Correction DS1_TGSI

CORRECTION DU DEVOIR N°1 DE MATHEMATIQUES
EXERCICE N°1 : QCM (1 point par question)
question) SUJET N°1
Pour chaque question, une réponse est exacte. Une réponse juste apporte 1 point, une fausse enlève
0,25 point et l’absence de réponse ne rapporte et n’enlève aucun point.
Le prix d’une denrée augmente de 3,6% la première année et augmente de 20% la seconde année.
1) A l’issue de la première année, le prix de cette denrée a été multiplié par :
□ 0,964
● 1,036
□ 1,360
□ 0,096
□ 16,4%
□ 23,6%
2) A l’issue des deux années, ce prix a augmenté de :
□ 7,2%
● 24,32%
3) Le taux d’´evolution annuel moyen sur ces deux années est à 0,1% près :
□ 7,2%
□ 16,4%
● 11,5%
□ 11,8%
4) Si cette denrée avait augmenté de 3,6% pendant 7 ans, le taux d’´evolution pour ces sept années
aurait été de :
□ 25,2%
□ 27,2%.
□ 32,6%
● 28,1%.
EXERCICE N°1 : QCM (1 point par question)
question) SUJET N°2
Pour chaque question, une réponse est exacte. Une réponse juste apporte 1 point, une fausse enlève
0,25 point et l’absence de réponse ne rapporte et n’enlève aucun point.
Le prix d’une denrée augmente de 4,3% la première année et augmente de 30% la seconde année.
1) A l’issue de la première année, le prix de cette denrée a été multiplié par :
□ 0, 957
□ 1, 430
● 1, 043
□ 0, 095
□ 25,7%
● 35,59%
2) A l’issue des deux années, ce prix a augmenté de :
□ 8,62%
□ 34, 3%
3) Le taux d’´evolution annuel moyen sur ces deux années est à 0,1% près :
□ 7,2%
● 16,4%
□ 25,7%
□ 24,7%
4) Si cette denrée avait augmenté de 3,6% pendant 7 ans, le taux d’´evolution pour ces sept années
aurait été de :
● 28,1%
□ 30,1%.
□ 34,3%
□ 32,3%.
EXERCICE N°2
N°2 : Indices (6,5 points)
Le tableau suivant donne le répartition des internautes par continent pour les années 2001, 2002,
2003 et 2004 en millions d’individus.
Zone
2001
2002
2003
2004
Amérique du Nord
166,7
182,6
196
243
Amérique latine
24,8
33,
40,6
47,3
Afrique Moyen-Orient
8,4
11,4
21,3
Asie pacifique
125,9
Europe
143,3
190,9
298
375,5
221,1
252,5
1) En Asie pacifique, le taux d’évolution de 2003 à 2004 s’élève à 26% donc ‫ = ݐ‬0,26.
݊ଶ଴଴ସ = (1 + ‫݊)ݐ‬ଶ଴଴ଷ
݊ଶ଴଴ସ = (1 + 0,26)298 = 375,5
Donc le nombre d’internautes en Asie pacifique en 2004 est de 375,5 millions. (1 point)
2)
a. En prenant pour base 100 le nombre d’internautes en Europe en 2001, on obtient un indice
133,2 pour l’année 2002.
௡
‫ܫ‬ଶ଴଴ଶ/ଶ଴଴ଵ = 100 × ௡మబబమ
మబబభ
133,2 = 100 ×
Donc ݊ଶ଴଴ଶ =
௡మబబమ
ଵସଷ,ଷ
ଵଷଷ,ଶ×ଵସଷ,ଷ
ଵ଴଴
≈ 190,9
Donc le nombre d’internautes en Europe en 2001
2001 est d’environ 190,9 millions. (1 point)
b. Calculer l’indice en base 100 du nombre d’internautes en Europe en 2004 par rapport à
2001.
௡
‫ܫ‬ଶ଴଴ସ/ଶ଴଴ଵ = 100 × ௡మబబర
మబబభ
ଶହଶ,ହ
‫ܫ‬ଶ଴଴ଶ/ଶ଴଴ଵ = 100 × ଵସଷ,ଷ ≈ 176,2
Donc l’in
l’indice
’indice du nombre d’internautes en Europe en 2004 par rapport à 2001 est de 176,2 . (1 point)
c. En déduire le taux d’évolution du nombre d’internautes en Europe en 2004 par rapport à
2001.
‫ܫ‬ଶ଴଴ସ/ଶ଴଴ଵ = 100 × (1 + ‫)ݐ‬
176,2 = 100 × (1 + ‫)ݐ‬
Donc ‫= ݐ‬
ଵ଻଺,ଶିଵ଴଴
ଵ଴଴
= 76,2
Donc le nombre d’internautes en Europe a augmenté de 76,2% entre 2001 et 2004. (1 point)
Attention, l’énoncé stipule que le résultat doit être déduit de l’indice.
3) Taux annuel moyen d’évolution, à 10ିଶ près, entre 2001 et 2004 pour l’Amérique du Nord :
Soit ܶ le taux global entre 2001 et 2004.
௡
ଶସଷ
1 + ܶ = ௡మబబర donc 1 + ܶ = ଵ଺଺,଻ ≈ 1,46
మబబభ
Soit ‫ݐ‬௠ le taux moyen annuel entre 2001 et 2004, alors ݊ = 3.
1 + ܶ = (1 + ‫ݐ‬௠ )ଷ
భ
భ
Donc 1 + ‫ݐ‬௠ = (1 + ܶ)య donc ‫ݐ‬௠ = (1,46)య − 1 ≈ 0,13
Donc le nombre d’internautes en Amérique du Nord a augmenté en moyenne de 13% par an. (1,5
point)
4) Un organisme utilise le taux moyen annuel pour estimer le nombre d’internautes en Amérique du
Nord en 2005.
݊ଶ଴଴ହ = (1 + ‫݊)ݐ‬ଶ଴଴ସ avec ‫ = ݐ‬0,13
݊ଶ଴଴ହ = (1 + 0,13)243 ≈ 275,5
Donc le nombre d’internautes en Amérique du Nord peut être estimé en 2005
2005 à 275,5 millions.
Etant données les fortes variations du nombre d’
d’internautes, on peut estimer que cette estimation ne
donnera pas une idée du nombre réel d’
d’internautes en 2005. (1 point)
EXERCICE N°3
N°3 : Extrait du baccalauréat (5,5 points)
La Chine, les Etats-Unis et la France sont parmi les principales destinations de vacances dans le
monde. Le graphique donné montre l’évolution du nombre de touristes étrangers, en millions,
arrivés dans ces trois pays durant les quatre années de 1998 à 2002.
1) Le nombre de touristes étrangers arrivé en Chine n’a cessé d’augmenté de 1998 à 2002.
a. Cette croissance n’est pas linéaire
linéaire car le nombre supplémentaire de touristes qui arrivent
chaqu
chaque année n’
n’est pas constant. (1 point)
On peut aussi remarquer que sur le graphique les points qui correspondent aux années 1998 à 2002
ne sont pas alignés. On peut aussi vérifier que le taux de variation d’une année sur l’autre n’est pas
constant.
b. Chaque année, combien est-il arrivé, en moyenne de touristes étrangers entre 1998 et
2002 ?
Cette question n’a pas été bien comprise. On regarde la moyenne du nombre de touristes par année,
et non la moyenne du nombre de touristes supplémentaires qui arrivent.
C’est une moyenne arithmétique.
ଶହ,ଵାଶ଻ାଷଵ,ଶାଷଷ,ଶାଷ଺,଼
ହ
= 30,66
Chaque année depuis 1998,
1998, il arrive en moyenne 30,66 millions de touristes en Chine. (1 point)
2) Pour les Etats-Unis, on constate une forte baisse du nombre de touristes étrangers de 2000 à
2002.
a. Monter que le taux d’évolution moyen annuel durant cette période de deux ans est de
−9,3%.
݊ଶ଴଴ଶ = (1 + ‫ݐ‬௠ )ଶ ݊ଶ଴଴଴ avec ‫ = ݐ‬−0,093
݊ଶ଴଴ହ = (1 + 0,093)² × 50,9 ≈ 41,9
Donc le no
nombre de touri
touristes qui arrivent aux EtatsEtats-Unis a baissé en moyenne de 9,3% durant cette
période de deux ans.
ans (1,5 point)
Beaucoup d’élèves perdent du temps à recalculer le taux moyen alors qu’il suffit d’appliquer le
schéma du cours et de vérifier que la valeur finale obtenue est la même.
b. Taux d’évolution du nombre de touristes étrangers arrivés aux Etats-Unis de 1999 à 2000 :
‫=ݐ‬
௡మబబబ ି௡భవవవ
௡భవవవ
donc ‫= ݐ‬
ହ଴,ଽିସ଼,ହ
ସ଼,ହ
≈ 0,049
Donc le no
nombre de touri
touristes qui arrivent aux EtatsEtats-Unis a augmenté de 4,5%
4,5% de 1999 à 2000.
2000 (1 point)
c. On suppose que le taux d’évolution calculé dans la question précédente est maintenu
durant les deux années de 2000 à 2002.
݊ଶ଴଴ଶ = (1 + ‫)ݐ‬ଶ ݊ଶ଴଴଴ avec ‫ = ݐ‬0,049
݊ଶ଴଴ହ = (1 + 0,049)² × 50,9 ≈ 56
Donc le no
nombre de touri
touristes qui auraient dû arriver aux EtatsEtats-Unis en 2002 serait de 56 millions.
millions (1,5
point)
EXERCICE N°4
N°4 : Taux moyen (4 points)
Le tableau donné montre l’évolution du nombre d’écoles (maternelles et élémentaires) de 1980 à
2004 en France.
1) Taux d’évolution global du nombre d’écoles en France entre les années 1980 et 2004 :
ܶ=
௡మబబర ି௡భవఴబ
௡భవఴబ
donc ܶ =
ହ଺ ଺ଶ଼ି଺଼ ଼ଷଽ
଺଼ ଼ଷଽ
≈ −0,177
Donc le nombre d’
d’écoles en France a baissé globalement de 17,7% entre 1980 et 2004. (1 point)
2) Taux d’évolution annuel moyen du nombre d’écoles en France entre les années 1997 et 2004.
Entre 1997 et 2004 il y a 7 ans donc ݊ = 7.
Soit ܶ le taux global entre 1997 et 2004.
௡
ହ଺ ଺ଶ଼
1 + ܶ = ௡మబబర donc 1 + ܶ = ଺଴ ଵଽ଺ ≈ 0,94
భవవళ
Soit ‫ݐ‬௠ le taux moyen annuel entre 1997 et 2004.
1 + ܶ = (1 + ‫ݐ‬௠ )଻
భ
భ
Donc 1 + ‫ݐ‬௠ = (1 + ܶ)య donc ‫ݐ‬௠ = (0,94)య − 1 ≈ −0,009
Donc le nombre d’
d’écoles en France a baissé en moyenne de 0,9%
0,9% par an entre 1997 et 2004. (2 points)
3) On admet qu’à partir de l’année 2004 le taux d’évolution annuel est de −1%.
݊ଶ଴଴଼ = (1 + ‫ݐ‬௠ )ସ ݊ଶ଴଴ସ avec ‫ = ݐ‬−0,093
݊ଶ଴଴ହ = (1 − 0,01)ସ × 56 628 ≈ 54 397
Donc on peut estimer le nombre d’
d’écoles en France en 2008
2008 à 54 397
397. (1 point)