Condition suffisante

Logique et Raisonnement -------------------------------------------- Fiche 1
Condition nécessaire – Condition suffisante :
Dans un lycée les élèves des classes de 2nd A et de 2nd D ont M Milcent comme professeur de mathématiques.
1. Implication :
La proposition : « Si un élève est en 2nd A alors il a M. Milcent comme professeur de Mathématiques » est vraie
tandis que la proposition : « Si un élève a M. Milcent comme professeur de Mathématiques alors il est en 2nd A »
est fausse. En effet M. Milcent a aussi les élèves de 2nd D.
En posant :
et
A : « être un élève de 2nd A »
B : « avoir M. Milcent comme professeur de mathématiques »
On a :
mais
A qui entraine B, on dit que la proposition :
B n'entraine pas A, on dit que la proposition :
« A implique B » est vraie
« B implique A » est fausse
2. Formulation en terme : « Pour que … il faut que ... » :
Parmi les deux propositions ci-dessous une seule est vraie :
(1) « Pour qu'un élève soit en 2nd A il faut qu'il ait M. Milcent comme professeur de Mathématiques »
(2) « Pour qu'un élève ait M. Milcent comme professeur de Mathématiques il faut qu'il soit en 2nd A »
La proposition (1) est vraie, en effet tous les élèves de 2nd A ont M. Milcent comme professeur de
mathématiques, il est donc nécessaire d'avoir M. Milcent comme professeur pour être en 2nd A.
On dit que la proposition B est une condition nécessaire à la proposition A.
La proposition (2) est fausse, en effet il n'est pas nécessaire d'être en 2nd A pour avoir M. Milcent comme
professeur, être en 2nd D est aussi possible.
On dit que la proposition A n'est pas une condition nécessaire à la proposition B.
3. Formulation en terme : « Pour que … il suffit que ... » :
Parmi les deux propositions ci-dessous une seule est vraie :
(3) « Pour qu'un élève soit en 2nd A il suffit qu'il ait M. Milcent comme professeur de Mathématiques »
(4) « Pour qu'un élève ait M. Milcent comme professeur de Mathématiques il suffit qu'il soit en 2nd A »
La proposition (4) est vraie, si un élève est en 2nd A alors il a M. Milcent comme professeur de Mathématiques, il
est donc suffisant d'être en 2nd A pour avoir M. Milcent comme professeur.
On dit que la proposition A est une condition suffisante à la proposition B.
La proposition (3) est fausse, en effet si un élève a M. Milcent comme professeur de mathématiques, il n'est pas
nécessairement en 2nd A. Il n'est donc pas suffisant d'avoir M. Milcent comme professeur pour être en 2nd A.
On dit que la proposition B n'est pas une condition suffisante à la proposition A.