎪4 1 3 2 ⎪⎩I 4 = I 3 − I 2 + ( I 1 − I 0 ) = 4A Exercice 2 : Loi des Mailles ⎧U 2 = −U 1 −U 3 = −11V Toutes les lois des mailles : ⎪ ⎨U 2 =U 1 +U 3 −U 4 = 4V ⎪U =U +U +U −U = 2V 1 3 4 5 ⎩ 2 Exercice 3 : Etude de quelques circuits E E ⎧ (Req à l'ensemble) ⎪I = R + R / /R = R1R2 ( ) 3 1 2 ⎪ R3 + a) ⎪ R1 + R2 ⎨ ⎪ R2 R2 I= E (Diviseur de Courant) ⎪I 1 = R1 + R2 R3 ( R1 + R2 ) + R1R2 ⎪⎩ ⎧E 1 − 2RI 1 = 2RI 2 c) Lois de Kirchhoff : ⎪E − 2RI = 2RI (3 éq, 3 inconnues) ⎨ 2 3 2 ⎪I + I = I 2 ⎩ 1 3 ⇒ I2 = Exercice 3.2 : Caractéristique d’un générateur linéaire Supplément EXERCICES – EC1 potentiel de 10V entre les deux bornes du dipôle. U = Æ Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE Æ Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points Æ Ordonnée à l’origine ≈ 0 et Coef directeur R ≈ 2,2kΩ E E ⎧ (Req à l'ensemble) ⎪I = R / / R + R = R R + R ( 2( 1 3) 2 1 3) ⎪ b) ⎪ R2 + ( R1 + R3 ) ⎨ ⎪ R3 ⎪U = E (Diviseur de Tension - R2 n'influe pas) R1 + R3 ⎪⎩ E E ⎧ ⎪I = R + ⎡20R / / 2R + 4R / /12R ⎤ = 5R (Req à l'ensemble) ( )⎦ ⎣ ⎪ ⎪ ⎡20R / / ( 2R + 4R / /12R ) ⎤⎦ 4R / /12R ⎪U = ⎣ × E ⎪ c) R + ⎡⎣20R / / ( 2R + 4R / /12R ) ⎤⎦ 2R + 4R / /12R ⎪ 4R 3R 12 ⎪ ⇒U = × E = E = 0,48E (Double Diviseur) ⎨ 5 5 25 R R ⎪ 1 12 3E 0,12E U ⎪ ⎪I 1 = 4R = 4R × 25 E = 25R = R ⎪ ⎪I = U = 1 × 12 E = E = 0,04E ⎪ 2 12R 12R 25 R 25R ⎪ ⎩ d) On note I le courant dans la branche du milieu. On a nécessairement I = 0 d’après la loi des nœuds, puisque le courant qui sort est égal au courant qui rentre dans chacun des générateurs. Les deux circuits sont donc indépendants et on peut appliquer le pont diviseur de tension (comme si les résistances étaient en série…) Ainsi : U = 2 R2 E R1 + R2 1 et U = 3 Exercice 9 : Résistances équivalentes R3 E R3 + R4 2 R ⎧ U1 = 1 e b) ⎪ R1 + R2 ⎪ ⎨ ⎪U = R2 e ⎪⎩ 2 R1 + R2 R1 ⎧ ⎪U 1 = R + R + r e c) ⎪ 1 2 ⎨ R2 ⎪U = e ⎪⎩ 2 R1 + R 2 + r R1 ⎧ U1 = e d) ⎪ R1 + R 2 + r , idem… ⎪ ⎨ R2 ⎪U = e ⎪⎩ 2 R1 + R 2 + r = ... = Æ Association série : on a U=U1+U2, donc on additionne les droites point par point suivant les ordonnées (U). Par exemple pour I = 5mA, U=U1+U2=5V+10V=15V et ainsi de suite, La droite obtenue est plus pentue, ce qui correspond à un coefficient directeur R=R1+R2= Req. C’est logique !!! Æ Association parallèle : on a I=I1+I2, donc on additionne les droites point par point suivant les abscisses (I). Par exemple pour U = 5V, I=I1+I2=5mA+2,5mA=7,5mA et ainsi de suite, La droite obtenue est moins pentue, ce qui correspond à un coefficient directeur R = R / / R = R1R 2 = 2 Ω . C’est 1 2 eq ⎧ ( R2 / / R3 ) I ⎪I = b) ⎪ 1 R1 + ( R 2 / / R 3 ) (Attention) ⎨ ⎪ I = ( R1 / / R 3 ) I ⎪ 2 R + (R / /R ) 2 1 3 ⎩ c) et d) L’ajout de r ne change pas les expressions, mais juste la valeur de I, qui n’intervient pas ici… R1 + R 2 R2 ( R3 + R 4 ) R 2 + R3 + R 4 R R 2 g) = R Req = 2R / / = = R1 + R 4 + 2 1 2+ 2 5 ⎝ Exercice 14 : Luminosité de lampes a) I égal dans la branche Î Même luminosité ⎠ R2R4 R 2R 2 + 4 2 h) Req = 10Ω 3 encore tout à fait logique !!! Exercice 8 : Résistances équivalentes R R1R2 a) Req = R1 + R2 b) R = R / / R = c) R = eq 1 2 eq 2 R1 + R2 R1R3 R d) R = 1 / / R = R ⎞ ⎛ 3 eq R eq = R1 + ⎜ 2 R 2 / / 4 ⎟ 2 R1 + 2R3 2 = R1 + ou encore 200Ω + (200Ω // 200Ω)… Î (200Ω + (200Ω // 200Ω)) // idem Æ R est la pente des courbes U = RI Par exemple pour U=10V, R=1kΩ, on a I=10mA 2 R2 ⎧ I1 = I a) ⎪ R ⎪ 1 + R2 ⎨ ⎪ I = R1 I ⎪⎩ 2 R1 + R 2 Req = R1 + R 4 + ( R 2 / / ( R 3 + R 4 ) ) Req = 150Ω Exercice 13 : Caractéristiques de Résistances Exercice 7 : Ponts diviseurs de courant e) c) Æ Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE Æ Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points Æ Ordonnée à l’origine =24V=fém du générateur Æ Coefficient directeur r ≈ 100Ω 3 f) Î (3×200Ω) // (3×200Ω) Exercice 12 : Caractéristique d’un générateur Exercice 6 : Pont de Wheatstone Æ Additivité : U = U − U = R 2 E − R 3 E R R R1 + R 2 R3 + R 4 R3 R2 Æ Condition : U = 0 ⇔ = ⇔ R2R4 = R1R3 R1 + R2 R3 + R4 2 Req = 300Ω Æ Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE Æ Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points Æ Ordonnée à l’origine ≈ 0 et Coef directeur R ≈ 5,6kΩ αE αR ⎛ αR ⎞ −⎜ 1+ ⎟ RS ⎝ RS ⎠ b) Exercice 11 : Caractéristiques de Résistances Æ En charge, la relation n’est plus linéaire (à tracer pt par pt) : US Î 6 résistances de 200Ω en série Æ Tracer la courbe / Prendre 2 points SUR LA COURBE Æ Calculer l’équation de la droite passant par ces 2 points Æ Ordonnée à l’origine ≈ 0 et Coef directeur R ≈ 2,2kΩ ⎛R ne modifie pas ⎞ ⎟ ⎜ ⎜la valeur de la tension ⎟ ⎟ ⎜e aux bornes de ⎜⎜l'association R1+R2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ Exercice 5 : Montage Potentiométrique αR Æ A vide : U = × E = α E Î Courbe linéaire S α R + (1 − α ) R (α R / / R S ) = ×E (α R / / RS ) + (1 − α ) R Req = 1,2k Ω Exercice 10 : Caractéristiques de Résistances Exercice 4 : Ponts diviseurs de tension R1 ⎧ U1 = e a) ⎪ R ⎪ 1 + R2 ⎨ ⎪U = R 2 e ⎪⎩ 2 R1 + R 2 a) b) Idem, même courant Î Même luminosité c) Même tension. Si les lampes sont identiques, il y aura le même I dans les deux. Î Même luminosité d) U1=U2+U3, donc L1 éclaire plus mais la tension se répartie de manière égale dans L2 et L3 Î L1 > L2 = L3 e) Dans la branche, on a même courant, qui se divise ensuite en 3 : I1 = I 5 = I 2 + I 3 + I 4 Donc puisque les lampes sont identiques : L1 = L5 > L2 = L3 = L4