Modulations Analogiques 1

Modulations Analogiques
• Modulations d’amplitude :
– double bande sans porteuse (DBSP)
– double bande avec porteuse (DBAP)
– bande latérale unique (BLU)
• Modulation de fréquence
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Double Bande Sans Porteuse (DBSP)
x(t) = Am(t) cos(2πf0 t)
où le message m(t) est réel, centré, de bande (−b, b) avec b ¿ f0 .
Typiquement b = 5kHz et f0 = 10 MHz.
• trajectoire :
2
• spectre : X(f ) =
A
2 (M (f
− f0 ) + M (f + f0 ))
• bande : 2b
• enveloppe complexe : xb (t) = Am(t)
• puissance : P = A2 Pm /2
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Démodulation
x(t)
m(t)
2 cos(2π f 0 t) oscillateur local
Un déphasage φ de l’oscillateur local entraı̂ne une atténuation en cos2 (phi) :
en présence de bruit le rapport S/B est dégradé dans le même rapport.
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Double Bande Avec Porteuse (DBAP)
x(t) = A(1 + km(t)) cos(2πf0 t)
où le message m(t) est réel, centré, de bande (−b, b) avec b ¿ f0 .
Typiquement b = 5 kHz et f0 = 10 MHz.
• trajectoire :
2
1
0
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1
0
−1
−2
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• spectre : X(f ) =
A
2 kM (f
− f0 ) +
A
2 kM (f
+ f0 ) +
A
2 δ(f
− f0 ) +
A
2 δ(f
+ f0 )
• bande : 2b
• enveloppe complexe : xb (t) = A(1 + km(t))
A2
• puissance : P =
(1 + k 2 Pm )
2
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Démodulation
1) En absence de surmodulation, le démodulateur est un détecteur
d’enveloppe. En effet l’enveloppe de x(t) est
|xb (t)| = A|1 + km(t)| = A(1 + km(t)) > 0,
Statistiquement on prend :
k 2 Pm < 1/9
2) le détecteur d’enveloppe peut être approché par un redresseur suivi d’un
filtre passe-bas si :
b ¿ f0
~
~
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Bande Latérale Unique (BLU)
Idée : réduire la bande de moitié. Pour cela on filtre une DBSP dans la bande
supérieure (f0 , f0 + b) ou dans la bande inférieure (f0 − b, f0 ). Par conséquent,
dans le cas BLU-S, le signal modulé a pour spectre :
X(f ) = A(M + (f − f0 ) + M − (f + f0 ))
On en déduit que l’enveloppe complexe de x(t) par rapport à f0 est :
Xb (f ) = 2AM + (f ) ⇒ xb (t) = A(m(t) + j m̂(t))
On en déduit que :
x(t) = Am(t) cos(2πf0 t) − Am̂(t) sin(2πf0 t)
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• trajectoire : pas de forme simple sauf si m(t) est une sinusoı̈de.
• spectre :
X(f ) = A(M + (f − f0 ) + M − (f + f0 ))
• bande : b
• enveloppe complexe : xb (t) = A(m(t) + j m̂(t))
• puissance : P = A2 Pm
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Démodulation
1) démodulation synchrone,
2) un déphasage φ de l’O.L. donne s(t) = m(t) cos(φ) − m̂(t) sin(φ). On
rappelle que, par définition, m̂(t) a pour TF −jsigne(f )X(f ) et donc :
S(f ) = M (f ) cos(φ) + jsigne(f )X(f ) sin(φ)
dont on déduit |S(f )|2 = |M (f )|2 . En audio l’oreille est surtout sensible à
|S(f )|2 et donc le déphasage n’est pas perçu comme une distorsion.
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Modulation de fréquence (MF)
définition
x(t) = A cos(θ(t))
où la fréquence instantanée fi (t) = f0 + km(t). On en déduit que :
Z t
θ(t) = 2πf0 t + 2πk
m(u)du
0
Typiquement en radiodiffusion b = 15kHz et f0 = 100 MHz.
• enveloppe complexe : xb (t) ≈ Aejφ(t) , enveloppe constante |xb (t)| = A,
• puissance : P = A2 /2
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Message m(t) sinusoı̈dal
expression temporelle
soit m(t) = M cos(2πbt), alors :
xb (t) = A exp (jβ sin(2πbt)) = A
∞
X
Jn (β)e2jπnbt
n=−∞
où
∆f
(indice de modulation)
b
∆f = kM (excursion en fréquence)
β=
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expression spectrale
Le spectre est centré autour de f0 , est constitué de raies espacées de b.
Figure 1: Spectre du signal modulé par une sinusoı̈de pour trois valeurs de l’indice de
modulation (β = 1.6, 2.4 et 8) et pour une fréquence b du signal modulant constante.
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Bande de Carson
98% de la puissance se trouve dans une bande centrée sur f0 de largeur :
B = 2(∆f + b) = 2(β + 1)b
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Message quelconque
Le message m(t) occupe une bande b. On note Pm sa puissance. En pratique,
pour un modulateur donné, l’excursion en fréquence ∆f est proportionnelle à
la valeur efficace de m(t), ce qui s’écrit :
p
∆f = λ Pm
L’indice de modulation est défini par :
∆f
β=
b
Dans ces conditions, on admet que le spectre du signal FM occupe, autour de
f0 , une bande de fréquence :
B = 2(∆f + b) = 2(β + 1)b
et que la puissance émise est P = A2 /2.
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Démodulation
En l’absence de bruit la démodulation consiste à calculer la phase instantanée
par rapport à f0 :
1 dφ(t)
s(t) =
2π dt
où
x(t) = A cos(2πf0 t + φ(t))
Cette opération est réalisée, le plus souvent, par un dispositif appelé boucle à
verrouillage de phase, en anglais Phase Locked Loop (en abrégé PLL).
En présence d’un bruit w(t) additif, le signal reçu s’écrit
x(t) = A cos(2πf0 t + φ(t)) + w(t) = B(t) cos(2πf0 t + ψ(t)) et le signal obtenu
après démodulation, qui s’écrit :
ŝ(t) =
1 dψ(t)
= s(t) + n(t)
2π dt
est perturbé par le bruit n(t).
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