Boulier et Pascaline - Le calcul : art ou automatisme ?

Du doigt à la machine, le calcul
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Boulier et Pascaline - Le calcul : art ou automatisme ?
Introduction:
Le boulier est un instrument de calcul courant en Chine dès le XIIIe siècle. Il est toujours en
usage au Japon, en Russie, en Turquie, en Chine.
Son utilisation nécessite:
- une bonne dextérité manuelle!;
- une bonne compréhension du système de numération (nombres représentés par des
puissances de 10 et des demi-puissances de 10)!;
- le recours à des "astuces" : pour calculer rapidement, l'opérateur cherche
systématiquement à minimiser le nombre de boules manipulées. Pour cela, il applique
un certain nombre de règles, effectuant des échanges ou des calculs élémentaires.
La "Pascaline" - inventée au XVIIe siècle - réalise une mécanisation complète de l'addition.
Elle préfigure l'ordinateur en ce sens que l'algorithme d'addition est entièrement automatisé
(le délicat problème du report de retenue est résolu grâce au "sautoir", invention de Pascal).
L'utilisateur est "passif" : il n'a qu'à entrer les nombres et lire le résultat.
Le boulier chinois :
- Description
o Représentation d'un nombre:
La numération de position est respectée; chaque chiffre est représenté par un
nombre de boules. Une "quinaire" (boule de la partie supérieure) vaut 5
"unaires" (boules de la partie inférieure).
Pour "écrire"
un nombre, on
déplace les
boules
nécessaires
vers la barre
transversale
8017
Par exemple:
123
304
‡
‡
Représentation quasigéométrique des
nombres
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‡
125
Utilisation de quinaires
pour les chiffres 5 et 6
‡
462
o Addition de deux nombres:
Le premier nombre est écrit puis le deuxième est présenté en approchant de la
barre transversale les boules correspondantes (contrairement à la technique
d'addition écrite, les "chiffres" sont additionnés de gauche à droite).
Plusieurs cas peuvent se présenter:
1) 12 + 31
2) 12 + 34
46
= 43
34 = 33 + 1 L'opérateur entre 33 puis échange les 5
unaires contre 1 quinaire; il peut alors entrer l'unité qu'il
manquait pour obtenir 34.
MIEUX :
12 + 34
34 = 35 - 1 L'opérateur entre 35 puis
enlève l'unité en trop pour obtenir 34.
46
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3) 13 + 39
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39 = 37 + 2 L'opérateur entre 37 puis échange les 5 unaires 52
contre 1 quinaire; il peut alors entrer les 2 unités qu'il
manquait pour obtenir 39. Les 2 quinaires sont échangées
contre 1 unaire de degré supérieur (report de la retenue); les
5 unaires sont à leur tour échangée contre une quinaire.
MIEUX :
13 + 39 39 = 40 - 1 L'opérateur entre 40 puis
enlève l'unité en trop pour obtenir 39
-
52
Activité
o Représentation d'un nombre
1) lecture du boulier:
Le professeur affiche un nombre sur son boulier posé sur le
rétroprojecteur; reconnaissance par un élève (lecture du nombre) puis
par chacun (écriture sur ardoise).
Par exemple: 123 puis 1000, 402, 5, 555, 46, 309, 1602 etc…
2) écriture sur un pseudo-boulier:
• Le professeur écrit un nombre au tableau ; chacun doit le
représenter selon le «!formalisme boulier" (par exemple, celui
utilisé dans ce document). Correction avec le rétroprojecteur.
Par exemple: 421 puis 1002, 623, 950, 15702, etc.
• Idem mais cette fois, les nombres sont donnés oralement.
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Remarque: afin d'avoir unicité des représentations et de
minimiser les nombres de boules, on conviendra d'adopter la
règle suivante:
• échanger systématiquement 5
unaires contre 1 quinaire
•
échanger systématiquement 2
quinaires contre 1 unaire de
gauche.
3) Ecriture sur un boulier:
Chaque élève dispose maintenant d'un boulier.
• le professeur affiche un nombre sur son boulier posé sur le
rétroprojecteur puis il éteint l'appareil; chacun doit ré-écrire ce
nombre sur son boulier.
• Analogue au 2)
• Le professeur affiche un nombre sur son boulier; il faut
maintenant écrire le nombre suivant sur son boulier. Correction
avec le rétroprojecteur.
Par exemple: 23; 34; 9; 49; 12499, etc.
• Idem avec le nombre précédent. Par exemple: 14; 15; 10; 50;
43500, etc.
o Addition
L'objectif est d'amener les élèves à être astucieux en optimisant les déplacements
de boules pour calculer le plus vite possible !
1) Le professeur présente quelques additions au boulier (par exemple celles
décrites dans ce document). Discussion collective: il y a plusieurs possibilités
pour un même calcul. On s'efforcera donc de trouver la meilleure.
2) Exercices avec auto-correction:
• Chercher l'intrus:
o (additions sans retenues)
14 313 + 21 511
30 712 + 5 112
34 801 + 1 023
24 513 + 12 311
22 501 + 13 323
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o (additions avec retenues)
14051 + 36162
15063 + 25150
14151 + 26162
5407 + 34806
22664 + 17549
•
Retrouver les résultats
o (additions sans retenues)
23933 + 44052
44445 + 22540
22731 + 35254
65370 + 2515
43352 + 25643
57985
67885
67985
68995
66985
o (additions avec retenues)
1061 + 3957
4869 + 249
2534 + 3584
3379 + 1629
1043 + 2975
5118
5008
5018
4018
6018
o (en vrac)
- Liens internet:
http://www-cabri.imag.fr/nathalie/boulier/boulier.htm
http://members.aol.com/rigolmath/Boulier/boulier.htm
http://perso.wanadoo.fr/minhtruong.dang/boulier.htm
http://trucspourapprendre.free.fr/boulier/bou0.htm#lire
http://f.berthoux.free.fr/boulierchinois-div.htm
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La Pascaline :
- Analyse :
Soient A et B deux nombres à additionner s'écrivant A = am…a2a1a0 et B = bn…b2b1b0. Les
étapes de leur addition avec la machine de Pascal peuvent être résumées ainsi:
Décomposer A en unités, dizaines, centaines, etc.
Entrer les chiffres correspondants: a0 puis a1 puis a2 ..
puis am .
Décomposer B en unités, dizaines, centaines etc…
Pour chaque bi avec i allant de 0 à n
Entrer bi
Calculer ci = a i + bi
Si ci > 10, ajouter 1 à ai+1 et enlever 10 à ci
Lire sur la machine les chiffres c0, c1, c2 …cp .
Former le nombre C = cp… c2 c1 c0
Ecriture des
nombres
ou
encodage
Additions
chiffre à
chiffre et
reports de
retenues
Lecture du
résultat ou
décodage
HOMME
MACHINE
HOMME
Activité :
- L'idée
consiste à «!mettre en scène!» l' addition en affectant à différents personnages (élèves) les
fonctions primitives nécessaires (encodage, additions chiffre à chiffre, reports éventuels
de retenues, décodage). L'aspect mécanique de la Pascaline est rendu par le fait que
chaque personnage obéit à un scénario strict: pas de place ici aux initiatives, encore moins
à l'improvisation.
-
Concrètement :
Le professeur donne à l'élève E deux nombres A et B écrits.
E transmet à chaque élève Mi son premier chiffre a i.
E s'adresse à M1 pour lui donner son second chiffre b1.
Il attend que M1 ait transmis sa retenue éventuelle à M2 puis il
s'adresse à M2 pour lui transmettre son second chiffre b2. Etc…
Chaque Mi
1) effectue son addition;
2) transmet la retenue (0 ou 1) à l'élève suivant (Mi+1);
3) transmet son chiffre ci à l'élève L chargé d'écrire le résultat.
Ecriture des
nombres
ou
encodage
Additions
chiffre à
chiffre et
reports de
retenues
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L'élève L écrit les chiffres sur un papier au fur et à mesure
qu'ils lui parviennent.
Enfin, il annonce oralement le résultat de A+B.
Lecture du
résultat ou
décodage
Enfin, le professeur valide le résultat.
Dans la classe, le placement des élèves peut-être, par exemple:
E
les Mi
F
La
communication
est exclusivement
gestuelle: un
chiffre est indiqué
par un certain
nombre de doigts
levés.
Dans la cour, la «!séquentialité!» des opérations de chaque Mi peut être illustrée par une
sorte de «!relais!»:
M3
M2
En pointillés, les
chemins que
doivent prendre
les élèves.
M4
M1
M5
E
L
professeur
Les informations
sont
exclusivement
transmises de la
main à la main
(chiffres écrits sur
une feuille).
Exemples d'additions :
addition
1234 + 5555
4444 + 2345
1357 + 5432
4321 + 2468
résultat
6789
6789
6789
6789
remarques
Nombres de mêmes tailles
Pas de retenues
Suites logiques de chiffres
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6543 + 246
678 + 6111
6789
6789
6080 + 50709
50780 + 6009
56789
56789
30911 + 56743
71472 + 5071
3628 + 2915
1728 + 1728
3276 + 3267
1694 + 1762
8841 + 67702
34758 + 41785
10988 + 23579
37884 + 6683
87654
76543
6543
3456
6543
3456
76543
76543
34567
34567
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Nombres de tailles différentes
Pas de retenues
Suites logiques de chiffres
Nombres de tailles différentes
Pas de retenues
Présence de zéros
Une retenue avec Zéro
2 retenues non successives
2 retenues successives
3 retenues successives
En vrac
Liens Internet :
http://www.histoire-informatique.org
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