le régime périodique - physique appliquée au LLA

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Chapitre 2 : LE RÉGIME PÉRIODIQUE
Le signal périodique u(t) est principalement
défini par sa période T, sa fréquence f,
sa valeur moyenne et sa valeur efficace que
nous étudierons dans ce paragraphe.
Toutes ces valeurs sont mesurables à l’aide des
multimètres et oscillographes.
1. la période T d’un signal périodique u(t)
est la durée T au bout de laquelle le signal
u(t) se répète identique à lui-même,
u(V)
3
t(ms)
1
0
0
1
5
-3
T a comme unité la seconde (symbole : s).
On peut écrire que
u(t) = u(t + nT)
n étant un nombre entier et T étant la période de u(t).
2. la fréquence f d’un signal périodique u(t) est le nombre de fois que le signal u(t) se
répète identique à lui-même en une seconde.
f se calcule en faisant : f =
1
. Si T s’exprime en secondes,
T
f a comme unité le hertz de symbole Hz, en hommage à Heinrich Hertz (1857 - 1894).
L’ancienne unité de la fréquence était le cycle par seconde.
Application numérique : T = 4 ms f =
1
= 250 Hz
4 x 10-3
Exemples de fréquences
la fréquence du secteur (line)
est de 50 Hz (période de 20 ms) en Europe et le reste du monde,
sauf de 60 Hz en Amérique du Nord, au Brésil, à l’ouest du Japon et en Arabie Saoudite ;
la fréquence du courant dans certains avions est de 600 Hz, ce qui permet des alternateurs
plus légers pour une même puissance fournie.
les fours à micro-ondes ont des klystrons produisant des ondes de fréquence 2450 MHz.
les fréquences audio (AF) ou fréquences acoustiques
L’oreille perçoit les sons dont la hauteur (fréquence vibratoire) est comprise entre 16 Hz et
18 kHz.
Les infrasons, les ultrasons (20 kHz jusqu’à 10 Ghz) et les hypersons sont généralement
inaudibles par l’homme
(les enfants souffrant d’asthme pourraient percevoir des sons de 30 kHz !).
Les émetteurs et récepteurs à ultrasons fonctionnent à 40 kHz.
Le sonar utilise des ondes ultrasonores focalisées pour obtenir des faisceaux parallèles;
on l’utilise pour mesurer des distances et effectuer des localisations sous l’eau.
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Physique Appliquée - HASSENBOEHLER
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L’oreille perçoit 10 octaves mais est plus sensible aux fréquences comprises entre
1 kHz et 4 kHz.
La gamme chromatique tempérée adoptée en musique est formée de douze son
do,
1
do# (ou réb),
2
ré,
3
ré# (ou mib), mi, fa, fa# (ou solb),
4
5
6
7
sol, sol# (ou lab), la,
8
9
10
la# (ou sib)et
11
si
12
La fréquence des sons correspondant à chaque note est obtenue en multipliant la
12
n
fréquence la plus grave (qu’on peut d’ailleurs choisir arbitrairement) par
2 où n est le
nombre entier défini ci-dessus pour chacune des douze notes .
À chaque gamme on attribue un numéro de référence que j’appelle g dans la formule
suivante.
La note de référence est le « la 440 » qui est le « la » de la gamme 3 (donc g = 3) désigné
par « la 3 ».
Pour trouver la fréquence de vibration d’une note quelconque on fait le calcul
n - 10
(g+
)
12
suivant: f = 55 x 2
1 - 10
( 3 + 12 )
= 261,62 Hz
Application numérique : la note do3 vibre à la fréquence T = f = 55 x 2
la longueur d’onde
une onde est un propagation d’une
déformation, d’un signal sans transport de
matière :
- l‘onde plane sur l’eau
- le son : variations de pression de l’air
- la lumière , …
une onde se propage à une vitesse c (m/s)
appelée célérité
si la propagation est périodique
λ est la longueur d'onde en m
c
λ=
c la célérité en m.s-1
f
f la fréquence en Hz
une onde électromagnétique se propage à
la vitesse de la lumière c = 300 000 km/s dans
le vide ; elle est produite par une antenne
→
rayonnant un champ électrique E associé à
→
un champ magnétique B
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les ondes électromagnétiques
f ( Hz ) 3 . 1022
3 . 1020 3 . 1018
3 . 1016
3 . 1014
3 . 1012
3 . 1010
Rayons
Rayons
cosmiques
Rayons X
γ
10-8
Applications
10-4
10-6
U.V.
10-2
industrie
gammagraphie
spectroscopie
Ondes
hertziennes
infrarouge
1
lumière
visible
3 . 108
102
104
λ(µ
µm)
télécommande IR
séchage
photographie IR
médecine
scintigraphie
radiographie et scanner
astronomie spectroscopie spectroscopie
dermatologie
spectroscopie
photographie IR
télécommunications
fibres optiques
télécommande
radar
télévision
radiodiffusion
ondes courtes
moyennes et
grandes
Les gammes d’ondes hertziennes :
gammes
de fréquences f
longueur d’onde
λ=c/f
classifications
désignations
utilisation
15 kHz à 60 kHz
20 km à 5 km
ondes kilométriques
ondes très longues V.L.F.
(very low frequencies)
60 kHz à 300 kHz
5 km à 1 km
ondes kilométriques
ondes longues
L.F. (low frequencies)
300 kHz à 3 MHz
1 km à 100 m
ondes hectométriques
ondes moyennes
M.F. (medium freq.)
3 Mhz à 30 MHz
100 m à 10 m
ondes décamétriques
ondes courtes
H.F. (high frequencies)
radiodiffusion radioamateurs (trajets
longs)
10 m à 1 m
ondes métriques
V.H.F.
(very high frequencies)
télévision (trajets courts
jusqu’à 3000 km)
300 Mhz à 3 GHz
1 m à 10 cm
ondes décimétriques
U.H.F.
(ultra high frequencies)
télévision, radar,
faisceau hertzien
3 Ghz à 30 GHz
10 cm à 1 cm
ondes centimétriques
S.H.F.
(super high frequencies)
1 cm à 1 mm
ondes millimétriques
X.H.F. ou E.H.F.
(extra high frequencies)
30 Mhz à 300 MHz
30 Ghz à 300 GHz
f > 300 GHz
téléphonie
téléphonie
radiodiffusion
radiodiffusion
radar, faisceau hertzien
λ < 1 mm : l’infrarouge
spectre visible de 0,6 à 0,4 µm (rouge, orange, jaune, vert, bleu, violet, indigo)
λ < 0,4 µm : l’ultraviolet puis les rayons X (λ < 0,01 µm) puis γ (λ < 0,0001 µm).
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Pourquoi moduler le signal à transmettre par les ondes ?
L’énergie rayonnée par un dipôle (antenne) est maximale dans une direction
perpendiculaire. La puissance rayonnée est proportionnelle au carré de la fréquence et
inversement proportionnelle au carré de la distance à l’antenne.
Les ondes hertziennes ne se propagent donc correctement dans l’air que si leurs
fréquences sont de l’ordre du Mhz.
L’onde porteuse a une fréquence qui se situe
- entre 30 kHz et 300 MHz pour la radio,
- de 87,5 à 108 MHz pour la FM, entre 470 et 860 MHz pour la télévision terrestre,
- entre 900 et 1800 MHz pour les téléphones portables,
- le Wi-Fi (Wireless Fidelity) utilise une bande de fréquence étroite de 2,4 à 2,4835 GHz
(conduisant à des problèmes d'interférences, brouillages causés par les fours à microondes, les transmetteurs domestiques, les relais, les caméras sans fil, etc... ),
- au dessus de 10 GHz pour la transmission par satellite.
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3. la valeur moyenne d’un signal périodique (average value, mean value, …)
définition de la valeur moyenne d’un courant périodique i
La valeur moyenne de l’intensité d’un courant périodique i(t) de période T
est l’intensité I d’un courant continu qui transporte la même quantité Q d’électricité
pendant le même temps T.
i(A)
i(A)
T
T
t(s)
t(s)
N
Q=
∆t) . ∆t
∑ i(n.∆
Q = . T
n=0
Q en coulombs
unités : en A
T en s
T
où ∆t = N , N étant un entier très grand et ∑ est la lettre grecque “sigma majuscule”
unités utilisées pour la charge d’une batterie :
Q en ampères heures (Ah)
 en A
T en heures
calcul de la valeur moyenne
On constate que la valeur de la charge Q transportée par le courant pendant une période T correspond à l’aire A
sous la courbe i (t). Si A1 est l’aire sous l’alternance positive et A2 l’aire sous l’alternance négative, on a
N
évidemment A = A 1 - A 2. En posant A = ∑ i. ∆t , et comme Q = A = T, il vient
0
A
 =
T
=
Aire sous la courbe sur une période
période
N
Si N est un entier très grand, ∆t devient très petit et s’écrit dt. La somme ∑i. ∆t se rapproche davantage de l’aire A
0
sous la courbe i(t). Si en plus on connaît l’équation mathématique de i(t), l’aire sous la courbe se calcule avec la
N
T
formule A = ∑ i. ∆t = ⌠
⌡0 i. dt ( lire “intégrale de 0 à T de idt” ).
0
Pour trouver la valeur moyenne il faut encore diviser par la période T, d’où
 =
1⌠T
i. dt
T ⌡0
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exemples de calculs de valeurs moyennes
le signal rectangulaire à modulation de largeur d’impulsion MLI
( ou PWM pour “Pulse Width Modulation” )
α (lettre grecque « alpha ») est le rapport cyclique
u(V)
durée à l'état haut
E
α=
et α est compris entre 0 et 1
période
t(ms)
0
 = α E
0
αT T
le signal triangulaire
i(A)
IMAX
Imin
t(ms)
0
 =
T
le signal redressé simple alternance
UMAX
IMAX + Imin
2
us(V)
t(ms)
le signal redressé double alternance
ud(V)
UMAX
t(ms)
T
T
T
T
2
2
1 ⌠T
de 0 à T/2 us(t) = UMAX sinωt et de T/2 à T, us(t)=0 <us(t)> = T 2 UMAX sinωt dt
⌡0
UMAX
2UMAX
<us(t)> =
<ud(t)> =
π
π
le signal redresseur commandé avec un retard θ
T
2UMAX
2⌠
<u(t)> = T  2 UMAX sinωt dt =
cos θ
π
θ
⌡
ω
Le mesurage de la valeur moyenne
u(V)
ωt (rad)
0 θ
π
2π
On mesure une valeur moyenne d’un courant avec un ampèremètre magnétoélectrique
(on dit plus couramment : un ampèremètre à aiguille) qui est un galvanomètre.
Dans le galvanomètre le courant traverse un enroulement sur un cadre mobile
solidaire de l’aiguille, ce cadre étant placé dans un champ magnétique produit par
un aimant permanent. L’aiguille dévie d’un angle proportionnel à l’intensité
instantanée du courant. C’est l’inertie mécanique de son aiguille qui “fait” la valeur
moyenne. Pour le mesurage de la valeur moyenne d’une tension, l’appareil est symbole
transformé en voltmètre grâce à une résistance série additionnelle.
Le voltmètre numérique sur position continu ( = ou DC : “direct current” ) mesure une
valeur moyenne d’une tension. Pour mesurer la valeur moyenne d’un courant l’appareil dispose
d’une résistance interne de faible valeur ( on dit un “shunt” )
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Les composantes continue Uc et alternative ua(t) d’un signal u(t)
ua(t)
Uc = <u(t)>
u(t)
=
<u(t)>
0
t(ms)
+
<ua(t)> = 0
0
t(ms)
0
t(ms)
définition : alternatif signifie de valeur moyenne nulle
on vérifie que u(t) = Uc + ua(t)
le commutateur AC DC GND ou les couplages
AC pour “alternative current” DC pour “direct current” GND pour “ground”
Sur l’oscillographe on peut observer l’ondulation ou la
composante alternative ua(t) d’une tension en passant de la position DC
à la position AC. En effet, lorsque l’on se met en position AC, entre
l’entrée et l’amplificateur de l’oscillographe de résistance d’entrée R de
l’ordre du MΩ, se place un condensateur de capacité C.
Voies A
M
B
Ce condensateur reste chargé sous Uc; la constante de temps RC étant
grande devant la période de u(t), il se charge et se décharge très peu.
La tension visualisée est donc u(t) - Uc , c’est à dire ua(t).
Entrée
Oscillographe
Écran
DC

u(t)
AC
1MΩ
GD
25pF
ua(t)
Retenons qu’en passant de la position
DC à la position AC,
la trace descend de la valeur moyenne
<u(t)>.
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4. la valeur efficace
4.1. Définition de la valeur efficace Ieff d’un courant périodique i
La valeur efficace Ieff d’un courant périodique i ( t ) de période T
est l’intensité Ieff d’un courant continu qui dissipe la même chaleur
dans un même résistance R pendant une durée T.
²
i(A)
i(A)
i2(t)
Ieff2
Ieff
t(s)
i(t)
T
t(s)
T
N
W=
∑ R . i2( n.∆∆t ) . ∆t
W = R . Ieff2 . T
n=0
T
où ∆t = N , N étant un entier très grand
4.2. calcul de Ieff : des deux valeurs de l’énergie dissipée et formulées ci-dessus on en déduit, en remarquant
N
qu’on peut simplifier par la constante R, que
∑ i2( n.∆t ) . ∆t
n=0
puis que Ieff =
1
T
1
= Ieff2 . T. Donc que T
N
∑ i2( n.∆t ) . ∆t
n=0
= Ieff2 ,
N
∑ i2( n.∆t ) . ∆t
. À la limite lorsque ∆t tend vers zéro on obtient alors
n=0
Ieff =
1⌠T 2
i ( t ) . dt
T ⌡0
1 T 2
où T ⌠
⌡0 i ( t ) . dt = <i2> à savoir la valeur moyenne du carré du courant i(t).
La valeur efficace Ieff d’un signal périodique i(t) est la racine de la valeur moyenne du
carré du signal i(t)
la valeur R.M.S. : “root mean square” signifie “racine de la valeur moyenne du carré” donc la
valeur R.M.S. désigne la valeur efficace
il faut distinguer
« la valeur efficace vraie » désignée par TRMS
qui mesure la valeur efficace de tout le signal et
« la valeur efficace » désignée par RMS
qui mesure la valeur efficace de la composante alternative.
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4.3. exemples de valeurs efficaces de signaux usuels :
le signal rectangulaire à modulation de largeur d’impulsion MLI ( ou PWM )
u(V)
E
0
t(ms)
0
αT
Ueff =
αE
T
exemples : si E = 12 V et α = 0,7 , <u(t)> = α E = 0,7 x 12 =
8,4 V et Ueff =
α E = 10,0 V
si E = 12 V et α = 0,5 , <u(t)> = α E = 0,5 x 12 = 6 V et Ueff =
le signal triangulaire
i(A)
IMAX
0
le signal sinusoïdal
α E = 8,48 V
t(ms) on démontre que Ieff =
0
IMAX
3
T
UMAX2
- la valeur moyenne du carré est
2
UMAX
Ueff =
2
UMAX
2
UMAX
- le signal redressé double alternance Ueff =
2
- le signal redressé simple alternance Ueff =
UMAX2
u2(t)
UMAX2
2
t(ms)
u(t)
4.4. mesurage de la valeur efficace :
Traditionnellement, la valeur efficace se mesure avec un appareil ferromagnétique.
Principe de l’ampèremètre ferromagnétique :
le courant traverse un enroulement et produit un champ magnétique.
Deux plaques parallèles en substance ferromagnétique sont alors aimantées de la même façon.
L’une des plaques est fixe. L’autre, solidaire de l’aiguille est mobile et est donc
repoussée. Quel que soit le sens du courant, l’aiguille est déplacée dans le même sens et
la graduation non linéaire du cadran indique la valeur efficace du courant.
Les appareils numériques mesurent des tensions et indiquent deux valeurs efficaces :
soit la valeur efficace de la composante alternative :
position “alternatif”, notée aussi AC ou ∼ ou RMS.
soit la valeur efficace du signal entier :
position “continu et alternatif”, notée AC+DC ou ≅ ou TRMS.
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Ci-dessous, le principe d’un appareil analogique mesurant la valeur efficace “vraie”.
La tension de sortie vs du montage est proportionnelle à la “racine de la valeur moyenne du
carré” de la tension d’entrée appelée u(t).
multiplieur
u(t)
extracteur
de racine
carrée
R2
passe-bas
= “moyenneur”
t
R1
-1
Ku2(t)
<Ku2(t)
>
vs =
ve
vs
=
ve
- k
<Ku2(t)>
k
4.5. Relation entre la valeur efficace Ueff d’un signal périodique u(t), sa composante
continue Uc et sa composante alternative ua(t)
Sachant que u(t) = Uc + ua(t), calculons la valeur efficace de cette tension :
1 T 2
1 T
2 . dt = 1 ⌠ T (Uc2+2Ucua+ua2) . dt
Ueff 2 = T ⌠
(U
+u
)
c
a
⌡0 u ( t ) . dt = T ⌠
⌡0
T ⌡0
1 T 2
1 T
1 T 2
=T⌠
u . dt + T ⌠
⌡0 Uc . dt + 2 Uc T ⌠
⌡0 ua . dt
⌡0 a
Ueff 2 = Uc 2 + Ua eff 2 .
1
En effet, le terme central, T ⌠ T ua . dt , calcule la valeur moyenne de la composante
⌡0
alternative, qui est nulle par définition.
Les voltmètres numériques mesurent ces trois grandeurs : Ueff , Uc = et Ua eff .
Exercice : on applique à un voltmètre numérique une tension MLI u(t) de rapport cyclique 0,6
unidirectionnelle prenant les valeurs 0 V et 10 V .
Représenter u(t).
Calculer Uc = , Ueff et Ua eff les trois valeurs indiquées par un voltmètre
Indiquer quelle est la fonction du voltmètre à activer :
AC, DC, AC+DC, continu, alternatif, alternatif, alternatif+continu, RMS ou TRMS ?
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