Semaine 2 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand

Semaine 2 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand
Loïc Devilliers
14 octobre 2014
Cours
P n
•
3k
• Existence des polynômes de Tchebychev existence, unicité, degré, coecient dominant
• an − bn = . . .
Exercices
P • Soit (a1 , . . . an ), (b1 , . . . 2bn ) des réels, on pose A =
P (x) = (ai x + bi )2 , montrer que CP
≤ AB P
• Dans le cas où ai > 0, montrer que ( ai ) × ( a1i )
Exercice 1.
P
a2i , B =
P
b2i , C =
P
ai bi , en utilisant
Cette inégalité est l'inégalité de Cauchy-Schwarz et elle est importante.
• On a P (x) = x2 A + 2Cx + B 2 ≥ 0 pour tout x réel, donc comme le signe de ce polynôme du second degré
est de signe constant son discriminant est
négatif ou nul : ∆ = (2C)2 − 4AB ≤ 0
√
• On applique le résultat précédent avec ( ai )i et ( √1ai )i
Exercice 2.
On dénit la suite (Fn )n , par F0 = 0, F1 = 1 et Fn+2 = Fn+1 + Fn .
• Calculer
• Calculer
• Calculer
n
P
Fk
k=1
n
P
Fk2
k=1
n
P
k=2
1
Fk−1 Fk+1
Toute l'astuce dans l'exerce est de faire apparaître des sommes télescopiques :
• Fn = Fn+2 − Fn+1
• Fn2 = Fn × Fn = Fn (Fn+1 − Fn−1 )
•
Exercice 3.
r
P
Calculer
m
k
k=1
n
r−k
, pour r ≤ m, r ≤ n
On développe (1 + x)n+m le coecient en xr est n+m
, d'autre part (1 + x)n+m = (1 + x)n (1 + x)m dont le
r
r
coecient en x est la somme de ak br−k où ak est le coecient en xk de (1 + x)n .
n
Exercice 4.
n → +∞
Montrer que
Montrer que
2
P
k=1
n
P
k=1
1
k2
1
k
≥
n
2
, en déduire que la suite dénie par un =
k=1
≤ 2 en déduire la convergence de la suite vn =
nombre de termes.
Calculer A =
n
P
k=1
• On note B =
n
P
k=1
On démontre l'inégalité par récurrence et on utilise le fait que
Exercice 5.
n
P
k=1
n
P
cos2 ( kπ
2n )
sin2 ( kπ
2n ), alors A + B = n.
1
1
k
tend vers plus l'inni, quand
1
k2
n+1
2P
k=2n +1
1
k
≥ le plus petit terme multiplié par le
• De plus en changeant k en n − k on obtient A =
k=0
cos(π/2 − x) = sin(x).
• Finalement A =
n−1
P
cos2 ( (n−k)π
2n ) =
n−1
P
k=0
cos2 ( π2 −
kπ
2n )
= B , car le
n
2
Exercice 6.
On note (zi )1≤i≤3 les trois racines de X 3 + X − 1, calcul de z14 + z24 + z34
Exercice 7.
Est-ce qu'il existe P un polynôme tel que P (z̄) = z ∀z ∈ C ?
Supposons qu'un tel polynôme existe, alors P (x) = x pour tout x réel, donc P (X) − X a une innité de racines,
donc est le polynôme nul, ainsi P = X or on a P (ī) = i = P (−i) = −i ce qui est absurde. Donc un tel polynôme
n'existe pas.
Exercice 8.
* Trouver une expression simpliée de
n−1
Q
k=1
(1 − e2kiπ/n ), en déduire
n−1
Q
k=1
sin( kπ
n )
n
n, 2n−1
Exercice 9.
* Pour x ∈ R on pose
kxk , calcul de Sn pour x = 1. puis lorsque x 6= 1 calcul de xSn − Sn en
k=1
déduire Sn
Sn =
n
P
nxn+2 −(n+1)xn+1 +x
(x−1)2
Exercice 10.
* Calcul de
n
Q
k=2
k3 −1
k3 +1
2