III. Représentations d`une figure géométrique III. Représentations d

III. Représentations d’une figure géométrique
III. Représentations d’une figure géométrique
La représentation d’une figure diffère de la représentation d’un objet
géométrique lorsque le dessinateur accède à la figure autrement que par
la perception directe, par une description par exemple.
On distingue différentes conventions de représentation des figures
géométriques.
1. Dessin d’une figure géométrique
Dessiner une figure à partir de sa description demande de connaître le
vocabulaire et les expressions utilisées.
Cela demande aussi, comme pour reproduire un dessin, de repérer
éventuellement des sous-figures et des sur-figures, de savoir comment
utiliser les instruments de géométrie, et d’avoir acquis une certaine
habileté quant à la manipulation de ces instruments.
•Dans un dessin « à main levée » on représente les propriétés de la
figure par des conventions sans recherche de conformité entre le dessin
obtenu et les propriétés représentées.
•Dans un dessin, le savoir sous-jacent à la réalisation du dessin importe
peu, mais les propriétés de la figure (mesure ou égalité de mesures,
incidence) doivent être représentées, c’est-à-dire vérifiables à l’aide des
instruments.
•Dans une construction géométrique, le savoir sous-jacent à la réalisation
du dessin est premier, il discrimine une construction correcte d’une
construction qui ne l’est pas. Si la méthode nécessite des tracés
auxiliaires, il convient de ne pas les effacer.
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Pour des élèves de CM2.
« Dessine un carré ABCD de côté 2 cm
et trace le cercle de centre B passant par A. »
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III. Représentations d’une figure géométrique
2. Construction d’une figure d’après une description
Exemple de description : un losange de 7cm de côté ayant un sommet
d’angle 30°.
Une anticipation du résultat à obtenir aide la construction.
•Cela demande, pour chacune des sous-figures identifiées, de mobiliser
des « figures modèles » stockées en mémoire à long terme et de les
particulariser à la configuration proposée.
•La réalisation d’une figure à main levée soulage l’effort de mémoire.
•Comme pour la construction d’une figure donnée par un dessin, il s’agit
ensuite de déterminer les propriétés des sous-figures qui pourront être
utiles et de déterminer une chronologie de la construction.
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Pour des élèves de fin de 5e
III. Représentations d’une figure géométrique
« Construire un losange ABCD
tel que le point D appartienne à
la droite d »
3. Construction d’une figure d’après un dessin à main levée
Réussite de 30%
seulement car d n’est pas
axe de symétrie.
•Comme lorsqu’il doit reproduire un dessin, l’élève commence par repérer
les sous-figures, leurs propriétés et leur organisation.
•Contrairement à ce qu’il fait pour reproduire un dessin, les informations
ne sont pas à prendre sur le dessin, il faut seulement tenir compte des
informations qui sont indiquées par des codages ou par des indications
textuelles.
•Une chronologie de la construction est à élaborer, ce qui nécessite
d’anticiper la construction, c’est-à-dire de la réaliser mentalement en
partie en fonction des propriétés des sous-figures.
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III. Représentations d’une figure géométrique
Pour des élèves de 4e.
4. Programme de construction d’une figure géométrique
« Construire la figure à la
règle et au compas »
Les programmes de construction se présentent comme une suite
d’instructions ordonnées chronologiquement.
La suite d’étapes nettement repérées (tirets, numérotation...) met en
valeur la suite d’actions à accomplir définies par des verbes (à l’impératif
ou à l’infinitif) qui portent sur des objets géométriques et non sur des
objets de l’espace physique (comme le support ou les instruments par
exemple).
On commence par le triangle
rectangle, d’abord un des côtés
perpendiculaires, puis l’autre et
enfin le 3e sommet du triangle
isocèle.
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Conclusion
Deux modes sont utilisés en géométrie pour représenter les objets de
l’espace physique ou de l’espace géométrique, l’un est langagier l’autre
est graphique.
Ils ne se réduisent, ni l’un ni l’autre, à un seul type de représentation.
Didactique de la géométrie
• Les textes
- Descriptions
- Programmes de construction
• Les représentations graphiques
-Pour les objets tridimensionnels
+ perspective ;
+ dessin technique (projections) ;
+ développement (patron) pour les polyèdres.
-Pour les objets bidimensionnels
+ dessins à main levée ;
+ dessins ;
+ constructions géométriques.
D. Utilisation des figures en géométrie
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I. Des figures à connaître pour les reconnaître
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I. Des figures à connaître pour les reconnaître
1. Figures « prototypes »
1. Figures « prototypes »
Une figure « prototype » est stockée en mémoire à long terme, elle
permet au sujet de disposer en mémoire de travail d’une quantité
d’informations très importante, plus importante que celle qu’il serait
capable de retenir si ces informations lui étaient données une à une, par
exemple par une description.
Exemple : figures « prototype » du rectangle.
Pour une même figure « prototype », les sujets enregistrent plus ou
moins d’informations, et cela différencient leur possibilité de traitement.
Le nom des points des figures « prototypes » pourraient aussi être
stockés en mémoire à long terme, ce qui soulagerait encore la mémoire
de travail.
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I. Des figures à connaître pour les reconnaître
I. Des figures à connaître pour les reconnaître
2. Adaptation des figures « prototypes »
2. Adaptation des figures « prototypes »
Les figures « prototypes » ne sont pas mémorisées dans toute leur
généralité : elles restent marquées par des caractères particuliers de
forme ou d’orientation par exemple.
Mais les figures prototypes jouent un rôle heuristique dans la résolution
de problème, plus ou moins efficace suivant la capacité du sujet à les
adapter à la situation qu’il doit traiter.
Exemple : La construction d’une bissectrice à la règle et au compas
mobilise la figure prototype du triangle isocèle.
Reconnaître le dessin de gauche comme un carré ou celui de droite
comme un losange n’est pas une compétence géométrique à proprement
parler, puisque le fait que ces dessins illustrent respectivement un carré
ou un losange ne peut être « vu » mais « su ».
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I. Des figures à connaître pour les reconnaître
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II. Traitements d’une figure dans l’activité géométrique
L’importance des figures en géométrie, ne s’explique pas seulement par
le fait qu’on cherche à les représenter. Dans d’autres domaines des
mathématiques on dessine des graphiques, de même, en géométrie, on
dessine des figures pour s’aider à comprendre des situations, à découvrir
des propriétés et à résoudre des problèmes.
3. Les figures « prototypes » sont prégnantes
Robert Noirfalise a proposé à des élèves en fin de 6e d’écouter
attentivement la consigne suivante, puis de la réaliser de mémoire :
Tracer un triangle isocèle ABC tel que AB = AC.
Les figures sont dessinées, mais pas seulement : elles sont aussi
modifiées car les modifications ont des fonctions heuristiques.
Marquer un point H sur [BC].
De H, tracer la perpendiculaire à (AB) puis à (AC).
Raymond Duval distingue trois types de traitement des figures :
- reconfigurations par des partages ou des combinaisons ;
- déplacements de certaines parties de la figure ;
- agrandissements ou réduction.
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