Influence de profil de la jupe sur la performance du piston de moteur

Transcription

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
Université Hassiba Benbouali de Chlef
Faculté de Technologie
Département de Génie Mécanique
Projet de fin d’etudes
En vue de l’obtention du diplôme de Master
Filière: Génie Mécanique.
Spécialité: Simulation Mécanique et Energétique.
Thème :
Influence de profil de la jupe sur la performance
du piston de moteur à combustion interne en lubrification
hydrodynamique
Présenté par :
AGRED Souhila
Dirigé par :
Pr: TAHAR ABBES Miloud
Promotion: 2011-2012
Remerciement
« Je remercie dieu tous puissant qui m’a donné le courage, la force et
la volonté pour achever ce modeste travail.
Mes sincères remerciements à mon directeur de mémoir monsieur
TAHAR ABBES MILOUD professeur à l’université HASSIBA BEN
BOUALI de Chlef pour sa patience, son soutien et ses encouragements
continuels qui ont permis l’aboutissement de ces efforts en dépit des
difficultés rencontrées dans ce travail.
Mes remerciements également à tous ceux qui m’ont apporté leur aide
de prés ou de loin à l’élaboration de mon projet de fin d’étude.»
Dédicaces
Je dédié ce modeste travail
A mes très chers parents
Pour leur persévérances à m’encourager d’aller toujours de l’avant pour ma
réussite et dont je leur fait cadeau en témoignage de toute mon affection.
A tous mes chers frères et sœurs.
A tous ma famille.
A tous mes amis.
A tous mes enseignants de l’école primaire jusqu’à l’université.
TABLE DES MATIERES
REMERCIEMENT
DEDICACES
RESUME
TABLE DES MATIERES
NOMENCLATURE
Introduction générale .......................................................................................................... 1
CHAPITRE I :ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
I.1 Introduction........................................................................................................................ 3
I.2 Principe de fonctionnement ................................................................................................ 4
I.3. Description du cycle diesel ................................................................................................. 4
1.4 Mécanisme d’auto- inflammation ...................................................................................... 5
I .5 Avantages et inconvénients du moteur diesel .................................................................... 6
I.6 Le piston et son mouvement................................................................................................ 7
1.7 Pertes de puissance par frottement .................................................................................... 8
I.8 La lubrification moteur....................................................................................................... 8
I.8.1. Rôle du lubrifiant .............................................................................................................. 8
I.8.2. Les différents modes de graissage ...................................................................................... 8
I.9 La lubrification hydrodynamique ................................................................................... 11
I.10 La cavitation .................................................................................................................. 14
1.10.1 Algorithme de cavitation ............................................................................................... 15
CHAPITRE II: FORMULATION DE BASE
II.1 Introduction ..................................................................................................................... 16
II.2 Les equations de la dynamique ..................................................................................... 16
II.2.1 Vitesse et acceleration axiale ......................................................................................... 16
II.2.2 Equation du mouvement dynamique ............................................................................. 19
II.3 Equation de Reynolds ...................................................................................................... 25
II.3.1 Conditions aux limites ..................................................................................................... 27
II.4 Equation du film lubrifiant ............................................................................................ 30
II.4.1. Le profil de la jupe du piston ......................................................................................... 35
CHAPITRE III: METHODE DE RESOLUTION
III.1 Introduction................................................................................................................... 38
III.2 Méthode de résolution .................................................................................................. 39
III.2.2 Maillage du Film lubrifiant ......................................................................................... 40
III.2.3 Méthode de résolution de l’équation de Reynolds.......................................................... 42
III.2.4 La méthode de Newton - Raphson ................................................................................. 44
III.2.4.1 Calcul des résidus des équations ................................................................................ 48
III.2.4.2 Calcul des éléments du Jacobien ............................................................................... 49
CHAPITRE IV :ALGORITHME DE RESOLUTION
IV.1 Introduction .................................................................................................................... 53
IV.2 Programme principal ..................................................................................................... 53
IV.3 Le sous programme LIRE_DONNEES férences ........................................................... 53
IV.3 Sous programme « calcul » ........................................................................................... 56
CHAPITRE V: RESULTATS ET INTRPRETATION
V.1 Introduction ..................................................................................................................... 60
V.2 Données de base ............................................................................................................... 60
V.3 Résolution ......................................................................................................................... 61
V.3.1 Evolution des excentricité eh et eb.................................................................................... 62
V.3.2 Variation de la pression maximale au cours d’un cycle moteur ........................................ 65
V.3.3 Epaisseur minimale de film ............................................................................................. 66
V.3.4 Le profil de la jupe .......................................................................................................... 67
V.3.4.1 Profil cubique............................................................................................................... 67
V.3.4.2 Profil parabolique......................................................................................................... 71
V.3.4.3 Effet des différents profils analysés .............................................................................. 76
Conclusion .............................................................................................................................. 77
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUE................................................................................. 78
LISTE DES FIGURES
N. figure
Figures
Titre
Page
1
I .1
Les quatre temps d’un moteur à injection directe.
5
2
I.2
Système bielle manivelle.
7
3
I.3
Graissage par barbotage
9
4
I.4
Graissage sous pression
10
5
I.5
Graissage par projection
10
6
I.6
Mécanisme d’apparition et développement de la
cavitation.
14
7
II.1
8
II.2
9
II.3
10
II .4
Cinématique du système bielle manivelle.
Géométrie du système piston.
Coté de poussée maximale et position de Cp.
17
19
20
Côté de poussée maximale en fonction de la rotation
21
du moteur.
11
II.5
Forces et moments agissant sur le piston
22
12
II.6
Système d'axes en coordonnées cylindriques.
25
13
II.7
Conditions aux limites de Sommerfeld.
28
14
II.8
Conditions aux limites de Gümbel.
29
15
II.9
Conditions aux limites de Reynolds.
30
16
II.10
Condition aux limites pour la rupture du film.
30
17
II.11
Géométrie du film lubrifiant.
31
18
II.12
Géométrie du film dans la section du haut de la jupe.
32
19
II.13
Les paramètres non linéaires de la jupe du piston.
35
20
III .1
Maillage 2D du Film lubrifiant développé.
41
21
III.2
Les zones de pression.
42
22
III.3
Molécule de l’équation de Reynolds.
44
23
IV.1
Organigramme de programme principal.
53
24
IV.2
Algorithme du sous programme LIRE_DONNEES.
55
25
IV.3
Organigramme de sous programme calcul.
58
26
V.1
Pression des gaz de combustion sur un cycle moteur
61
27
V.2
Progression de la convergence de la solution
63
28
V.3
Variation de la pression maximale
65
29
V.4
La distribution de la pression maximale sur la jupe
66
30
V.5
31
V.6
32
V.7
33
V.8
34
V.9
35
V.10
36
V.11
Profils parabolique de la jupe avec LM=56
72
37
V.12
Evolution de l’excentricité e pour différent profils
b
cubique.
73
38
V.13
Epaisseur minimale des différents profils paraboliques
74
39
V.14
Effet de frottement des profils paraboliques
74
40
V.15
75
41
V.16
variation de l’excentricité e pour différents profils
b
variation de l’épaisseur minimale (hmin) pour différents
profils
Epaisseur minimale du film
Effet de l’épaisseur minimale avec Lm différent
(cubique).
Profils cubique de la jupe avec LM=54.
Effet de frottement pour différent profils cubique
Evolution de l’excentricité e pour différent profils
b
cubique
Effet de l’épaisseur minimale avec Lm différent
(parabolique).
66
68
69
70
71
71
75
LISTE DES TABLEAUX
1
2
Tableau
V.1
V.2
3
4
V.3
V.4
Titre
Données de base utilisées dans la simulation
Les valeurs de e et e dans les trois cycles
h
b
Paramètres choisis des profils cubiques de la jupe
Paramètres choisis des profils paraboliques de la jupe
page
61
64
68
72
Nomenclature
A
Aire du fond de piston
m²
a
Distance Verticale entre le sommet de la jupe et l’axe de piston
m
b
Distance verticale entre le sommet de la jupe et le centre de masse
m
c
Jeu radial entre le piston et le cylindre à température ambiante
m
Cg
Désaxage du centre de gravité
m
CP
Désaxage piston – axe
m
d
Hauteur de la dénivellation à la moitié de la jupe du piston
m
eh , eb
Excentricité du haut et du bas de la jupe
m
F
Portance du film hydrodynamique
N
F̂
Force de connexion agissant le long de la bielle
Fg
Force des gaz de combustion
N
FIC
Force d’inertie due à la masse de l’axe du piston
N
FIP
Force d’inertie due à la masse de l’axe du piston
N
h
Epaisseur de film lubrifiant
m
Moment d’inertie du piston par rapport à l’axe
Kg.m²
L
Longueur de la jupe du piston
m

Longueur de la bielle
m
f
Force de frottement
N
M
Moment hydrodynamique par rapport à l’axe
N.m
M IC
Moment d’inertie du piston
N.m
m axe
Masse de l’axe
kg
m pist
Masse de piston
kg
I
pist
P
Pression hydrodynamique
Pa
Pg
Pression des gaz de combustion
Pa
PL
Perte de puissance instantanée
W
R
Rayon du piston
m
r
Rayon du vilebrequin
m
t
Temps
s
U
Vitesse axiale du piston
m/s
y
Coordonnée mesurée à partir du haut de la jupe du piston
m

Angle de basculement du piston
rad

Connexion de la bielle
rad

Viscosité dynamique de l’huile
Pa.s

Vitesse de translation due au mouvement secondaire
1 , 2
Angle fluide assumé
°

Angle de vilebrequin
°

Vitesse de rotation du moteur
s-1
P
Axe de piston
C
Axe de cylindre
INTRODUCTION
Introduction générale
Des profils courbes de jupe de piston de moteur à injection directe sont analysés en
lubrification hydrodynamique dans cette étude.
L’objectif de cette étude est de concevoir un model de piston ayant un profil
géométrique qui donne le minimum de frottement du système piston cylindre.
Dans le but de maintenir le piston dans les caractéristiques tribologique optimale ce
mémoire présente un profil optimal de piston qui permet au piston d’évoluer avec une
épaisseur h minimale, une pression maximale et un frottement minimal.
La méthode de NEWTON-RAPHSON en conjonction avec l’algorithme de MURTY
sont utilises pour la résolution du problème; c’est-à-dire de déterminer le profil qui répond
aux questions soulevées, d’où l’économie d’énergie et la durée de vie prolongé du piston.
Une application est faite sur le piston du moteur DEutz type F8L413, monté
actuellement sur les camions TB230 de la SNVI de Rouiba (Algérie).
Le contenu de cette thèse est résumé comme suit :
Le chapitre I est consacré à présenter des connaissances générales sur la motorisation
Diesel en particulier, et la lubrification qui s’inscrit dans l’optique de la diminution des pertes
par frottement et de la réduction de l’usure des moteurs.
Le chapitre II donne les équations de la lubrification hydrodynamique du piston de
moteur à combustion interne.
Le chapitre III On présente dans ce chapitre la méthode d’analyse hydrodynamique du
modèle du piston.
INTRODUCTION
Le chapitre IV On donne dans ce chapitre la méthode de calcul représentée par
l’organigramme du code de calcul utilisé pour résoudre le problème hydrodynamique.
Le chapitre V Présente les résultats de modèle hydrodynamique et des profils cubiques
et paraboliques de la jupe du piston. A l’issue de ce chapitre il est choisi le profil optimal.
CHAPITRE I
ETUDE BIBIOGRAPHIQUE
CHAPITRE I
ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
I.1 Introduction
Dans les moteurs à combustion interne le piston est l'une des pièces mobiles la plus
vulnérable car il doit assurer des fonctions multiples. Parmi ces fonctions on peut citer[3] :
 Aptitude à supporter la pression de combustion et transmettre les
efforts correspondants au mécanisme bielle-vilebrequin.
 Transférer les flux thermiques entrant par la tête du piston.
 Assurer l'étanchéité aux gaz de combustion tout en contrôlant la
remontée de l'huile de graissage dans la chambre de combustion.
 Opérer dans une vaste gamme de températures surtout les hautes
températures.
 Transférer le flux thermique entrant par la tête.
 Etre aussi léger que possible.
Il obéit aussi à la conception basée sur l'évolution des moteurs à combustion interne qui
sont influencés par deux forces économiques principales: la réduction de consommation de
combustible et la durée de vie du moteur. Notons que les fonctions d'étanchéité des segments,
d'appui et de guidage de la jupe, sont accompagnées de pertes dues aux frottements qui
influent sur la performance du moteur. Un autre facteur qui influe sur la durée de vie du
moteur est le bruit audible qui se manifeste par un clappement résultant du cognement du
piston contre la paroi du cylindre.
3
CHAPITRE I
L’objectif de ce chapitre est de présenter des connaissances générales sur la motorisation
Diesel en particulier, et la lubrification qui s’inscrit dans l’optique de la diminution des pertes
par frottement et de la réduction de l’usure des moteurs
I.2 Principe de fonctionnement
Le moteur diesel est un moteur à combustion interne dont l'allumage n'est pas commandé
mais spontané par phénomène d'autoallumage (auto-inflammation). Pendant le temps de
compression l’air est comprimé à une pression comprise entre 30 et 55 bar (moteurs
atmosphériques) ou entre 80 et 110 bar (moteurs suralimentés par turbocompresseur) et
simultanément chauffé à une température comprise entre 700 et 900 °C. Cette température
suffit pour provoquer l’auto-inflammation du carburant injecté peu avant la fin de la
compression au voisinage du point mort haut du piston.
I.3 Description du cycle diesel
Les moteurs Diesel fonctionnent habituellement au gazole, au fuel lourd ou aux huiles
végétales. Ils peuvent être aussi bien à deux temps qu'à quatre temps. Le cycle Diesel d’un
moteur à quatre temps comporte [1] :
 L’admission : La soupape d'admission s’ouvre et le piston descend en
aspirant l’air frais (figure I.1 a)
 La compression : La remontée du piston entraîne la compression de
l’air avec un rapport volumétrique élevé. Malgré les pertes thermiques aux
parois, la température de fin de compression est de 600°C à 1500°C. En fin
de compression, le carburant est injecté sous forme d’un ou plusieurs jets
pulvérisés dans le cylindre (au voisinage du point mort haut) (figure I.1 b).
 La combustion et détente : Sitôt injecté, le carburant s'enflamme
presque instantanément, sans qu'il ne soit nécessaire de recourir à un
allumage commandé par bougie. La combustion rapide qui s'ensuit constitue
le temps moteur. En brûlant, le mélange augmente fortement la température
et la pression dans le cylindre (60 à 200 bars), repoussant le piston qui
fournit une force de travail sur la bielle, laquelle entraîne la rotation du
vilebrequin (ou arbre manivelle faisant office d'axe moteur) (figure I.1 c).
4
CHAPITRE I
 L’échappement : Le piston remonte et évacue les gaz brûlés par la
soupape d'échappement (figure I.1 d).
Un cycle de fonctionnement correspond à deux tours de vilebrequin, c'est-à-dire deux
montées et descentes du piston. Un rappel schématique de ce cycle est donné dans la
figureI.1.
Figure I.1. Les quatre temps d’un moteur à injection directe.
La combustion dans un moteur Diesel diffère donc de celle d’un moteur à essence par le
fait que quel que soit le type de moteur Diesel considéré, l’allumage se fait par compression et
la combustion est pilotée par la diffusion de l’air dans le combustible. Le mécanisme de
mélange entre l’air et le combustible introduit est donc capital pour l’échauffement du
combustible jusqu’à son auto-inflammation et au déroulement de la combustion.
I.4 Mécanisme d’auto- inflammation
On a vu que la combustion Diesel repose sur l'auto-inflammation du carburant dans de l'air
comprimé. Cette auto-inflammation se produit lorsque la température du mélange de
combustible et d’air dépasse une température seuil appelée « température d’autoinflammation» notée TAI. [4].
En effet, pour des températures inférieures à TAI, le combustible mélangé à l’air s’oxyde
pour donner des peroxydes dont la concentration croît avec la température. A partir du
moment où une concentration critique en peroxydes est atteinte, les réactions chimiques
deviennent instables ; puis par un mécanisme de réactions en chaîne, elles s’emballent pour
5
CHAPITRE I
donner une combustion vive. La température d’auto-inflammation qui donne lieu à cet
emballement dépend de la nature du combustible et sa structure moléculaire. Par exemple, les
structures linéaires des n-paraffines donnent des TAI très faibles alors que les structures
ramifiées des isoparaffines donnent des TAI très élevées.
I .5 Avantages et inconvénients du moteur diesel
Le moteur diesel fournit de l’énergie mécanique meilleure que le moteur à essence pour
les raisons suivantes :
Le rendement est élevé.
Le combustible employé pour les moteurs Diesel est relativement bon marché.
Les gaz d’échappement sont moins toxiques
Les dangers d’incendie sont réduits. En effet, le gas-oil ne produit des vapeurs
inflammables que chauffé aux environs de 80°c, soit à une température nettement
supérieure à celle de l’été. Par contre, l’essence produit des vapeurs inflammables à
une température bien inférieure.
Cependant le moteur Diesel présente les inconvénients suivants :
Les organes du moteur sont soumis à des pressions et des températures élevées
donc à des efforts considérables, si bien que la construction de ces moteurs pose des
problèmes mécaniques plus complexes que ceux des moteurs à explosion. Les hautes
températures sont indispensables pour enflammer spontanément le carburant injecté,
ce qui nécessite des matériaux ayant une bonne tenue aux températures élevées.
Les pressions en cours de combustion normale sont élevées et augmentent s’il
se produit des "ratés d’inflammation". En effet, au combustible non brûlé à la sortie de
l’injecteur, s’ajoute le combustible injecté au cycle suivant, l’inflammation
s’accompagne alors d’une élévation de pression considérable. En conséquence :
les pièces doivent être largement calculées.
la construction est donc lourde.
l’étanchéité entre piston et cylindre est difficile à réaliser, d’où obligation de
disposer sur les pistons d’un nombre suffisant de segments.
une température constante assez élevée est indispensable pour obtenir une
bonne combustion. Il faut donc prévoir un refroidissement correct du moteur.
6
CHAPITRE I
l’entretien d’organes de précision tels que les injecteurs ou la pompe
d’injection nécessite l’intervention de spécialistes qualifiés.
le graissage est délicat en raison des pressions élevées transmises par le piston
à tous les organes mobiles du moteur [2].
I.6 Le piston et son mouvement
Dans la figure I.2, on représente le schéma du système bielle manivelle mettant en relief
l’ensemble des caractéristiques.
Figure 1.2 : Système bielle manivelle.
Dans la description du mouvement secondaire le coté de poussée maximale du piston se
situe dans le plan perpendiculaire a l’axe du piston C’est le coté qui supporte la plus grande
force de poussée représenté par la force latérale qui pousse le piston contre la paroi du
cylindre. En regardant en vue de force un piston d’un moteur tournant dans le sens des
aiguilles d’une montre, le coté de poussée maximale est le coté gauche si le moteur tourne en
sens inverse les cotés de poussée maximale et minimale sont inversés (figure I.2).
7
CHAPITRE I
1.7 Pertes de puissance par frottement
Le rendement du moteur est un paramètre très important dans l’utilisation de l’énergie.
Les travaux de Richadson montent que seul 33% de l’énergie issue de la combustion est
transformée en énergie en puissance utile. 33% sont perdus à l’échappement, 23% représent
les pertes calorifiques et 10% sont les pertes par frottements. Ces dernières sont ré parties
comme suit :

La distribution intervient pour 10%,

La pompe a huile intervient pour 10%,

L’ensemble vilebrequin intervient pour 20%

L’ensemble segment-piston-chemise représente à lui seul 60% des pertes par
frottement dans un moteur.
Ceci montre l’intérêt des études menées sur la liaison piston-cylindre.
I.8 La lubrification du moteur
I.8.1. Rôle du lubrifiant
La lubrification est indispensable au bon fonctionnement du moteur. Les lubrifiants
doivent assurer le bon fonctionnement des mécanismes en s’intercalant entre les surfaces en
mouvement relatif [5]. Ils assurent donc la tenue mécanique, diminuent les résistances dues
aux frottements et limitent l’usure des pièces en mouvement. Par ailleurs, une lubrification
optimisée augmente le rendement en limitant les pertes mécaniques dues aux frottements.
Cependant, le graissage couvre d’autres fonctions telles que l’évacuation de la chaleur ou
encore la protection contre l’oxydation et la corrosion.
I.8.2. Les différents modes de graissage
Dans un moteur à quatre temps, les éléments sont graissés de différentes manières [6] : par
barbotage, sous pression ou par projection.
8
CHAPITRE I
I.8.2.1 Le barbotage
On parle de graissage par barbotage lorsque le moteur est lubrifié par un bain d’huile dans
le carter (Figure I-3) ; les pièces en mouvement projettent de l’huile sur les accessoires situés
au-dessus du niveau d’huile. Ce système ne convient qu’à des moteurs peu sollicités.
Figure I-3 : Graissage par barbotage
I.8.2.2 Le graissage sous pression
L’huile provenant de la rampe principale de graissage est dirigée par des canaux vers les
paliers de vilebrequin (Figure I-4).
Les rainures des coussinets et un canal oblique permettent le graissage sous pression des
têtes de bielle. Dans certains cas l’axe du piston est graissé sous pression grâce à un perçage
pratiqué dans le corps de bielle.
9
CHAPITRE I
Figure I.4: Graissage sous pression
I .8.2.3 Le graissage par projection
L’huile sous pression s’échappant des manetons du vilebrequin est projetée le long des
parois de la chemise (Figure I-5). Elle assure ainsi le graissage entre le piston et la chemise,
ainsi que l’axe du piston.
Figure I-5 : Graissage par projection
10
CHAPITRE I
I.9 La lubrification hydrodynamique
La lubrification hydrodynamique est un domaine important de la tribologie, c'est l'étude
des contacts dans lesquels un film de fluide sépare les surfaces en présence. Dans le cas où
film de fluide sépare totalement les surfaces, les aspérités et les défauts de forme ont des
dimensions inférieures à l'épaisseur de film.
La lubrification désigne le contrôle de l'usure des matériaux par l'introduction d'un film
fluide qui réduit le frottement entre les surfaces en quasi-contact et en mouvement relatif. Plus
particulièrement, la lubrification hydrodynamique concerne les mécanismes pour lesquels la
forme et la vitesse relative de deux surfaces en contact engendrent la formation d'un film
mince lubrifié continu sous une pression suffisamment élevée pour empêcher le contact
métal-métal. La théorie de la lubrification hydrodynamique est un article de Reynolds [10],
publié en 1886 dans la revue "Philosophical Transactions of the Royal Society" intitulé "on
the theory of lubrication and its application to Mr Beauchamp tower's experiments, including
an experimental determination of the viscosity of olive oil". Dans cet article Reynolds obtient
de manière heuristique l'équation qui porte son nom et qui constitue le socle des études
portant sur les écoulements de faible épaisseur.
La lubrification est un élément essentiel des sciences technologiques et des applications
mécaniques. Elle joue un rôle important partout où des surfaces sont en mouvement relatif les
unes par rapport aux autres. Tous les systèmes mécaniques comportent, plus ou moins, des
éléments lubrifiés. On peut dire, sans exagération, que bien peu de sujets ont une incidence
aussi importante sur les travaux des ingénieurs… ceci implique des recherches plus poussées
dans le domaine de la lubrification elle-même, une formation plus répandue et plus
approfondie en matière de lubrification… et une prise de conscience plus générale du
potentiel important que présente ce problème, dans tous les domaines de l'industrie [11].
Le principal objectif de la lubrification hydrodynamique est de réduire au maximum le
frottement et l’usure du mécanisme, il s’agit donc de minimiser les résistances passives et les
frottements parasites qui se manifestent dans les organes de liaison, de façon à limiter les
pertes d’énergie et les élévations de températures. A ce rôle essentiel, s’ajoute celui de
l’évacuation de la chaleur produite dans le contact en limitant l’action des différents
mécanismes d’usure décrits précédemment. Pour atteindre ces objectifs, on sépare les surfaces
en mouvement relatif par un lubrifiant. Ce dernier peut être liquide, solide, pâteux ou gazeux.
11
CHAPITRE I
Les caractéristiques de ce film lubrifiant (température, pression, épaisseur) sont dépendantes
des conditions de fonctionnement telles que la charge appliquée, la vitesse de rotation et la
température d’alimentation du fluide. En particulier, la viscosité du lubrifiant est dépendante
de la température et il conviendra donc de tenir compte des effets thermiques locaux
(dissipation visqueuse et transfert thermique).
Les équations de base de lubrification hydrodynamique des paliers ont été établies pour les
systèmes de paliers par Osborn Reynolds [6] en 1886 et constituent la base de la lubrification
hydrodynamique.
Les études sur la lubrification hydrodynamique du piston de moteur à combustion interne,
dont la majorité a trait à la lubrification des segments [8], débutent avec l'analyse de la
lubrification de la jupe, par des procédés
expérimentale de pistons dans des cylindres
transparents [10] permet de visualiser le comportement du piston sous effet du lubrifiant. Il est
montré, à l'aide de traces laissées par le film d'huile, l'existence de la force d'impact. Il est
montré [11] que l'injection de lubrifiant sous pressions vers la jupe réduit substantiellement le
bruit émis par le moteur diesel. Il est connu que la jupe a une double fonction : guidage du
piston dans le cylindre et supporter l'impact de la force de poussée dynamique latérale (de
l'anglais ' thrust side') due au mouvement secondaire. Il est montré que le film d'huile amortie
le claquement du piston donc réduit le bruit moteur. En plus le film d'huile assure une
fonction de protection des surfaces de contact contre le grippage. Ainsi il est montré que le
mouvement du piston et le clappement qui en résulte sont donc liés directement à la
lubrification de la jupe [12, 13,14]. Dans ces analyses les auteurs tentent de prédire l'impact
du piston entre la paroi du cylindre basés sur les équations d'équilibre; cependant de bons
accords avec les mesures ne sont pas achevés à cause du manque de considérations propres
sur la lubrification hydrodynamique.
Les études qui prennent en considération l'effet de la lubrification du piston ne prennent de
l'ampleur qu'au début des années 80. Knoll et Peeken [15] développent un modèle de
lubrification hydrodynamique basé sur l'équation de forces hydrodynamiques dues au film
entre la jupe et la paroi du piston pour une position et une vitesse donnée du piston sont
calculées. Cette étude fournit une base pour l'inclusion de l'effet des forces de lubrification
hydrodynamique sur le mouvement primaire et secondaire des pistons.
12
CHAPITRE I
Li et al [16] performent une analyse dynamique du piston dans laquelle ils incorporent un
modèle de lubrification hydrodynamique de la jupe. La trajectoire complète du piston et les
forces de frottement en fonction des conditions de fonctionnement du moteur sont ainsi
calculées. Les résultats de cette étude indique que l'inclinaison dynamique d'un piston de
moteur à combustion interne influence le comportement au frottement de la jupe de piston.
Mourelatos[17] présente un modèle théorique simplifié de piston, sans segments, de
moteur LHR ' Low-Heat Rejection ' (à faible rejet de chaleur) à combustion interne typique.
La particularité de ce moteur, dont la lubrification se fait au moyen de gaz de combustion est
que les frottements inter paroi sont très faibles. L'auteur résout l'équation de Reynolds
compressible à deux dimensions par la méthode des éléments finis. Le modèle ainsi construit
est résolu en le simulant par des forces dynamiques latérales données. La trajectoire du piston
est obtenue à partir d'une solution quasi-statique qui ne prend pas en considération les
équations de mouvement du piston. Il conclut que le piston sans segments ne peut supporter
que les petites charges latérales et que le profil à côtés doubles est plus performant que le
profil à côté unique.
Gommed et Etsion [18] développent un modèle mathématique pour l'analyse dynamique
de piston, sans segments, de moteur de type LHR identique à celui présenté par Mourelatos,
lubrifié par gaz. Le système d'équations complètes de mouvement du piston et la bielle sont
formulées simultanément avec l'équation de Reynolds pour les gaz et les équations d'énergie.
Ils montrent que l'incorporation de la dynamique de la bielle joue un rôle important dans le
mouvement du piston. Ils trouvent que la stabilité du mouvement du piston dépend fortement
des conditions thermodynamiques de fonctionnement.
Plus récemment Liu et al. [19] présentèrent un modèle de lubrification mixte
hydrodynamique basée sur l'équation de Reynolds à deux dimensions couplées avec les
équations de mouvement secondaire du piston. Cette étude, basée sur le modèle de Li, tient
compte de l'effet de la rugosité des surfaces en contact. Les résultats obtenus montrent que le
profil de la jupe, la vitesse du moteur, le désaxage (offset) de l'axe du piston ainsi que le jeu
radial piston-cylindre jouent un rôle important dans la détermination du mouvement
secondaire du piston. Ils conclurent aussi que pour des vitesses élevées et un faible jeu le
mouvement secondaire à s'atténuer.
13
CHAPITRE I
La complexité du modèle de lubrification de la jupe du piston fait que ce sujet continue
d'être traitée. Siyoul [20] présente une étude du mouvement dynamique secondaire avec
incorporation de la lubrification. La procédure de construction de résolution du modèle se
base essentiellement sur l'analyse de Li. Il axe son étude sur les paramètres qui influencent le
mouvement secondaire et principalement le profil de la jupe. Les résultats trouvés montrent
que le profil en tonneau de la jupe est le profil qui donne la force d'impact la plus faible.
I.10 LA CAVITATION
Quatre mécanismes d’apparition et de développement de la cavitation sont présentés sur
la figure I.6. Lors de la chute de la pression à la valeur de la pression de vapeur saturante
(pcav) des gaz dissous dans le lubrifiant ainsi que des vapeurs de liquide gagnent l’état gazeux
créant des bulles dans la masse du lubrifiant (figure I.6a). C’est le début de la cavitation.
Les bulles dans peuvent se développer et fusionner grâce à la tension superficielle. Ainsi
des filets irréguliers peuvent apparaître entre les parois comme dans la figure I.4b. Sous l’effet
des conditions cinématique les filets peuvent se briser et se transformer en gouttes (figure
I.6c).
Par dépôt sur les parois des films minces de liquide peuvent être crées sur les surfaces
d’après les résultats obtenus par Pinkus et Sternlich en 1961 (figure I.6d). Ces stades de la
cavitation peuvent subsister simultanément dans différentes de la zone de cavitation.
Figure 1.6 : Mécanisme d’apparition et développement de la cavitation.
14
CHAPITRE I
1.10.1 Algorithme de cavitation
L’algorithme de Murty est utilisé pour déterminer la zone de cavitation. Il s’agit de
résoudre un problème de complémentarité défini comme suit :
 Estimation d’une zone de cavitation initiale arbitraire Ω1, de frontière ∂Ω.
Nous imposons p=0 à tous les nœuds situés dans cette zone, frontière incluse.
 Résolution de l’équation de Reynolds sur la zone non cavitée Ω2.
 vérification de l’inéquation E<0 dans la zone de cavitation. Tous nœud ne
vérifiant pas E<0est réintégré dans la zone non cavitée.
 Vérification de l’inéquation p>0 dans la zone non cavitée. Tout nœud ou p<0
est placé dans la zone de cavitation et sa pression p est mise à zéro.
 Réitération du processus tant que la frontière n’est pas stable (4 ou 5
itérations).
15
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
II.1 INTRODUCTION :
On présente dans ce chapitre les équations de base des modèles hydrodynamiques de
piston de moteur Diesel à injection directe.
Le modèle hydrodynamique se base sur le modèle de Li[16] . Sur la base de l'équilibre des
forces et des moments appliqués au corps de piston libre sur son poignet brochent. Le modèle
décrit l’analyse du mouvement dynamique secondaire du piston avec incorporation des forces
hydrodynamiques générées dans le film d’huile de lubrification. Cette lubrification concerne
l’ensemble jupe-cylindre. L’effet des segments, n’est pas traité dans cette étude.
II.2 Les équations de la dynamique
II.2.1 Vitesse et acceleration axiale
La position, la vitesse et l’accélération du piston, se mouvant axialement à l’intérieur du
cylindre, sont déterminées à partir du mécanisme bielle-manivelle donné par la figure II.1.
Ces grandeurs sont fonction de l’angle  de rotation du vilebrequin.
16
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
a- Position instantanée
b- Position au point mort haut
Figure. II.1 : Cinématique du système bielle manivelle.

POSITION
La position instantanée du piston est donnée par
s  OB  O ' A '
avec :
O’A’=O’H+HA’
OA  r  

OB  OA 2  AB 2

0.5

   r 2  Cp 2

0.5
O' H  OK  r cos 

HA'  A' M 2  HM 2

0.5
17
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
sachant que :
HM  HK  KM  Cp  r sin 
et A ' M  
d’où

s    r 2  Cp 2

0.5


2
 r cos    2  Cp  r sin  


0.5 


Soit B  Cp  r sin 
La position du piston s’écrit alors

s    r 2  Cp 2


0.5

  r cos    2  B 2


0.5 

(II.1)
Vitesse axiale
La dérivation de l’expression A1 par rapport au temps permet de calculer la vitesse
V
ds
d
d
 r sin 
 Br
cos   2  B 2
dt
dt
dt


0.5
sachant que la vitesse de rotation du vilebrequin est

d
,
dt
la vitesse axiale s’écrit alors
V  r sin  
Br cos 

2
B
(II.2)

2 0.5
Utilisant la relation ci-dessus la vitesse adimensionnée s’écrit :
18
CHAPITRE II
V  r sin  

FORMULATION DE BASE
Br cos 

2
 B2
(II.3)

0.5
Accélération axiale
La dérivation de l’expression (II.2) par rapport au temps permet de calculer l’accélération 
  r 2 cos  
Br cos  2  r cos  2  Br2 sin 

2
B

2 3/ 2

2
B

2 3/ 2
(II.4)
II.2.2 Equation du mouvement dynamique
Soit à considérer le mouvement du mécanisme bielle manivelle piston montré dans la
figure II.2
Figure. II.2 : Géométrie du système piston.
Les excentricités e h et eb du haut et du bas de la jupe, respectivement, sont définies par
rapport à l’axe du cylindre comme le montre la figure ci-dessus. Les excentricités positives
19
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
sont dirigées vers le coté de poussée minimale, les excentricités négatives sont dirigées vers le
côté de poussée maximale.
Le côté de poussée maximale du piston se situe dans la perpendiculaire à l'axe du piston
(Fig.II.3). C'est le côté qui supporte la plus grande force de poussée, représentée par la force
latérale et qui pousse le piston contre la paroi du cylindre. En regardant en vue de face un
piston d'un moteur tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, le côté de poussé
maximale est le côté gauche (Fig.II.4)
p  : axe du piston
c  : axe de cylindrer
Cp : désaxage piston cylindre
Figure.II.3 : Coté de poussée maximale et position de Cp.
20
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
p  : axe du piston
c  : axe de cylindrer
Figure.II.4 : Côté de poussée maximale en fonction de la rotation du moteur.
Si le moteur tourne en sens inverse les côtés de poussée maximale et minimale sont
inversés.
L’axe donnant la course du piston, orienté positivement vers le bas, a son origine
confondue avec le Point Mort Haut du piston. La position du piston, la vitesse de glissement
(ou vitesse axiale) et l’accélération le long du cylindre, sont fonction de l’angle du vilebrequin
 . L’axe y est introduit pour le calcul hydrodynamique du piston. Il représente la coordonnée
axiale du film lubrifiant. Puisque le film lubrifiant suit à chaque instant le piston, l’axe y est
fixé avec le piston et se déplace en même temps que le piston. Dans un plan normal à l’axe du
piston et contenant les côtés de poussée maximale et minimale il existe un déséquilibre
(contre balancement) des forces et des moments agissant sur le piston. Comme résultat, le
piston exécute de petites oscillations latérales dans le confinement du jeu piston cylindre. Ces
oscillations, dont l’intensité est égale ou inférieur au jeu radial piston-cylindre, sont
représentées par les excentricités e h ( t ) et e b ( t ) . La rotation du piston autour de son axe, est
définie par l’angle de basculement  . Les angles 1 et  2 sont les angles fluide de pression de
la jupe quand le piston bascule du côté de poussée maximale et du côté de poussée minimale
21
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
respectivement. Dans notre étude les angles 1 et  2 sont égaux et ont pour valeur empirique
15°.
Soit à isoler le corps de piston comme le montre schématiquement la figure II.5 et à
représenter les différentes forces qui le maintiennent en équilibre avec son entourage à chaque
instant de son mouvement.
Figure. II.5: Forces et moments agissant sur le piston
Les forces et moments agissant sur le piston sont :
-Fg: Force due à la combustion des gaz
- F̂ Force de connexion agissant constamment le long de la bielle
-F, M Force et moment résultant de la pression hydrodynamique développée dans le film
d’huile
- FIC , MIC Forces et moments résultant de l’inertie du piston lors de son mouvement
secondaire
22
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
-FIP Force résultant de l’inertie de l’axe du piston lors de son mouvement secondaire. Il est
supposé que l’axe du piston ne tourne pas, par conséquent son inertie de rotation n’est pas
considérée( M IP  0) .
- FIC , FIP
Forces dues à l’inertie du piston et de son axe respectivement lors du
mouvement axial du piston.
L’équilibre des forces et des moments calculées par rapport à l’axe du piston dans le repère
(x, y) se mouvant avec le piston requiert que :

 Fy  Fg  FIP  FIC  F cos   0
(II.5)

 Fx  F  FIP  FIC  F sin   0
(II.6)
 M axe  M  FIC (a  b)  M IC  FIC C g  Fg C p  0
(II.7)

L’élimination de F des équations (II.5) et (II.6) donne l’équation des forces
 FIP  FIC  F  FS
(II.8)
Où FS est la force latérale de paroi, définie comme
FS  FG  FIP  FIC tg
(II.9)
De manière similaire on obtient l’équation des moments
(II.10)
 M IC  FIC (a  b)  M  MS
où MS est le moment de basculement du piston selon l’angle  est défini par
(II.11)
M S  Fg C p  FIC C g
FS et MS dépendent de l’accélération axiale, la pression des gaz de combustion et de
l’angle  .
23
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
Pour un moteur tournant à vitesse de rotation stationnaire  du vilebrequin, les forces
d’inertie sont ;
FIP  m axe . a
(II.11)
FIC   m pist . a
(II.12)
où l’accélération axiale est donnée par
 a  rw 2 cos  
(Bwr cos ) 2
( 2  B 2 ) 3 / 2

( wr cos  ) 2  Bw 2 r sin 
( 2  B2 )1 / 2
(II.13)
Dans laquelle
B  C p  r sin 
(II.14)
L’angle de connexion  de la bielle est donné par :
  arctg
B
(II.15)
( 2  B2 )1 / 2
Sachant que la force des gaz de combustion est connue ( Fg  Pg A , A aire du fond du
piston Pg pression des gaz) FS et MS peuvent être aisément déterminées à partir des
équations (II.11) à (II.15).
Les forces et moments d'inertie transversale dépendent de l’accélération du mouvement
secondaire du piston. Elles sont données par:
a


FIP  m axe .eh  eb  eh 
L


(II.16)
b


FIC  m pist .eh  eb  eh 
L


(II.17)
M IC 
 I pist .eh  eb 
(II.18)
L
24
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
Finalement, une substitution des équations ci-dessus dans les équations (II.4) et (II.19)
donne les équations de mouvement

b
a
b
a 


m pist  m axe
 m pist  1  L   m axe 1  L 
L
L  eh   F  FS 





   

 I pist  m (a  b)1  b   I pist  m (a  b) b  eb   M  M S 
pist
pist
 L
L
L
L 

(II.20)
Les équations (II.16) constituent les équations de base du mouvement dynamique
secondaire
du
piston.
Ces
équations
sont
couplées
simultanément
avec
l’effet
hydrodynamique décrit par les charges de portance F et M du film fluide.
II.3 Equation de Reynolds généralisée
La lubrification des parois du système piston cylindre peut être décrite comme un
ensemble de surfaces lubrifiées. Les charges hydrodynamiques supportant les charges
dynamiques latérales résultent de l’intégration du champ de pression né dans les zones actives
du film d’huile.
Dans notre cas les forces et moments, F et M, sont dues à la pression hydrodynamique
développée dans le film d’huile dans les portions de surfaces limitées par les arcs  1 , 1 et
 2 , 2   2 (figure. II.6).
Figure. II.6: Système d'axes en coordonnées cylindriques.
A partir de la théorie des milieux continus et en moyennant quelques hypothèses propres
aux problèmes de lubrification on peut écrire l'équation des films minces visqueux qui est
25
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
l'équation de base utilisée en lubrification. Les hypothèses classiques acceptées pour la
modélisation de la lubrification sont les suivantes (Frêne et al. Pascovici et al) [8] :

L’épaisseur du film est faible devant son étendue,

La courbure des surfaces peut être négligée,

Les forces d'inertie et de pesanteur sont négligeables,

L’écoulement est laminaire,

le fluid est incompressible,

Le fluide adhère parfaitement aux parois (il n'y a pas de glissement aux parois),

L’effet des forces externes (de nature électrique, électromagnétique, etc.) est
négligeable.
Issue des équations de Navier-Stockes pour les écoulements dans les films minces,
l’équation de Reynolds s’écrit [21] :
 h( x, y, t ) 
  h 3 ( x, y, t ) p ( x, y )    h 3 ( x, y, t ) p ( x, y ) 
 h( x, y , t ) 

  
  6W 
  12
 (II. 17)
x 

x  y 

y 
y
t




La géométrie cylindrique du piston, fait, qu’il est plus intéressant d’utiliser une forme
polaire plutôt qu’une cordonnée curviligne :
x  R p
(II.21)
L’utilisation des valeurs adimensionnelles pour la pression, l’épaisseur du film d’huile et
pour les cordonnées spatiales, se fait en introduisant une forme paramétrée au sens de
Sommerfeld définie comme :
p p
c2
h
y
e
,h  , y 
, 
6.r.w.R p
c
RP
c
(II.22)
Il est aisé de montrer que l’utilisation des variables adimensionnelles permet d’aboutir à
une forme beaucoup plus compacte pour l’équation de Reynolds :
26
CHAPITRE II
F
FORMULATION DE BASE
 D
  h 3 D 
1   h 3 D 
h
h
D 

  F 2

  U
 2  1  F U
2

y  6µ y 
y
t
t 
R   6µ  
 y

Si F=1
(II. 23)
zone active alors équation du Reynolds s’écrit :
  h 3 D  1   h 3 D 
h
h

  2

  U
2
y  6µ y  R   6µ  
y
t
 Si F=0
zone inactive alors équation du Reynolds s’écrit :
U
h
h
2
0
y
t
D= p (y, θ) est la pression
II.3.1 Conditions aux limites
Pour calculer le champ de pression, il faut résoudre l’équation de Reynolds sur le domaine
représenté, compte tenu des conditions aux limites sur la zone de pression. La zone est donnée
selon les modèles de Reynolds.
A) Modèle de Sommerfeld
Sommerfeld en 1904 [23] a supposé que le film lubrifiant est continu et qu’il n’y a pas de
rupture du film. Dans ces conditions la distribution de pression est antisymétrique par rapport
au point    et le lieu du centre de l’arbre dans le coussinet est une droite normale à la
direction de charge.
Ces conditions aux limites ne sont valables que pour les paliers fonctionnant à de très
faibles charges ou avec des pressions d’alimentation très élevées, sinon des pressions
négatives apparaissent dans le film, ce qui est physiquement inacceptable pour le modèle de
Sommerfeld.
27
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
Fig. II.7: Conditions aux limites de Sommerfeld.
B) Conditions de Gümbel [22]
Gümbel en 1921 [24], à la suite des travaux de Sommerfeld, propose comme conditions
aux limites :
p(  0, Z )  0
p(   , Z )  0
p ( , Z )  Z
Si
    2
Cela revient à négliger, dans la solution de Sommerfeld les pressions négatives. Ces
conditions impliquent une discontinuité dans l’écoulement au point ө=π, elles ne sont pas
acceptables physiquement mais sont utilisées dans le cas de l’approximation du palier court.
28
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
Fig. II.8: Conditions aux limites de Gümbel.
C) Conditions aux limites de Reynolds
Ces conditions proposées indépendamment par Swift en 1932 [25] et par Steiber en 1933
[26] respectent la continuité du débit et supposent que pour une abscisse s inconnue, la
pression et le gradient de pression s’annulent:
P(  0, Z )  0
P(   s , Z )  0
p
p
(   s , Z )  (   s , Z )  0

z
p( , Z )  0
Si
 s    2
On distingue ainsi deux régions dans le palier : une région active où la pression est
positive et le film complet, pour des valeurs de  comprises entre 0 et  s et une région
inactive à pression nulle et dans laquelle en régime dynamique, peut apparaitre de la
29
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
cavitation, pour  S    2 Ces conditions sont celles qui donnent les solutions les plus
exactes ; elles ont été vérifiées dans de nombreuses études.
Fig. II.6: Conditions aux limites de Reynolds.
La Figure II.10 présente graphiquement les trois types de conditions aux limites.
Figure. II.10 : Condition aux limites pour la rupture du film.
II.4 Equation du film lubrifiant
Le film d’huile séparant les surfaces du piston et du cylindre est montré sur la figureII .11.
Les excentricités du haut et du bas de la jupe étant différentes à chaque instant, nous permet
d’obtenir un mésalignement du piston dans le cylindre. L’équation du film lubrifiant donnant
30
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
l’épaisseur du film est obtenue dans le repère cylindrique (r, θ ,y), r étant compris entre le
rayon du piston R et le rayon du cylindre.
Figure. II.11: Géométrie du film lubrifiant.

Equation du film selon la direction circonférentielle
Considérons la section droite du haut de la jupe (figure. II.12). Pour une configuration
donnée, définie par une excentricité eh dans cette section, correspond un film dont l’épaisseur
h varie d’un point circonférentiel à un autre. Ce point peut être repéré par la coordonnée
angulaire θ. En ce point l'épaisseur est donnée par :
31
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
Figure. II.12: Géométrie du film dans la section du haut de la jupe.
h()  O c M  O c M'
(II.24)
Le premier terme est donné par
Oc M  R  c
(II.25)
où c est le jeu radial
Appliquant la règle des sinus dans le triangle O c O p M' , on détermine le second terme
Oc M'
e
R
 h 
sin  sin  sin 
(II.26)
Les différents angles apparaissant dans cette expression peuvent être facilement déterminés
La propriété de l’angle alterne externe donne
  
soit
  
(II.27)
     d’où sin   sin 
L’équation (II.26) donne
sin  
eh
sin 
R
soit
e

  arcsin  h sin  
R

L’équation (4) s’écrit
32
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
e

    arcsin  h sin  
R

d’où
Oc M ' 

R
e

sin   arcsin  h sin  
sin  
R

en développant le sinus on obtient
2
e

O c M '  R 1   h sin    e h cos 
R

soit
Oc M'  R  e h cos 
d’où
h ()  R  c  R  e h cos 
h ()  c  e h cos 
sachant que
e h  c
on obtient alors l’épaisseur du film dans la section transversale
h ()  c1   h cos 
(II.28)
ou sous forme adimensionnelle
h ()  1   h cos 

(II.29)
Equation globale
33
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
Soit une section droite repérée par la coordonnée y (figure. II.11). L’augmentation de
l’épaisseur du film dans le plan perpendiculaire à l’axe du piston (plan contenant les lignes de
poussée maximale et minimale) est représentée par la variable h’. En un point M’de cette
section de coordonnée angulaire θ l’augmentation d’épaisseur est égale à h ' cos  comme il
est montré ci-dessus.
Dans le triangle ABC on a
h' s

y L
s  e b  eh
sachant que
il vient
h' 
y
e b  e h 
L
L’épaisseur du film en un point M’ de coordonnée θ située sur une section de coordonnée y
est donc :
h ( y,  )  c  e h cos  
yi
eb  eh  cos
L
Puisque e h et e b sont très petits devant L, l'épaisseur dimensionnée du film d'huile est
approchée par:
h  c  e h (t ) cos  
y
eb ( y )  eh ( y )cos  f ( y )
L
Où

c est le jeu radial nominal entre le piston et le cylindre,

f (y,θ) est le profil de la surface de la jupe du piston.
II.4.1 Le profil de la jupe du piston
34
(II.23)
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
Ce profil est mesuré à partir de la surface d’un cylindre de base de rayon R représentant le
piston. Le profil de la jupe f(y,θ) est construit dans le but d’obtenir une lubrification
performante de la jupe durant le mouvement alternatif du piston. Ce profil tient également
compte de la rugosité de la surface de contact.
Figure II.13: Les paramètres non linéaires de la jupe du piston.
Nous avons choisi un profil de jupe de telle sorte que l’épaisseur géométrique
nominale du film soit donnée par :
a) profil cubique
f ( y )  a1 y 3  a 2 y 2  a 3 y  a 4
( II.31 )
Avec a1 , a 2 , a3 et a 4 les coefficients du profil de la jupe dons les valeurs sont inconnues.
Nous avons quatre équations à quatre inconnus
35
,
,
et
.
CHAPITRE II
En
FORMULATION DE BASE
y  0  f (l )  h0
y  l  f ( l )  hb
dx
dy
0
y lc
y  lc  f (lc )  hc
Après la demonstration de ces equations on obtien les valeurs des coeficients du profil de
la jupe comme suit :
a1 
( L  2 L)hC
hc
h

 02
2
2
2
Lc ( L  Lc )
L( L  Lc )
LLc
a2 
h0  hC
 2 Lc a1
L2c
a 3  3a1 L2c  2 Lc a 2
a 4  h0
Avec Lc la position centrale, h0 le jeu radial haut, hc jeu central et hL jeu bas de la jupe.
b) Profil parabolique
f ( y )  a1 y 2  a 2 y  a 3
(II.32)
Avec a1 , a 2 et a 3 les coefficients du profil de la jupe dons les valeurs sont inconnues.
Nous avons quatre équations à quatre inconnus En
y  0  f (l )  h0
36
,
et
CHAPITRE II
FORMULATION DE BASE
y  l  f ( l )  hb
y  lc  f (lc )  hc
Après la demonstration de ces equations on obtien les valeurs des coeficients du profil de
la jupe comme suit :
a1  
a2 
hC
hb
h

 0
Lc ( L  Lc ) L( L  Lc ) LLc
h b  ho
 La1
L
a 3  h0
37
CHAPITRE III
METHODE DE RESOLUTION
CHAPITRE III
III.1 Introduction
On présente dans ce chapitre la méthode d’analyse hydrodynamique du modèle du piston.
On a présenté dans le chapitre précédent l’ensemble des équations du modèle
hydrodynamique.
Il est nécessaire de rappeler que l’équation de Reynolds généralisée et les deux équations
d’équilibre forment le système d’équation non linéaire à résoudre.
On a vu que le problème de l’hydrodynamique régi par les équations non linéaires avec
trois inconnues : la variable universelle D (pression) et les deux excentricités eh et eb
nécessaires pour déterminer l’épaisseur h.
(m
(
pist
b 
a 


1 
  m axe  1 
 ) eh  ( m
L 
L 


pist
b
a
 m axe
) eb  F  F S
L
L
I pist
F
I pist
b
b

 m pist ( a  b) 1   )eh  ( 
 m pist ( a  b ) )eb  M  M S
L
L
L
L

 D
  h 3 D 
1   h 3 D 
h
h
D 

  F 2

  U

2
 1  F  U
2
y  6 µ y 
y
t
t 
R    6 µ  
 y
38
(III.1)
CHAPITRE III
Pour les zones actives on a :
D=P
D>0
(III.2)
F=1
Pour les zones inactives :
D= r- h
D<0
(III.3)
F=0
Pour faire apparaitre eh et eb dans notre système on remplace eh et eb par les relations
déduites du développement de Taylor des dérivées seconds sous forme centrées à l’ordre 2 qui
font intervenir les valeurs aux deux pas précédents (déjà trouvées) eh (t  2t ) , eb (t  2t ) ,
eh (t  t ) eb (t  t ) et eh (t ) , eh (t ) qui sont des variables du système (3.1)
eh (t ) 
eh (t )  e h (t  2t )  2e h (t  t )
t 2
(III.4)
eh (t ) 
eb (t )  eb (t  2t )  2eb (t  t )
t 2
Les équations non linéaires (III .1) sont résolues par la méthode de Newton-Raphson
après discrétisation par différences finis des équations du système non linéaire précédent
(III.1).
III.2 Méthode de résolution
Le système non linéaire à résoudre pour chaque pas du cycle sera composé :
Des équations de Reynolds discrétisées en tout point du maillage
R  f ( p, h( p, eh , eb ) (n*m) équations
Des deux équations dynamiques discrétisées en temps et en espace
E  f ( Fh  p , eh , eb )  01équation
39
CHAPITRE III
E  f ( Fh  p , eh , eb )  01équation
Les paramètres à trouver sont :
 Les champs de pression p en chaque point du maillage donc (n×m) valeurs

eh et eb pour déterminer le champ d’épaisseur h en chaque point du maillage.
Le nombre d’inconnues est :

eh : excentricité du haut de la jupe de piston,

eb : excentricité du bas de la jupe de piston,

P (pi,j ): Les champs de pression p en chaque point du maillage
III.2.2 Maillage du Film lubrifiant
On choisit le maillage rectangulaire pour le film, avec m élément suivant la
direction axiale(y) et n élément suivant la direction circonférentielle ( ).
Seul, le domaine ou existe le film lubrifiant est prise en considération car il n’est pas
nécessaire de mailler les régions qui ne seront pas traitées ce qui engendre des calculs
supplémentaires inutiles et augmente le temps d’exécution du code et risque même de
limiter le nombre de nœuds utilisés.
On choisit le maillage suivant :

Selon la direction axiale adimensionnée
y , la variable
y est repérée par
l’indice i défini par :
i =1,m

m = 138 points
Selon la direction circonférentielle adimensionnée  en radian sur le domaine
  0,   , la variable  est repérée par l’indice j défini par :
j = 1, n+1
n = 180 points
Sur le domaine    , 2  , les résultats de pressions, épaisseur d’huile sont obtenus par
symétrie de ceux obtenus sur le domaine défini précédemment.
40
CHAPITRE III


(i,j)
y
L
0
Figure III.1 : Maillage 2D du Film lubrifiant développé.
La figure III.1 montre le maillage du film lubrifiant développé selon la longueur L de
la jupe et la direction circonférentielle  , pour ce maillage on a la correspondance suivant :
Pour :   1 degré i  i+1
Le mouvement secondaire du piston est défini par les zones de pression active (non nulle)
suivant (figure III.2):
 Zone de pression active pour   0,  1  avec 1 = 15° ce qui correspond à une
variation de la variable de maillage j = 1, n1 +1
 Zone de pression inactive pour
   1 ,  2  avec  2  165  , soit j=16 à
(16+150)=166
 Zone active    2 ,   cette zone correspond à un maillage de j=n2, 1+ (n-1)/2
Où les indices de maillage n=361, n1 correspond à l’angle fluide de la jupe 1 et n2
correspond à l’angle fluide de la jupe  2 .
41
CHAPITRE III
Figure III.2 : Les zones de pression.
III.2.3 Méthode de résolution de l’équation de Reynolds
Le calcul hydrodynamique consiste à déterminer la pression hydrodynamique dans le film
d’huile en résolvant l’équation de Reynolds. La pression est obtenue si on connaît l’épaisseur
du film lubrifiant. Le processus de résolution est donc itératif. La résolution de l’équation se
fait à l’aide de la méthode des différences finies.
Pour la résolution de l’équation de Reynolds (II.23)
42
CHAPITRE III
 D
  h 3 D 
1   h 3 D 
h
h
D 



  U

F 
F 2
 2  1  F  U
2

y  6 µ y 
y
t
t 
R   6µ  
 y
En utilisant un schéma 2D de différences finies centrées, les différents termes de l’équation
de Reynolds, relatives aux variables y et  , auxquelles correspondant les indices de
discrétisation i et j respectifs, peuvent être obtenus par le calcul en chaine suivant :

En dérivant le premier terme de l’équation (II.23) par apport à la variable
axiale y (indice i)
  3 p 
2 p
2 h p
h3 2
h
  3h
   
y y
y

(III.5)
Puis en discrétisant les termes du second membre par différences finis :
p p i 1, j  pi 1, j

y
2y
(III.6)
 2 p pi 1, j  2 pi , j  pi 1, j

y 2
y 2
(III.7)
En remplaçant les équations (V.3) et (V.4) dans l’équation (V.2) on obtient alors :
  3 p 
h  p i 1, j p i 1, j

 h
  3h 2

y  y 
y  2y
2 y
 3h 2 h h 3
= 
 2
 2y y y
 p h 3
h3
2h 3
  2 pi 1, j  2 p i 1, j  2 p i , j
y
y
 y  y

 h 3 3h 2 h 
 2h 3 
 pi 1, j   2 
 pi 1, j   2  pi , j
2y y 

 y
 y 
De même pour le deuxième terme de l’équation en changeant la variable y par  d’où :
p
pi 1, j
  3 p 
2 h  i 1, j


h
  3h
   
  2 2
 3h 2 h
h3
= 

2
 2  
 p
h3
h3
2h 3


pi 1, j 
pi 1, j 
pi , j
2
 2
 2
   

 h3
 2h 3 
3h 2 h 
 pi 1, j  
 pi 1, j  
p

2
2  i, j
2  

 
  
43
CHAPITRE III
Finalement l’équation (II.19) s’écrit sous forme discrète condensée :
Ai , j p i , j  Bi , j pi 1, j  Ci , j pi 1, j  Di , j pi , j 1  Ei , j pi , j 1  Fi , j
(III.8)
Où les coefficients introduits sont donnés par :
 1
1
Ai , j  2 h 3  2 
 2
 y
 3h 2 h
h3
B i , j  

2
 2  y y  y






Di,j
j+1
j
 h3
3h 2 h 

C i , j   2 
2 y y 
 y
Ci,j
Di , j



 h3
3h 2 h 

E i , j  

2
2  
 
Bi,j
=
Fi,j
Ei,j
j-1
 3h 2 h
h3
 

2
 2     
Ai,j
i-1
i
i+1
Figure III.3 : Molécule de l’équation de Reynolds.
III.2.4 La méthode de Newton - Raphson
La méthode de résolution de système discret non linéaire (III.1) est donnée par la
méthode de Newton-Raphson qui consiste à trouver la solution après convergence de telle
sorte que la valeur du pas encours soit égale à la valeur du pas précédent avec une certaine
précision.
La méthode de Newton-Raphson est une méthode de point fixe. Le schéma numérique
de la méthode de Newton est :
x n &  x n 
f ( x)
f ' ( x)
Où : n est nombre total d’itération
Pour résoudre le système d’équations non linéaire (4.9), on utilise la
méthode de Newton-Raphson qui s’écrit
44
CHAPITRE III
⎧
⎪
h
⎫
b
⎪
1
⎨ ⋮ ⎬
⎪ ⋮ ⎪
⎩ nn⎭
⎧
⎪
=
h
b
1
⎫
⎪
⎨ ⋮ ⎬
⎪ ⋮ ⎪
⎩ nn⎭
−
{ }
{ }
Au { } est le résidu du système et { } est Jacobien.
Par exemple pour la pression
{ }
={ } −[ ] { }
Ou encore {∆ } = −[ ] { }
[ ]{∆ } = −{ }
Pour les autres variables eh et eb , on procède de la même façon que pour la pression.
Avec les éléments présentés précédemment le Jacobien sera comme suit :
 R

 p KI

J    E1
 p
 E2

 P
R
eh
E1
eh
E2
eh
45
R 

eb 
E1 

eb 
E2 

eb 
CHAPITRE III
 p11 
p 
 12 
 p13 


:

p  :   p kl 
: p 
 1n 
:



:

 p nn 
Avec :
D’où :
k  1, n selon 
l  1, m selon y ou z
p  p P11 P12 .............Pnn 
T
  E 11
 p
 11
  E 12
 p
 11


J    
E
 nn
  p11
 E
2

  p11
 E
3


p
 11
 E11
 E 11
.......... .....
 p12
 p nm
 E11
 eh
 E12
 E12
.......... .....
 p12
 p nm
 E12
 eh



 E nn
 p12


 E nm
.......... .....
 p nm

 E nm
 eh
E 2
E 2
.......... ......
 p12
 p nm
E2
 eh
E 3
E3
.......... .......
 p12
 p nm
E 3
 eh
 E11
 eb



 E 12 
 eb 





 E nm 

 eb 
E 2 

 eb 
E3 

 eb 
dim( nm  2 )( nm  2 )
Le système à résoudre devient sous la forme matricielle :
 R

 p KI
 E1

 p
 E2

 P
R
e h
E1
eh
E 2
eh
R 

eb 
p 
R 
E1  

 
 eh    E1 
eb  

E 
 2
eb 
E 2 

eb 
Avec R, E1 et E2 les résidus respectifs des «équation du système (III.1).
46
CHAPITRE III
Une fois les systèmes d’équations régissent notre problème résolu, on présente les étapes
de calcul suivies qu’on résume comme suite :
 En partant de t=0 à t=T avec un pas de temps ∆ ou encore de
= 0°à = 720°
(cycle moteur) avec ∆ = 5°
 En introduit les données :
-
Pression des gaz à l'instant t
-
Le résultat du pas précédent de p(i, j ) de e et de e
h
b
 On calcule les résidus E1 , E 2 et E3
 On calcule du Jacobien J 
 On résout le système p(i, j ) , e
h
et e pour l'itération en cours en utilisant la méthode
b
numérique de résolution des systèmes linéaires à plusieurs inconnus (Choleski, Gausse,
SOR,…).
 On vérifie le critère de convergence
pk 1  pk  p  1
eh k 1  eh k  eh  2
eb k 1  eb k  eb  3
Où :  est la tolérance
Si ce critère est vérifié alors la solution est trouvée.
Pour ce même pas de temps le calcul est refait jusqu'à la convergence. Le résultat est
ensuite stocké dans un fichier de résultat.
On passe ensuite au pas suivant avec une incrémentation de 5° et les mêmes étapes sont
réalisées pour ce nouveau pas.
Une fois le cycle thermodynamique est fini 12 tours de vilebrequin équivaut 720° (ou
encore 144 pas de 5°), tout ces calculs seront refaits pour un certain nombre de cycles
47
CHAPITRE III
moteur en initialisant, au départ le champ de pression p(i, j ) , les excentricités e et e à
h
b
zéro.
III.2.4.1 Calcul des résidus des équations
Équation de Reynolds du film lubrifiant mince se trouvant entre le piston et le
cylindre.
R  Ei , j (hi , j , p i , j ,....)
p i , j Epaisseur du film d’huile
hi , j Epaisseur du film d’huile
Le résidu Ri , j s’écrit :
Ri , j 
3h 2 h p h 3  2 p 1  3h 2 h p h 3  2 p 
h
h

 2

U
2
2
2 
6 y y 6  y
y
t
R  6   6  
 Résidu de l’équation de Reynolds généralisée « R » :
 Si F=1
1
2
1 2
1 2
( hh3, j 
hh, j hh, j 1 
hh, j hh , j 1 ) p h, j 1 
2
2
2
4(y ) 3
1
2
1 2
1 2
( hh3, j 
hh , j hh , j 1 
hh, j hh, j 1 ) p h , j 1 
2
2
2
4(y ) 3
1 3
1
1
hh , j (

) p h, j 
2
3
(y )
(  ) 2
1
2
1 2
1 2
( hh3, j 
hh, j hh 1, j 
hh, j hh1, j ) p h1, j 
2
2
2
2
4 R ( ) 3
1
2
1 2
1 2
( hh3, j 
hh, j hh1, j 
hh, j hh1, j ) p h1, j 
2
2
2
2
4 R ( ) 3
R
U
hh , j 1  hi , j 1
2 y

2
hh, j (t )  hh , j (t  t )
t
Si F ≠ 1  R=0
48
CHAPITRE III
 Résidu de la première équation d’équilibre (forces) « E1» :
b
a   e (t )  eh (t  2t )  2eh (t  t ) 

E 2  m p (1  )  m a (1  )  h

L
L 
t 2


b
a   eb (t )  eb (t  2t )  2eb (t  t ) 

m

m
p
a


L
L  
t 2

( p
i, j
 pci , j ) cos i , j
in
j m
(2 R 2  (
in
j m
L 2R
 Fs 
n m
hi , j p j 1  p j 1 L 2R
U

)
)tag
hi , j
2
2y
n m
 Résidu de la deuxième équation d’équilibre (moments)
« E2» :
Ip
b   e (t )  eh (t  2t )  2e h (t  t ) 
E3    m p (a  b)(1  )  h
2

L
L

t




 Ip
b   e (t )  eb (t  2t )  2eb (t  t ) 
 m p ( a  b)   b

2

L
L

t




L 2R
( pi , j  pci , j )(a  y ) cos i , j
Ms 

n m
in
j m
(2 R 2  ( 
in
j m
hi , j p j 1  p j 1
U
L 2R

)( R cos  C p )
)
hi , j
2
2y
n m
III.2.4.2 Calcul des éléments du Jacobien
 Si F=1
49
CHAPITRE III
hi , j
hi , j
R
1 1  2 hi , j
1 2 hi, j 1
1 2 hi , j 1

(
2
h

h
h

h

h
h

hi , j
) pi , j 1 
i
,
j
i
,
j
i
,
j

1
h
,
j
i
,
j
i
,
j

1

Pkl 4(y 2 )  
pkl
pkl
2
pkl
pkl
2
pkl
2
1
1

( hi3, j  hi2, j hi , j 1  hh2, j hi, j 1 )Coef 1 
3
2
2

hi , j
hi , j 1
hi, j
hi , j 1
1 1  2 hi , j
1
1
 hi, j
hi , j 1  hi2, j
 hi , j
hi, j 1  hi2, j
) pi , j 1 
(2hi , j
2
pkl
pkl
2
pkl
pkl
2
pkl
4(y )  
2
1
1

( hi3, j  hi2, j hi, j 1  hi2, j hi , j 1 )Coef 2 
3
2
2

hi, j
1
1
1
2
(

)(
3
h
pi , j  hi3, j Coef 3) 
i, j
2
2
3 (y)
pkl
( )
hi , j
hi 1, j
hi , j
hi 1, j
1
1  2 hi , j
1
1
 hi , j
hi 1, j  hi2, j
 hi , j
hi 1, j  hi2, j
) pi 1, j 
(2hi , j
2
pkl
pkl
2
pkl
pkl
2
pkl
4R ( )  
2
2
1
1

( hi3, j  hi2, j hi 1, j  hi2, j hi 1, j )Coef 4 
3
2
2

hi, j
hi 1, j
hi , j
hi 1, j
1
1  2 hi , j
1
1
 hi , j
hi 1, j  hi2, j
 hi , j
hi 1, j  hi2, j
) pi 1, j 
(2hi , j
2
pkl
pkl
2
pkl
pkl
2
pkl
4R ( )  
2
2
1
1

( hi3, j  hi2, j hi 1, j  hi2, j hi 1, j )Coef 5 
3
2
2

hi , j 1 hi, j 1

hi, j
pkl
pkl
U
2
2y
pkl
 Si F≠1

Jac(ijkl)=coef1
Avec :
Coef1=1
si k=i+1 et l=j si non 0
Coef2=1
si k=i61 et l=j si non 0
Coef3=1
si k=i et l=j si non 0
Coef4=1
si k=i et l=j+1 si non 0
Coef1=5
si k=i et l=j-1 si non 0
50
CHAPITRE III
E1
 2 R cos l y l
Pkl
E 2
 2 R (a  y k ) cos l y l
Pkl
 Si F=1
R
eh

yj
yj
y j1
yj
 2
1 1
1 2
cos

(
2
h
(
1

)

h
(
1

)
h

h
(
1

)

h
(
1

)hh, j1 

i
h
,
j
h
,
j
h
,
j

1
h
,
j
h
,
j
L
L
2
L
L
4(y2 ) 

y j1 
1 2
hh, j (1
) ph, j1 
2
L 
yj
yj
y j1
yj

1 1
1
cosi (2hh2, j (1 )  hh, j (1 )hh, j1  hh2, j (1 
)  hh, j (1 )hh, j1 
2
L
L
2
L
L
4(y ) 

y j1 
1 2
hh, j (1
) ph, j1 
2
L 
yj
1 2
1
1
hh, j (1 )(

) cosi ph, j 
2

L (y) ()2
yj 
1
1
1
1
(1 )(2hh2, j cosi  hh, j cosi hh1, j  hh2, j cosi1  hh, j cosi hh1, j  hh2, j cosi1 ) ph1, j 
2
2
L 
2
2
4R ( ) 

yj  2
1
1
1
1
(
1

)(2hh, j cosi  hh, j cosi hh1, j  hh2, j cosi1  hh, j cosi hh1, j  hh2, j cosi1 ) ph1, j 
2
2
L 
2
2
4R ( ) 
y j1  y j1
y j cosi
U cosi
 2(1  )
2Ly
L t

 Si F≠1
Jac(ij(n+1))=0
b
a 

m p (1  )  ma (1  )

E1 
L
L 

2
eh
(t )
51
CHAPITRE III
Ip
b 
  m p (a  b)(1  )
L 
E 2  L

2
e h
( t )
 Si F=1
yj
yj
y j 1
yj
y j 1 

E1
1 1
1
1

cos i (2hh2, j
 hh, j hh, j 1  hh2, j
 hh, j hh, j 1  hh2, j
 ph, j 1 
2
eb 4(y ) 
L
L
2
L
L
2
L


yj
yj
y j 1
yj
y j 1 

1 1
1
1
cosi (2hh2, j
 hh, j hh, j 1  hh2, j
 hh, j hh, j 1  hh2, j
 ph, j 1 
2
L
L
2
L
L
2
L 
4(y ) 

1 2 yj
1
1
hh, j (

) cos i ph, j 
2

L (y) ( ) 2
1
1 yj  2
1
1
(2hh, j cos i  hh, j cos i hh1, j  hh2, j cos i1  hh, j cosi hh1, j  hh2, j cos i 1 ) ph1, j 
2
2

2
2
4R ( )  L 
1
1 yj  2
1
1
(2hh, j cos i  hh, j cos i hh1, j  hh2, j cos i 1  hh, j cosi hh1, j  hh2, j cos i 1 ) ph1, j 
2
2

2
2
4R ( )  L 


U cos i
y j 1  y j 1
2Ly
2
y j cos i
L t
 Si F≠1
Jac(ij(n+2))=0
a
 b
m

m
p
a
E1 
L
L 

eb
(t ) 2
 Ip
b
 m p ( a  b) 

L
E 2  L

2
eb
(t )
52
CHAPITRE VI
ALGORITHME DE RESOLUTION
CHAPITRE IV
IV .1 Introduction
On donne dans ce chapitre la méthode de calcul représentée par la structure du code de
calcul écrit en Fortran utilisé pour résoudre le problème hydrodynamique de lubrification du
piston de moteur F8L413. Le code de calcul se compose d’un programme principal et des
sous programmes.
IV.2 Programme principal
Le programme principal appelé piston est structuré comme la figure IV.1. Ce programme
est compose des sous programme qui sont DONNEES, LIRE_DONNES et CALCUL.
Début
LIRE_DONNEES
DONNEES
CALCUL
Fin
Figure IV.1: Organigramme de programme principal.
« DONNEES » est un sous programme qui donne les valeurs des variables de sous
programme LIRE_DONNEES.
53
CHAPITRE VI
V.3 Le sous programme LIRE_DONNEES
Début
Module MDONNEES
Ovrire (1,FILE='res\donnees.dat')
lire (DIAMETRE_PISTON)
lire(RAYON_IVLEBREQUIN)
lire (LONGUEUR_BIELLE)
lire (MASSE_PISTON)
lire (MASSE_AXE)
lire(DESAXCP)
lire (DESAXCG)
lire (JEU_RADIAL_HAUT)
lire (JEU_RADIAL_BAS)
lire (JEU_RADIAL_CENTRAL)
lire (POSITION_CENTRALE)
lire (MINERTIE_PISTON)
lire (A)
lire (B)
lire ( IVSCOSITE)
lire (IVTESSE_ROTATION)
lire ( L_JUPE)
54
CHAPITRE VI
lire (L_CHEMISE)
lire ( n_circ)
lire ( n_axi)
lire ( n_cycle)
lire (tet1a)
lire (tet2a)
lire ( ICHEC_ELAS_JUPE)
lire( ICHEC_ELAS_CHEMISE)
lire ( ICHEC_CAIVTATION)
lire ( YOUNG_JUPE)
lire (YOUNG_CHEMISE)
lire (LONGUEUR_ONDE)
lire ( AMPLITUDE)
ouvrir (1,FILE='res\pression1.dat')
Faire pour I = 1, 144
lire (Pas, ALPHA(Pas), P_GAZ(Pas))
ALPHA(pas) = ALPHA(pas)*PI/180.0
Fin pour
Fin
Figure IV.2 : Algorithme du sous programme LIRE_DONNEES.
55
CHAPITRE VI
IV.4 Sous programme « calcul »
C’est le programme le plus important qui donne la méthode de calcul du problème
hydrodynamique du piston, il est donné par l’organigramme suivant :
Début
Module MDONNEES
Lire donnes
Fichier de maillage
Expression des variables indicielles
Paramètres cinématique
Paramètres cinématique
Initialisation des variables ( eh, eb, hij et la
pression )
Paramètre du profil
Cubique ou parabolique
(1)
56
CHAPITRE VI
(1)
i=1, n_cycle
pas=1, 144
J=1, n_cavit
Calcul des forces et des moments
hydrodynamiques
Calcul des résidus des équations
(Reynolds et d’équilibre)
Calcul des éléments du Jacobien
Résolution du système R+[J].∆=0
(méthode numérique de Choleski)
(4) (3)
(2)
(1)
57
CHAPITRE VI
(4) (3)
(2)
(1)
Correction de la pression Ph et des
excentricités eh, eb
Calcul du champ d’épaisseur
Calcul du frottement
Ecriture des résultats : pression,
épaisseur du film, excentricités….
Fin
Figure IV.4: Organigramme de sous programme calcul.
58
Chapitre V
Résultats et interprétation
CHAPITRE V
RESULTATS ET INTERPRETATION
V.1 Introduction
Dans le chapitre III, on a fait un calcul hydrodynamique où on a cherché une solution de
système d’équation constitué de l’équation de Reynolds et les deux équations de la
dynamique du piston pour déterminer les deux degrés de libertés qui sont e
h
et e , la
b
pression hydrodynamique et l’épaisseur du film lubrifie.
On applique le programme du chapitre précédent sur le modèle du piston de moteur
F8L413. Les résultats sont obtenus sur un cycle moteur soit une rotation de 720° du
vilebrequin. Le profil de le jupe du piston est donné par des équations cubique et parabolique.
Dans ce chapitre on va expliciter plus les calculs par des résultats obtenus après l’exécution
du code de calcul du programme hydrodynamique.
V.2 Données de base
Le domaine de calcul est un angle de rotation du moteur de 720°. Cet angle correspond à
un domaine temporel sans dimension de4 . Pour un pas   5 .
Les données utilisées dans la simulation du mouvement hydrodynamique sont montrées
dans le tableau V.1.
60
Chapitre V
Désignation
Variable
Valeur
Longueur de la jupe du piston
L
90 mm
Rayon du piston
R
60 mm
Rayon du vilebrequin
R
62.5 mm
Longueur de bielle

238 mm
Masse du piston
mpist
1.9 Kg
Masse de l’axe
maxe
0.9 Kg
Distance de l’axe au haut du piston
A
37 mm
Jeu radial de l’ensemble piston-cylindre
C
0.035 mm
Désaxage (piston-axe)
Cp
1.5 mm
Désaxage du centre de gravité
Cg
0
Vitesse de rotation

2000t/mn
Viscosité dynamique de l’huile

0.0069 Pa.s
Angle fluide assumé

15°
Tableau V.1 : Données de base utilisées dans la simulation.
V.3 Résolution
10
Pressiondes gaz,MPa
8
6
4
2
0
0
40
80
120
160
Angle vilebrequin, degré
Figure V.1 : Pression des gaz de combustion sur un cycle moteur
61
Chapitre V
La figure V.1 représente la variation de la pression des gaz de combustion durant un cycle
moteur. La pression maximale au cours de l’explosion des gaz à atteint la valeur réelle de
Pmax=8.2 MPa.
V.3.1 Evolution des excentricité eh et eb
La convergence de la solution sera obtenue quand la condition de cyclicité
eh (t  4 )  eh (t )
eb (t  4 )  eb (t )
est vérifiée.
20
eh
eb
Excentricités, m
10
0
-10
-20
-30
0
40
80
a) cycle 1
62
120
160
Chapitre V
20
eh
eb
Excentricité, m
10
0
-10
-20
-30
0
40
80
120
160
120
160
b) cycle 2
20
eh
eb
Excentricités, m
10
0
-10
-20
-30
0
40
80
c)
cycle 3
Figure V.2: Progression de la convergence de la solution.
63
Chapitre V
Cycle 1
e
  0
Cycle 2
e
b
h
e
h
Cycle 3
e
b
e
e
b
h
0.007091579
-0.03000000
5.92253208
6.49323082
6.73297882
9.26425171
5.38066053
5.99976969
4.85364723
9.75201893
6.1759696
10.3439064
  720
Tableau V.2 : Les valeurs de e et e dans les trois cycles.
h
b
La figure V.2 montre la progression de la convergence du calcul des excentricités haut et
bas du piston pour une vitesse V= 2000t/mn.
Partant d’une solution initiale quelconque la solution devient cyclique au bout de 3 cycles
(Fig. V. 2-C). Les excentricités eh et eb variaient en sens inverse l’un de l’autre. Le
maximum de basculement du piston est obtenu lors de la phase de détente 360-540.
Les excentricités eh et eb du haut et du bas de la jupe, positives sont dirigées vers le coté
de poussée minimale, les excentricités négatives sont dirigées vers le côté de poussée
maximale.
La cyclicité de la solution est obtenue au bout de cycle 3 (Tableau V.2).
64
Chapitre V
V.3.2 Variation de la pression maximale au cours d’un cycle moteur
3.5
Pression maximale, MPa
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Figure V.3 : Variation de la pression maximale
La figure V.3 représente la variation de la pression maximale sur le cycle moteur de
convergence (cycle 3). La pression maximale est obtenue lors de l’explosion des gaz de
combustion au point mort haut du piston et atteint la valeur de 3.4 MPa.
On remarque également que la pression atteint des valeurs maximales aux points mort haut
et point mort bas.
En représentant dans la figure (V. 4) la distribution de pmax à   50  .
On voit que la zone de cavitation (p=0) est située comme l’indique la Figure V.4.
65
Chapitre V
Figure V.4 : La distribution de la pression maximale sur la jupe.
V.3.3 Epaisseur minimale de film
24
Epmaisseur minimale, m
20
16
12
8
0
40
80
120
Figure V. 5 : Epaisseur minimale du film
La figure V.5 représente la variation de l’épaisseur minimale de film d’huile hmin au cours
d’un cycle moteur (0-720).
66
160
Chapitre V
On remarque que l’épaisseur minimale est obtenue dans l’intervalle [540,600] c'est-à-dire
au cours de la détente. La valeur minimale de l’épaisseur de film d’huile est égale à 12µM
V.3.4 Le profil de la jupe
V.3.4.1Profil cubique
Le profil est choisi pour des valeurs comprises entre 50 mm et 55 mm, les paramètres sont
fixés avec les mêmes valeurs que ci-dessus. Effets du l'épaisseur minimale du film sur les
différents profils sont donnés aux figures V.6.
30
LM=50
LM=51
LM=54
Profil cylindrique
Epaisseur minimale, m
25
20
15
10
5
0
0
40
80
(a) 51< L m <54 mm
67
120
160
Chapitre V
30
LM=53
LM=54
LM=55
Profil cylindrique
Epaisseur minim
ale, m
25
20
15
10
5
0
0
40
80
120
160
(b) 53< L m <55 mm
Figure V.6 : Effet de l’épaisseur minimale avec Lm différent (cubique).
Le profil retenu est le profil avec Lm = 54 mm. Les valeurs de Lm et h0 sont fixées
respectivement à 54 mm 35 µm, et les autres paramètres hm et hc sont
variables. Les
différents paramètres des profils (figure 7) sont donnés dans le tableau V.2.
Profile
h m ,µm
h b ,µm
1
25
35
2
25
30
3
20
35
4
20
30
Tableau V.3 : Paramètres choisis des profils cubiques de la jupe.
68
Chapitre V
0
Profile 1
Profile 2
Profile 3
Profile 4
y, mm
-20
-40
-60
-80
0
10
20
30
40
F(y), m
Figure V.7: Profils cubique de la jupe avec LM=54.
Les résultats présentés dans les figures V.7 et V.8 montres que le profil 1 présente les
conditions optimales c'est-à-dire le moins amplifie.
Le profil aux caractéristiques suivant :

Frottement minimal (figure V.7).

Profil stable (mouvement aligné) (figure V.8).

Epaisseur minimale (figure V.9).
69
Chapitre V
30
Profil
Profil
Profil
Profil
20
1
2
3
4
frottement, N
10
0
-10
-20
-30
0
40
80
120
160
Figure V.7 : Effet de frottement pour différents profils cubique.
profil
profil
profil
profil
20
1
2
3
4
Excentricité eh, m
15
10
5
0
-5
0
40
80
120
Angle vilebrequin,degré
Figure V.8 : Evolution de l’excentricité e pour différent profils cubique.
b
70
160
Chapitre V
profil
profil
profil
profil
profil
30
1
2
3
4
cylindrique
E
paisseur m
inim
ale, m
25
20
15
10
5
0
0
40
80
120
160
Figure V.9: Effet de l'épaisseur minimale du film pour différent profils cubique.
V.3.4.1Profils parabolique
Le profil est choisi pour des valeurs comprises entre 45 mm et 56 mm, les paramètres sont
fixés avec les mêmes valeurs que ci-dessus. Effets du l'épaisseur minimale du film sur les
différents profils sont donnés aux figures V.10.
30
LM=45 µm
LM=54 µm
LM=55 µm
PROFIL CYLINDRIQUE
LM= 50µm
LM=56 µm
Epaisseur m
inim
ale, µm
25
20
15
10
5
0
0
40
80
120
160
Figure V.10 : Effet de l’épaisseur minimale avec Lm différent (parabolique).
71
Chapitre V
Le profil retenu est le profil avec Lm = 56 mm. Les valeurs de Lm et h0 sont fixées
respectivement à 56 mm 35 µm, et les autres paramètres hm et hc sont
variables. Les
différents paramètres de profils (figure V.11) sont donnés dans le tableau V.3.
Profile
h m (µm)
h b (µm)
1
25
35
2
25
30
3
20
35
4
20
30
Tableau V.4 : Paramètres choisis des profils paraboliques de la jupe.
Figure V.11: Profils parabolique de la jupe avec LM=56
72
Chapitre V
Les résultats ci-dessous montrent que le profil 1 présente les conditions optimales.
Le profil a les caractéristiques suivant :

Frottement minimal (figure V.15).

Profil stable (mouvement aligné) (figure V.13).

Epaisseur minimale (figure V.14).
20
New Legend
Profil
Profil
Profil
Profil
16
1
2
3
4
Excentricité eh, µm
12
8
4
0
-4
0
40
80
120
160
Figure V.12 : Evolution de l’excentricité e pour différent profils cubique.
b
73
Chapitre V
PROFIL
PROFIL
PROFIL
PROFIL
Profil 4
30
1
2
3
CYLINDRIQUE
20
15
10
5
0
0
40
80
120
160
Figure V.13 : Epaisseur minimale des différents profils paraboliques.
Profil
Profil
Profil
Profil
40
1
2
3
4
20
Frottem
ent, N
Epaisseur minimale, µm
25
0
-20
-40
0
40
80
120
Figure V.14: Effet de frottement des profils paraboliques.
74
160
Chapitre V
V.3.4.3 Effet des différents profils analysés
10
profil parabolique
profil cubique
profil cylindrique
Excentricité eb, µm
0
-10
-20
-30
-40
0
40
80
120
160
Angle vileprequin, degré
Figure V.15 : variation de l’excentricité e pour différents profils.
b
30
Profil cylindrique 1
profil parabolique 2
profil cubique 3
Epaisseur minimale, MPa
25
20
15
10
5
0
0
40
80
120
160
Figure V.16 : Variation de l’épaisseur minimale (hmin) pour différents profils.
75
Chapitre V
La figure V.16 représente la variation de l’épaisseur minimale des différents profils sur un
cycle moteur.
La figure V.15 représente l’effet des différents profils sur le mouvement secondaire.
Les figures V.15 et V.16 montrent que le profile cubique:
f ( y )  a1 y 3  a 2 y 2  a 3 y  a 4
Avec :
Pour :
= 4.7629930 − 02, = −1.7146770 − 03,
= −2.3148154 − 04 et
= 0.3500 − 04
ℎ = 0.3500 − 04
ℎ = 0.3500 − 04
ℎ = 0.2500 − 04
= 0.5400 − 01 = 0.9000 − 01 Ce profil se présente comme meilleur que le profil parabolique
( ( ) = 5.2521010 − 03
− 4.7268911 − 04
+ 0.3500 − 04 ) et cylindrique
car il donne un mouvement secondaire plus aligné au piston (Figure V.16) et une épaisseur du
film lubrifier minimale.
76
Conclusions
Notre étude de master a trait au calcul optimal de profils de piston de moteur à
combustion interne.
Une application est faite sur le moteur Diesel à injection directe type F8L413. Ce
moteur est monté actuellement sur les camions TB230 de la SNVI Rouiba.
Le piston est analysé dans son environnement avec présence d’huile de lubrification en
interaction avec la paroi du piston..
Le modèle est régi par un système d’équations dynamiques et de lubrification par film mince
dont les paramètres sont les excentricités du haut et du bas de la jupe, la pression
hydrodynamique et l’épaisseur du film d’huile.
La cavitation est également prise en compte dans le calcul de la lubrification hydrodynamique
du piston. Différents profils de la jupe sont analysés et ce avec différentes configurations
choisies selon la distance haut de jupe centre de jupe et bas de jupe. Les profils de base
étudiés sont le profil parabolique et le profil cubique. Le profil retenu est celui qui donne le
minimum de frottement et une meilleure stabilité du piston c'est-à-dire un mouvement aligné
de faible amplitude
Les résultats obtenus montrent que le profil cubique présente le profil optimal qui
répond au mieux à ces critères.
L’étude nous a permis également de comprendre le phénomène très complexe du
piston et sa mise en équation puis sa résolution par l’utilisation d’un code de calcul assez
complexe.
77
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Influence de profil de la jupe sur la performance du piston de moteur

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