Génération de colonnes pour la résolution du problème de

Génération de colonnes pour la résolution du problème de
resectorisation dynamique
Tambet Treimuth1 , Daniel Delahaye1 , Sandra Ulrich Ngueveu2,3
1
École Nationale de l’Aviation Civile (ENAC) F-31400 Toulouse , France
2
Univ de Toulouse, INP, LAAS, F-31400 Toulouse, France
3
CNRS, LAAS, 7 avenue du Colonel Roche, F-31400 Toulouse, France
{treimuth,delahaye}@recherche.enac.fr
[email protected]
Mots-clés : gestion du trafic aérien, sectorisation de l’espace aérien, décomposition de
Dantzig-Wolfe, génération de colonnes, partitionnement de graphe
1
Introduction
Au cours de ces dernières décennies, au fur et à mesure de l’augmentation du trafic, l’espace
aérien a été divisé en secteurs de plus en plus petits afin d’éviter la saturation de ces derniers.
Ce principe de sectorisation présente une limite dans la mesure où l’on doit ménager un temps
suffisant au contrôleur pour gérer son trafic et donc générer des secteurs dont la taille permet
de satisfaire cette contrainte. De plus, le contrôleur ne connaît que le trafic lié à son secteur
et lorsqu’un avion passe d’un secteur à un autre, il s’opère un dialogue entre les contrôleurs
et les pilotes qui induit une charge de travail supplémentaire (coordination). Au cours d’une
journée de trafic ordinaire, la charge de contrôle fluctue dans le temps en fonction des demandes
de trafic entre les diverses paires origine-destination. Dans le système opérationnel actuel, le
nombre de contrôleurs varie en fonction des fluctuations de trafic. La nuit par exemple, le
nombre d’équipes de contrôle est réduit car il y a beaucoup moins de trafic. Les secteurs sont
alors regroupés en groupe de trois à quatre avant attribution à une équipe de contrôleurs.
Il est donc nécessaire d’optimiser la planification sur une journée du schéma de regroupement
et de dégroupement des secteurs : resectorisation dynamique de l’espace aérien. Un des objectifs
est de fournir des groupes de secteurs présentant un minimum de coordinations et équilibrés en
terme de charge de contrôle afin que chaque équipe de contrôleurs travaille de la même façon.
Les instants de commutation entre configurations de secteurs en fonction des fluctuations de
trafic doivent être déterminés, et les distances entre configurations successives doivent être
prises en compte afin d’éviter des changements brusques au sein d’un espace aérien donné.
Le développement d’un algorithme efficace pour résoudre le problème dynamique résultant est
d’autant plus important que le trafic aérien est amené évoluer de manière significative au cours
des années qui viennent.
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Etat de l’art
De nombreuses publications se sont intéressées à la résolution du problème statique de sectorisation de l’espace aérien, c’est à dire pour une période et un état de trafic donnés [1].
Dans ce cas, il est possible de construire un graphe valué G = (V, E) où V est l’ensemble des
nœuds et E est l’ensemble des arêtes. Chaque nœud i ∈ V représente un secteur élémentaire
(à regrouper avec d’autres pour constituer les secteurs affectés aux différents contrôleurs), avec
un poids pi représentant la charge de contrôle en i. Une arête e = (i, j) existe dans E ssi les
secteurs élémentaires associés à i et j partagent une frontière commune. Dans ce cas, le poids
pe représente la charge de coordination entre les contrôleurs des secteurs élémentaires i et j,
pour se passer les avions allant d’un secteur à l’autre. L’objectif est souvent de minimiser la
charge totale des contrôleurs (contrôle+coordination), pour la période et le trafic donnés. Il
s’agit alors d’un problème de partition de graphe valué. Les solutions obtenues sont excellentes
dans le cas où le trafic n’évoluerait pas dans le temps, mais cela n’est pas vrai en pratique
puisque le nombre d’avions par exemple évolue au cours de la journée.
Peu de publications ont traité le cas de la resectorisation dynamique prenant donc en compte
l’évolution du trafic. De plus, les méthodes proposées consistent en général à résoudre successivement différents problèmes de sectorisation statique pour différentes périodes [2], [3], [4] . A
part [5], aucune publication, à notre connaissance, n’a pris en compte explicitement les coûts
de transition/reconfiguration entre les configurations choisies pour des périodes consécutives.
Les solutions obtenues restent donc difficilement applicables au trafic réel.
Une première tentative de résolution du problème a été proposée dans [5], basée sur une formulation compacte résolue par un solveur linéaire en nombre en entiers. Les coûts de transition
peuvent y être évalués en identifiant les différences de frontières de secteurs entre configurations de périodes consécutives. Toutefois les résultats obtenus ont montré que les instances de
moyenne et grande taille ne pouvaient pas être résolues dans un temps acceptable. Ce papier
présente une nouvelle formulation et méthode de résolution dédiée.
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Modélisation mathématique et Méthode de résolution
La formulation proposée est basée sur l’identification de l’ensemble des configurations réalisables pour chaque période de temps. Une configuration réalisable (ou sectorisation) est un
partitionnement du graphe G respectant les contraintes d’équilibre de charge et de géométrie
des secteurs. Soit T l’ensemble des périodes et pour chaque période t ∈ T , soit Nt l’ensemble
des configurations admissibles. Un coût cjt évaluant la qualité de la configuration j en terme
de charge des contrôleurs, si elle est appliquée au trafic de la période t.
Trois ensembles de variables sont définis : xjt , yet et zet pour t ∈ T, j ∈ Nt , e ∈ E, représentant
respectivement l’utilisation ou pas de la configuration i à la période t, le fait que e ait un statut
de frontière active à l’instant t (i.e i et j n’appartiennent pas au même secteur/contrôleur), et
enfin le fait que e ait changé de statut entre l’instant t − 1 et l’instant t.
La formulation résultante est de type set partitioning. Le nombre de contraintes est polynomial mais il y a un nombre exponentiel de configurations et donc de variables xjt . La méthode
de résolution proposée est un algorithme de type branch-and-price où chaque problème maître
ne comprenant qu’un sous-ensemble de variables est résolu par un solveur linéaire et chaque
sous-problème est résolu par un algorithme spécialement conçu de génération de configurations
valides de coût réduit négatif. Les résultats préliminaires en démontrent la performance.
Références
[1] C.-E. Bichot, P. Siarry. Graph Partitioning, John Wiley & Sons, Inc., 2013.
[2] M. Xue, Airspace Sector Redesign Based on Voronoi Diagrams, Journal of Aerospace Computing, Information, and Communication, Vol. 6, No. 12 (2009), pp. 624-634.
[3] S. Kulkarni, R. Ganesan, L. Sherry, Static Sectorization Approach to dynamic Airspace
Configuration Using Approximate Dynamic Programming, Integrated Communications Navigation and Surveillance (ICNS) Conference, 2011
[4] M. Bloem, P. Gupta, P. Kopardekar, A Method of Optimally Combining Sectors 9th AIAA
Aviation Technology, Integration, and Operations Conference (ATIO) 21 - 23 September
2009, South Carolina
[5] T. Treimuth, D. Delahaye, S.U. Ngueveu, Resectorisation d’espace aérien, ROADEF 2014,
Bordeaux