pendule de Foucault

PENDULE DE FOUCAULT (http://www.sciences.ch/htmlfr/mecanique/mecanclassique02.php)
Le pendule de Foucault est une expérience formidable pour rendre compte de la rotation de la Terre.
Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour analyser le comportement du pendule de Foucault.
Nous avons choisi de présenter la plus simple qui ne nécessite que peu de pages de calcul.
D'abord un petit texte explicatif peut s'avérer pertinent tellement cette expérience est importante.
L'expérience de Foucault a pour but de démontrer que la Terre tourne sur elle-même. Vous lancez
un balancier (une bille de plomb au bout d'un fil). Il a un mouvement de va-et-vient régulier dans la
même direction. Si vous l'emportez dans une voiture et que vous ne tournez pas trop brusquement,
le pendule se moque des virages: il continue à battre dans la même direction. C'est qu'un pendule
reste toujours dans le même plan, malgré les mouvements de son support.
C'est pourquoi le physicien français Léon Foucault eut l'idée d'attacher un lourd balancier de 67
mètres de long sous le dôme du Panthéon, en présence de Napoléon III et de quelques savants. A
chacune de ses allées et venues, le pendule venait écorner un tas de sable où il laissait une marque.
Or, la trace n'était jamais à la même place: il y avait 3 à 4 millimètres d'écart entre un balancement
et le suivant, 16 secondes plus tard. Le pendule restait dans le même plan, mais le Panthéon, Paris,
la Terre tournaient!
Soit la figure ci-dessous:
Figure: 30.10 - Illustration élémentaire du pendule de Foucault
Nous considérons que c'est la vue d'un référentiel géocentrique (la Terre) vu en coupe selon un plan
qui contient l'axe de rotation.
La taille du pendule est bien évidemment exagérée sur la figure. Il oscille cependant quand même
dans un plan méridien, entre A et B (un observateur terrestre voit la droite AB tourner par rapport au
sol terrestre selon le cercle vert, vu en perspective, dans le sens rétrograde).
Soit T la période de rotation de A (ou B). La vitesse de A ( ) , sur ce cercle, est due au fait que,
dans le référentiel géocentrique, le point M, à la verticale du point de suspension, et le point du sol
terrestre coïncidant avec A à un instant donné, n'ont pas la même vitesse dans le référentiel
géocentrique: le point M étant plus éloigné de l'axe de rotation terrestre il va plus vite que A (de
même la vitesse de B étant supérieure à la vitesse de M).
La différence de ces vitesses se calcule aisément en supposant que la rotation terrestre est uniforme
en raisonnant sur une période d'une journée (sidérale)
.
Nous savons que:
De ceci il découle facilement que:
étant donné que dans le triangle AHM:
alors:
Or,
n'est autre que:
Donc:
Nous avons donc obtenu l'expression de la période du pendule de Foucault.
Exemple:
La période du pendule du Panthéon (aller et retour) est de 16.5 secondes, l'amplitude maximale de 6
mètres et le temps d'amortissement de 6 heures. Nous pouvons ainsi observer un déplacement de
plusieurs millimètres par aller et retour du pendule.
Remarque: Le sens de la rotation est celui des aiguilles d'une montre, pour un observateur placé audessus du pendule, dans l'hémisphère Nord ; et dans le sens contraire du sens de rotation des
aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Sud.
Aux pôles (où l'angle est de 90° et le sinus unitaire), la période du pendule égale celle de la Terre et
est donc de 24h. A l'équateur (où l'angle est de 0° et le sinus nul), la période de rotation du plan
d'oscillation est infinie: le plan d'oscillation est fixe par rapport à la Terre. A Paris (où l'angle est de
48°52' et le sinus 0.75), la période de rotation est de 31 heures et 57 minutes.
Cependant, l'importance du pendule de Foucault est autre...
Le plan d'oscillation du pendule est en réalité fixe et c'est la rotation de la Terre sur elle-même qui
donne lieu à une rotation apparente. Mais finalement... quel est le système de référence ?
En effet, tout mouvement est relatif. Si la Terre est en rotation, elle l'est par rapport à quelque chose.
Nous ne pouvons pas parler d'un mouvement sans définir un cadre de référence. La question qui se
pose donc est de savoir par rapport à quel système de référence le plan d'oscillation du pendule est
fixe.
La première idée qui vient à l'esprit consiste à dire que le plan du pendule est fixe par rapport au
Soleil. Mais, si Foucault avait réussi à construire un pendule capable d'osciller suffisamment
longtemps, disons pendant un mois, il se serait aperçu que le plan d'oscillation dérivait également
par rapport à la position du Soleil. Notre étoile ne fait donc pas partie du système de référence en
question.
Peut-être faut-il alors considérer les étoiles proches du Soleil ? Mais là aussi, si l'expérience pouvait
durer suffisamment longtemps, elle montrerait que le plan des oscillations se déplace nettement par
rapport aux étoiles après quelques années. Quel objet choisir dans ce cas ? Le centre galactique, la
galaxie d'Andromède, le Groupe Local, le superamas local ? Chacun de ces objets donnerait
l'illusion d'être fixe par rapport au plan des oscillations, mais finirait, après un temps de plus en plus
long, par révéler une dérive.
Finalement, en dernier recours, nous pouvons considérer les objets les plus lointains, les galaxies ou
quasars situés à des milliards d'années-lumière. Avec ce système de référence, et si l'expérience de
Foucault était réalisable, le plan des oscillations serait enfin fixe et il n'y aurait plus de dérive. Ce
n'est donc qu'en considérant les objets les plus lointains, en fait l'Univers observable dans son
ensemble, que nous pouvons obtenir un cadre par rapport auquel le plan des oscillations se stabilise.
Le pendule de Foucault se moque donc de la présence de la Terre, du Soleil ou de la Galaxie. Son
mouvement lui est directement dicté par l'Univers dans son ensemble. Cette expérience met en
évidence une sorte de lien mystérieux entre chaque point et l'Univers tout entier. Jusqu'à nouvel
ordre, la nature de ce lien reste inconnue.
Une conclusion similaire fut tirée par le physicien autrichien Ernst Mach à la fin du XIXe siècle
(nous retrouverons le "principe de Mach" dans le chapitre de Relativité Restreinte).
D'après la physique de Newton, le produit de la masse d'un corps par son accélération est égal à la
force qui s'exerce sur lui. Par conséquent, pour une force donnée, plus un objet est massif, plus son
accélération est faible. De ce point de vue, la masse est donc une mesure de l'inertie du corps, c'està-dire de sa faculté à résister à une force.
Supposons maintenant que toute la matière de l'Univers disparaisse, excepté pour ce corps. Ce
dernier est alors complètement isolé et plus aucune force ne s'exerce sur lui. Cela signifie, d'après la
physique de Newton, que le produit de sa masse par son accélération est égal à zéro. Or
l'accélération ne peut pas être nulle. En effet, comme toute la matière de l'Univers a disparu, il n'y a
plus de système de référence par rapport auquel on pourrait définir la vitesse ou l'accélération. Cette
dernière est donc indéfinie et non pas nulle. D'un point de vue mathématique, il ne reste qu'une
seule possibilité, que la masse du corps soit nulle.
Ce raisonnement montre que la masse et l'inertie d'un corps ne sont pas vraiment des propriétés de
l'objet lui-même, mais plutôt le résultat d'une interaction avec le reste de l'Univers. Tout comme le
pendule de Foucault, le principe de Mach nous montre qu'il doit exister une sorte de connexion
entre les propriétés locales d'un corps et les propriétés globales de l'Univers. Comme dans le cas
précédent, la nature de cette connexion mystérieuse reste à déterminer.