6-1. Salaire et inflation - Cours d`économétrie et d`analyse des

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iI
CROISSANCE,
EXPONENTIELLES
ETLOGARITHMES
6-1.Salaire
et inflation
paran.
Unindividu
voitsonsalaire
augmenter
de5 o/o
l'évolution
a)Déterminer
dusalaire
surcinqans.
Déterminer
auboutdecombien
lesalaire
d'années
auracrûde50%.
b)lly a uneinflation
annuelle
de2 % :
puisaubout
1)déterminer
I'accroissement
dusalaire
entermes
réels
suruneannée,
dectnoans:
2) déterminer
auboutdecombien
d'années
le salaire
auracrûde50% entermes
réels.
Corrigé.
a)0ndonne
unesolution
littérale
:
- correspondant
Onnotea letauxd'augmentation
annuelle
dusalaire
multià unlacteur
p l i c a t i f+
: (a1) .
AuboutdeN années,
par:
compte
lenudelavaleur
a = 5 %,lesalaire
estmultiplié
( 1+ a ) N = 1 , 0 5 N .
Enparticulier,
par
encinqans,lesalaire
estmultiplié
=
1,0551,276,
soituneaugmentation
de27,6%.
0n cherche
maintenant
encombien
lesalaire
pur quelle
d'années
estdoublé,
c'est-à-dire
valeurdeN:
1,05N=2.
Larésolution
nécessite
decette
équation
l'emploi
delogarithmes.
Lorsque
l'inconnue
apparaît
il estavisédepasser
pourla
enexposant,
enlogarithmes
prend
transformer
(parexemple
enfacteur.0n
doncle logarithme
népérien)
desdeux
= 2)etonobtient
membres
(1,05N
del'équation
:
= N . In(1,05)
= In(2).
In(1,05N)
C'esluneéquation
dupremier
degré
enN,quel'onrésout
directement
surunecalculatrice
disposant
deslogarithmes
:
_
_ 0 , 6 9 3=
r In(2) =
_ ir/+, ' a '
'N' =
l n ( 1 , 0 5 )o r o *
Laréponse
estdonc14,2ans,mais
siI'augmentation
n'alieuqu'une
loisparan,lesalaire
n'aura
réellement
qu'après
ledouble
dépassé
dusalaire
inilial
15ans.
L'emploi
du logarithme
n'aurait
naturellement
décimal
rienchangé
: leslogarithmes
décimaux
quidonneN resterait
et népériens
sonleneffetproportionnels
et le rapport
le
même.
b) Cependant,
parle taux
surla mêmepériode,
il y a unehausse
desprix,mesurée
d inflation
b - correspondant
: (1+ b).
à unindice
Pourmesurer
l'évolution
réels,
du salaire
entermes
c'est-à-dire
entermedepouvoir
d'achat,
ondoitdonccorriger
l'évolution
nominale
dusalaire
de la variation
desprix(voir
applications
5-5.,
5€.el5-7.).
iïiH$ii:i
ETLOGARITHMES
EXPONENTIELLES
CROISSANCE,
APPLICATIONS
estainsi
b = 2 Ô/",
réel,compte
tenude la valeur
Lévolulion
enuneannée
dusalaire
mesurée
:
oarlefacteur
. 1+â 1,05
r=1j=ffi=t,ozs
réelle
laugmentation
estde2,9% paran.
pourcinqans:
multiplicatif
est: iN, cequidonne
PourNannées,
lefacteur
= 1,156,
is= 1,0295
réelle.
soit15,6%d'augmentation
vériJie
:
pourquelesalaire
réelaugmente
demoitié
nécessaires
Nd'années
Etlenombre
j N= 1 , 5 0 ,
comme
ena):
cequiserésout
= In(1,50),
In(i)N
d'ou:
Nln(t)=ln(1,50)
er:
)
0 )I n ( l , 5 0=
.*, =I"n ( 1 , 5=
13,e8.
ili;i' inid,.û
Laréoonse
estdonc: 14 ans.
6-2.Démographie
Préciser
elledouble.
detemps
encombien
triple
en30ans.Délerminer
Unepopulalion
failes.
leshypothèses
Conigé.
régulière.
0n nolei l'indi'
mulliplicative
quela population
croîld'unemanière
0n suppose
lacroissance
annuelle.
cemesurant
non
pariN,oirN peutprendre
desvaleurs
la population
estmultipliée
EnN années,
entières.
parlesdeuxrelations
:
Lénoncé
setraduit
;30-e.
jN=2:
pourquela population
nécessaire
d'années
estle nombre
dedélerminer,
oùN,qu'ils'agit
:
lesrelations
deviennent
parexemple
décimaux,
Enpassant
enlogarithmes,
double.
30.log(t)=log(3)
N.log(i)=log(2).
quelog(i)=
nous
indique
Lapremière
équation
#
:
onobtient
équation,
valeur
dansladeuxième
log(l)parcette
Enremplaçant
N = 3 0 . , l o g l ==2r a] , s .
l 0 g( 3)
en18,9années.
Lapopulation
double
CROISSANCE,
EXPONENTIELLES
ETLOGARITHMES
APPLICATIONS
6-3.Rente
fixeetspéculation
perçoit
perçu
a)Unrentier
aura-t-il
unerenteannuelle
de50000F.Combien
aprèsNver?
sements
annuels
par
b) Unopérateur
boursier
disposant
audépart
de10 000F obtient
desgainsde20o/o
Indiquer
I'expression
N années.
an.ll capitalise
sesgains.
desoncapital
après
quel'opérateur
perçoit
quele renc) Onsuppose
sonpremier
dividende
enmême
temps
tierperçoit
sapremière
rente.
Délerminer
lecapilal
encombien
d'années
deI'opérateur
aura
dépassé
celui
durentier.
Corrigé.
a)Après
Nversements
annuels
delarente
fixede50000F, lerentier
:
auraaccumulé
Rru=Nx50000(t).
b)Après1 année
degains
de20% à partir
des10 000F dedépart,
lecapital
estde:
C j= 1 00 0 0x 1 , 2 (0F ) .
Aorès
2 années.
il s'élève
à:
(F).
c2= 10000x 1,202
Après
N années,
il seradoncde:
(F).
cH= 10000x 1,20N
c)Ayant
coordonné
lesdeuxopérations,
oncherche
lapremière
année
N pourlaquelle
le
capital
Cxdépasse
larente
Rx:
10000x1,20N>N.50000.
inéquation
Cette
enN nepeutêtrerésolue
explicitement
consisle
à calculer
; unesolution
Rr etC*jusqu'à
cequelesecond
dépasse
le premier.
Cecalcul
estunpeulastidieux
avec
programmable
unecalculalrice
simple,
mais
rapide
surunecalculalrice
ouuntableur.
quec'estpourN = 27,soitaprès
quele capital
Ontrouve
27années,
dépasse
la rente
cumulée.
6-4.Intérêt
et inflation
a)Unplacement
rapporte
12%lapremière
année,
8 %laseconde
année
et9,5% latroisième.
Déterminer
letauxd'intérêt
annuel
moyen
deceplacement.
- 1%
b) Aucoursdesmêmes
le tauxd'inflation
années,
eslsuccessivemenl
de 2 o/o,
(baisse
desprix)
el3%.Déterminer
letauxd'inflation
annuel
moyen.
c) Déterminer
letauxd'intérêt
réelannuel
moyen
duplacement
étudié
ena).
Corrigé.
placéauxtauxindiqués
a)Uncapital
aveccapitalisation
desintérêts
suæessifs
estmultipliéaucours
destroisanspar:
1, 1 2x 1 , 0 x8 1 , 0 9 5
0n cherche
le tauxd'intérêl
annuel
moyen
r, c'est-à-dire
le tauxunique
le même
ayant
effet
surlestroisans.llvérifie
donc:
( 1+ r ) 3= 1 , 1 2 x 1 , 0x8 1 , 0 9 5 .
CROISSANCE,
EXPONENTIELLES
ETLOGARITHMES
APPLICATIONS
(1+ r) estlamoyenne
géomélrique
:
destroisIacleurs
= 1,098
(1+ r) = (1,12
x 1,08
x 1,095)1/3
;
ellelauxd'intérêt
moyen
rcherché
vaut: 9,8%.
géométrique
b) Onobtient
le tauxd'inflation
moyen
la moyenne
b en calculant
des
indices
corresoondanls
:
( 1+ b ) =( 1 , 0 2 x 0 , 9 19 ,x0 3 )=11/ 3, 0 1 3 .
Letauxd'inflation
moyen
estdoncde1,3%.
c) Letauxd'intérêt
moyen
calculé
nominal.
Pourobtenir
letaux
ena)estlelauxmoyen
réelmoyen
d'intérêt
c,il fautleconiger
moyenne
delavariation
desprix:
r+c=!099=1,084.
Letauxd'intérêt
réelmoyen
vaut: 8,4%.
EXEBCICES
D'ENTRAINEM
ENT
6-5.Démographie
a)Unepopulation
s'accroît
de3 % paran.Déterminer
encombien
detemps
elledouble.
b)Unepopulalion
double
envingt
ans.Délerminer
encombien
detemps
elletriple.
c) Unepopulation
s'accroît
de5 % pendant
troisans,puisde4,2% pendant
deuxanset
global
de3 %pendanl
unan.Déterminer
l'accroissemenl
etl'accroissement
moyen.
annuel
6-6.Placement
et inflation
Surunepériode
dequatre
rapporte
ans,unplacement
15% lapremière
année,25
% la
deuxième,
essuie
uneperte
de30%latroisième
20%ladernière
année
el rapporte
année.
Lecapital
foisréinvestis.
etlesgainssontchaque
globalsur
a)Déterminer
letauxd'intérêt
lapériode
etletaux
moyen.
d'intérêt
annuel
b)Lestauxd'inflation
successifs
ontété,aucours
:7 o/',8%,3%
decesquatre
années
global
et2 %.Déterminer
letauxd inllation
surlapériode
etlelauxannuel
moyen.
Déterminer
letauxd'intérêt
réelannuel
moven.