ROC -terminale S

2
Géométrie
Théorème Module d’un produit, d’un quotient de nombres complexes
Soient les nombres complexes z et z0
Aolrs on a :
0
0
• |zz
| = |z| × |z |
z
|z|
• 0 = 0 avec z0 , 0
z
|z |
Démonstration :
|zz0 |2 =
=
=
=
zz0 × zz0
zz0 × zz0
zz × z0 z0
|z|2 × |z0 |2
Le module d’un nombre complexe est positif, on en déduit donc :
|zz0 | = |z| × |z0 |
Supposons zz0 = 1 alors on a |zz0 | = |z| × |z0 | = 1
1
1
et pour z0 , 0 : 0 = 0
z |z | 1
|z|
1
On a alors : z × 0 = |z| × 0 = 0
z
z
|z |
D’où le résultat.
Théorème Argument du produit, du quotient d’un nombre complexe
Soient z et z0 deux nombres complexes. Alors on a :
0
0
• arg(zz
z ) = arg(z) + arg(z ) + 2kπ où k ∈ Z
• arg 0 = arg(z) − arg(z0 ) + 2kπ avec k ∈ Z
z
Démonstration :
zz0 =
=
=
=
r(cos a + i sin b) × r0 (cos a0 + i sin b0 )
rr0 × (cos a + i sin b) × (cos a0 + i sin b0 )
rr0 [(cos a cos a0 − sin b sin b0 ) + i(cos a sin b0 + sin b cos a0 )]
rr0 [cos(a + a0 ) + i sin(a + a0 )]
19
on a alors arg(zz0 ) = arg(z) + arg(z0 ) + 2kπ avec k ∈ Z
0
0
0
Si zz0 = 1 alors
! arg(zz ) = arg (z) + arg(z ) = 2kπ avec k ∈ Z
1
d’où arg 0 = −arg(z0 ) + 2kπ avec z0 , 0
z
z
Conclusion : arg 0 = arg(z) − arg(z0 ) + 2kπ avec k ∈ Z
z
20