Conjugué d`un nombre complexe

Vestiges d'une terminale S - Conjugué d'un nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
Avertissement préalable
Dans ce qui suit, les nombres a et b du complexe z = a + i.b sont deux réels. Ce sont ses
parties réelle et imaginaire.
Définition du conjugué d'un nombre complexe
Définition : le conjugué du nombre complexe z = a + i.b est le complexe z = a − i.b
Déterminons quelques conjugués de nombres complexes
Module d'une nombre complexe
Définition : le module du nombre complexe z = a + i.b est le réel positif ou nul noté z
et défini par :
z = a 2 + b2
Calculons quelques modules de nombres complexes :
−3 − 2.i = −3 + ( −2.i ) = −3 − ( −2.i ) = −3 + 2.i
−3 + i = −3 − i
5 = 5 + 0.i = 5 − 0.i = 5
i = 0 + 1.i = 0 − 1.i = −i
Propriété : le conjugué du conjugué d'un nombre complexe est le nombre lui-même.
z=z
En effet, nous avons :
z = a + i.b = a − i.b = a + ( −i.b ) = a − ( −i.b ) = a + i.b = z
Un nombre complexe, son conjugué, ses parties réelle et imaginaire
0 = 0 + i × 0 = 02 + 02 = 0
Le seul nombre complexe ayant un module nul est celui de 0
−3 = −3 + i × 0 =
( −3)2 + 02
= 9 =3
Le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue.
i = 0 + i × 1 = 02 + 12 = 1 = 1
3 − 4.i = 32 + ( −4 ) = 9 + 16 = 25 = 5
2
Un nombre complexe, son conjugué et son module
Propriété : le produit d'un complexe et de son conjugué est égal au carré du module.
z×z = z
2
⇔
a + i.b ) × ( a − i.b ) = a 2 + b2
(
Cette formule est à retenir
Propriété : les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe z sont égales à :
z+z
z−z
Re ( z ) =
Im ( z ) =
2
2.i
En effet, pour tout nombre complexe z = a + i.b , nous pouvons écrire :
Pour tout nombre complexe z = a + i.b , nous pouvons écrire :
z + z = ( a + i.b ) + ( a − i.b ) = a + i.b + a − i.b = 2.a = 2.Re ( z )
Conjugué d'une somme
z − z = ( a + i.b ) − ( a − i.b ) = a + i.b − a + i.b = 2.i.b = 2.i.Im ( z )
Corollaire : les seuls complexes qui sont leurs propres conjugués sont les nombres réels.
Page 1 sur 2
z × z = ( a + i.b ) × ( a − i.b ) = a 2 − ( i.b ) = a 2 − i 2 .b 2 = a 2 − ( −1) .b 2 = a 2 + b 2 = z
2
Propriété : le conjugué d'une somme est égal à la somme des conjugués.
z + z' = z + z'
En effet, pour tous nombres complexes z = a + i.b et z ' = c + i.d , nous pouvons écrire :
D'une part : z + z ' = ( a + i.b ) + ( c + i.d ) = a − i.b + c − i.d = ( a + c ) − i. ( b + d )
En effet :
z−z
z = z ⇔ z−z = 0 ⇔
= 0 ⇔ Im ( z ) = 0 ⇔ z est un réel
2.i
Les seuls complexes dont la partie imaginaire est nulle sont les nombres réels
2
De l'autre : z + z ' = ( a + c ) + i. ( b + d ) = ( a + c ) − i. ( b + d )
D'où l'égalité z + z ' = z + z '
Vestiges d'une terminale S - Conjugué d'un nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
Conjugué d'un opposé et conjugué d'une différence
Conjugué d'un inverse et conjugué d'un quotient
Propriété : le conjugué d'un opposé est égal à l'opposé du conjugué.
Le conjugué d'une différence est égal à la différence des conjugués.
−z = −z
z − z' = z −z'
Propriété : le conjugué de l'inverse est égal à l'inverse du conjugué.
Le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués.
En effet, l'opposé du nombre complexe z = a + i.b est le complexe − z = −a − i.b .
Par conséquent :
− z = −a − i.b = −a − ( −i.b ) = − ( a − i.b ) = −( a + i.b ) = −z
Donc le conjugué de l'opposé est l'opposé du conjugué.
Pour ce qui est du conjugué de la différence, il vient alors :
−z ' )
(
z − z ' = z + ( −z ') = z + ( −z ' ) = z +
Conjugué d'une somme...
1
a
b
est le complexe
+ i.
.
2
2
2
z
a +b
a + b2
De l'autre, le conjugué du complexe z = a + i.b est le complexe z = a − i.b . Donc :
1× ( a + i.b )
1
1
a + i.b
a
b
=
=
=
=
+ i.
2
2
2
2
2
z a − i.b ( a − i.b ) × ( a + i.b ) a + b
a +b
a + b2
Propriété : le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués.
Le conjugué de la puissance est égal à la puissance du conjugué.
()
On multiplie a − i .b
par sa quantité conjugué a + i .b
n
En effet, pour tous nombres complexes z = a + i.b et z ' = c + i.d , nous pouvons écrire :
D'une part :
z × z ' = ( a + i.b ) × ( c + i.d ) = ( a − i.b ) × ( c − i.d )
= a.c − i.a.d − i.bc − i .b.d = a.c − i. ( a.d + b.c ) + ( −1) .b.d
2
= ( a.c − b.d ) − i. ( a.d + b.c )
De l'autre, comme z × z ' = ( a + i.b ) × ( c + i.d ) = (a.c − b.d) + i. ( a.d + b.c ) alors :
z × z ' = (ac − bd) + i. ( ad + bc ) = (ac − bd) − i. ( ad + bc )
D'ou l'égalité z × z ' = z × z '
Pour la puissance, il vient alors que pour tout n∈ :
zn =
z
× z ×… ×z
n facteurs
Le produit des conjugués...
=
On multiplie a + i .b
par sa quantité conjugué a − i .b
alors le conjugué de
Conjugué d'un produit et conjugué d'une puissance
zn = z
z
× z ×… z
n facteurs toujours.
...est le produit des conjugués
z z
 z' =
  z'
En effet, pour tout nombre complexe non nul z = a + i.b , nous pouvons écrire :
1× ( a − i.b )
1
1
a − i.b
a
b
D'une part comme =
=
=
=
− i.
2
z a + i.b ( a + i.b ) × ( a − i.b ) a 2 + b 2 a 2 + b 2
a + b2
= z −z'
Conjugué de l'opposé
z×z' = z×z'
1 1
z=
  z
Page 2 sur 2
()
= z
n
1 1
D'où l'égalité   = .
z z
Pour le quotient, il vient alors que pour tous nombres complexes z et z', on a :
1
z
z
1
1
 z'  = z× z'  = z× z'  = z× =
z' z'
 
 
 