La correction du DR1

TS - Maths - Corrigé D.R.1
Diagonales d’un polygone
Pour n entier, n ≥ 4, on note d n le nombre de diagonales d’un polygone convexe* à n côtés.
*Polygone convexe : tout segment ayant des extrémités à l’intérieur du polygone est entièrement situé à
l’intérieur du polygone.
1. Déterminer graphiquement d 4 , d 5 , d 6 et d 7 .
• d4 = 2
• d5 = 5
b
b
b
b
b
b
b
b
b
• d 7 = 14
• d6 = 9
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
2.
b
(a) Un exemple : Tracer un pentagone ABCDE puis ajouter un point F à l’extérieur du pentagone. Quelles sont les diagonales de ABCDEF qui ne sont pas diagonales de ABCDE ? En
déduire une relation entre d 5 et d 6 .
On dénombre 4 diagonales de ABCDEF qui ne
B
sont pas des diagonales de ABCDE :
b
• les 3 diagonales passant par le nouveau
sommet F : [FB] ; [FC] et [FD]
Ab
b
Fb
b
E
b
D
C
• le segment [AE] qui est devenu une diagonale.
Ainsi, le nombre de diagonales de ABCDEF est
égal au nombre de diagonales de ABCDE augmenté de 4 soit d 6 = d 5 + 4 .
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(b) Établir de même une relation entre d n et d n+1 .
Soit A 1 A 2 . . . A n un polygone convexe à n côtés.
On ajoute un point A n+1 à l’extérieur de ce polygone pour former A 1 A 2 . . . A n A n+1 polygone
à n + 1 côtés.
Le polygone A 1 A 2 . . . A n A n+1 possède d n+1 diagonales que l’on peut dénombrer de la façon
suivante :
• les diagonales du polygone A 1 A 2 . . . A n , soit d n diagonales ;
• les diagonales qui partent de A n+1 pour joindre les sommets A 2 , A 3 . . . A n−1 , soit n − 2 diagonales supplémentaires ;
• le segment [A 1 A n ] qui devient une diagonale.
Ainsi, d n+1 = d n + (n − 2) + 1 soit, en simplifiant, d n+1 = d n + n − 1 .
3. Montrer par récurrence qu’un polygone à n côtés admet
Soit P n la propriété « d n =
n(n − 3)
diagonales.
2
n(n − 3)
» pour tout entier n, n ≥ 4.
2
• Initialisation (n = 4)
On sait que d 4 = 2 d’après la question 1.
n(n − 3) 4 × 1
De plus, pour n = 4,
=
= 2 donc P 4 est vraie.
2
2
• Hérédité
On suppose qu’à un rang k fixé (k ≥ 4), P k est vraie i.e. d k =
est vraie i.e. d k+1 =
k2 − k − 2
(k + 1)(k − 2)
soit d k+1 =
.
2
2
k(k − 3)
, montrons alors que P k+1
2
D’après la question 2.b), on sait que : d k+1 = d k + k − 1
k(k − 3)
=
+k −1
2
k(k − 3) + 2(k − 1)
=
2
k2 − k − 2
=
2
Ainsi, P k+1 est vraie.
par hypothèse de récurrence
4. Conclusion
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, n ≥ 4, un polygone à n côtés admet
n(n − 3)
diagonales.
dn =
2
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