TD 6 - LSIS

Université d’Aix-Marseille - Faculté des Sciences
Master Informatique – M1
Complexité
Feuille de TD n° 6
Problème 1
Question 1. Nous considérons le problème appelé BIN-PACKING et qui est défini ci-dessous :
Problème : BIN-PACKING
Données : Un ensemble fini A, une fonction de taille t : A → N, un entier naturel B, et un entier
naturel K.
Question : Existe-t-il une partition de A en K sous-ensembles tels que la somme des tailles des
éléments qui les composent est inférieure ou égale à B ?
Donnez deux jeux de données différents de ce problème (où le nombre d’éléments de A est égale à
10) et où la valeur de B vaut 3. Le premier jeu de données sera positif, le second sera négatif.
Question 2. Montrez que le problème BIN-PACKING défini ci-dessus appartient à la classe NP en
exhibant un algorithme de résolution en « Pseudo-C » non déterministe dont la complexité est
polynomiale.
Question 3. Montrez que le problème BIN-PACKING défini ci-dessus appartient à la classe NP en
exhibant un certificat polynomial.
Question 4. On supposera que le problème PARTITION est NP-Complet.
Problème : PARTITION
Données : Un ensemble fini A, une fonction de taille t : A → N
Question : A possède-t-il un sous-ensemble B dont la somme de la taille de ses éléments est
exactement égale à la somme de la taille des éléments de A qui ne sont pas dans B ?
Démontrer que le problème PARTITION se réduit polynomialement au problème BIN-PACKING.
Question 5. Démontrer que le problème BIN-PACKING est NP-Complet (appartient à NP-C).
Problème 2
Dans ce qui suit, si vous utilisez les résultats (théorèmes ou propriétés) vus en cours ou en travaux
dirigés, vous veillerez à les citer précisément lorsque vous les utiliserez. Vous pourrez notamment
utiliser le fait que les problèmes suivants sont NP-Complets : SAT, CLIQUE, STABLE, TRANSVERSAL,
SOMME, PARTITION, K-COLORATION, BIN-PAKCING et COUPE-CYCLE-MIN. On considère ici le
problème de décision POIDS-PARTITION-SOMMETS
Problème : POIDS-PARTITION-SOMMETS
Données : Un graphe non-orienté valué aux sommets G = (S,v,A).
Question : Existe-t-il une partition des sommets de G en deux sous-ensembles S1 et S2
dont les sommes des valeurs des sommets de chacune des deux parties S1 et S 2 sont les
mêmes ?
On rappelle que dans un graphe non-orienté valué aux sommets G = (S,v,A), chaque sommet x possède
une valeur v(x) positive ou nulle.
Question 1. Démontrez que le problème POIDS-PARTITION-SOMMETS est dans la classe NP en
exhibant un algorithme non-déterministe qui le résout.
Question 2. Démontrez que le problème POIDS-PARTITION-SOMMETS est dans la classe NP en
exhibant un certificat polynomial.
Question 3. Démontrez que le problème POIDS-PARTITION-SOMMETS est NP-Complet.
Question 4. On considère maintenant le problème de décision ARBRE-PARTITION-SOMMETS
Problème : ARBRE-PARTITION-SOMMETS
Données : Un graphe non-orienté valué aux sommets G = (S,v,A) et un entier k.
Question : Existe-t-il une partition des sommets de G en deux sous-ensembles S1 et S2
telle que la somme des valeurs des sommets de la partie S1 est inférieure ou égale à k et le
sous-graphe de G induit par S2 est un arbre ou une forêt (collection d’arbres) ?
Donnez une justification de l’appartenance du problème ARBRE-PARTITION-SOMMETS à la classe NP.
Attention, il ne vous est pas demandé d’écrire dans le détail un algorithme de résolution nondéterministe ni de fournir de façon détaillée la preuve de l’existence d’un certificat polynomial, mais
juste de justifier l’appartenance à NP de façon informelle.
Question 5. On revient sur le problème de décision COUPE-CYCLE-MIN étudié en travaux pratiques.
Problème : COUPE-CYCLE-MIN
Données : Un graphe non-orienté G = (S,A) et un entier k.
Question : Existe-t-il un sous-ensemble X des sommets de G et de taille au plus égale à k
tel que le sous-graphe de G induit par la suppression des sommets de X est acyclique ?
Montrer que le problème COUPE-CYCLE-MIN se réduit polynomialement au problème ARBREPARTITION-SOMMETS, c’est-à-dire que l’on a COUPE-CYCLE-MIN ≤P ARBRE-PARTITION-SOMMETS.
Question 6. Déduire des réponses aux questions 4 et 5 que le problème ARBRE-PARTITIONSOMMETS est NP-complet.