Correction 1L. eval 2.09

Correction
Exercice n°1
Étude d’une loi du marché
( 4 points )
On étudie une loi de marché relative à une revue intitulée «MOTS » en fonction du prix de l’abonnement annuel.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 200] par f ( x ) = −50 x + 12500
f donne le nombre d’abonnés en fonction du prix x en euros, de l’abonnement annuel à cette revue « MOTS ».
Partie A - Nombre d’abonnés
1. Lorsque l’abonnement est fixé à 50 €, quel est le nombre d’abonnés ?
Il s’agit de déterminer, l’image de 50 par la fonction f ; on a f ( 50 ) = −50 × 50 + 12500 = 10 000
Lorsque l’abonnement est fixé à 50 €, il y a 10 000 abonnés.
2. Quelle est l’image de 52 par f ? Que représente cette image ?
f ( 52 ) = −50 × 52 + 12500 = 9 900 . Lorsque l’abonnement est fixé à 52 €, il y a 9 900 abonnés.
3. Le nombre d’abonnés à la revue « MOTS » est de 5 000, quel est alors le prix de l’abonnement annuel ?
Il s’agit de déterminer, l’antécédent de 5 000 par la fonction f , je résous l’équation f ( x ) = 5 000
−7 500
= 150
−50
Pour 5 000 abonnés, le prix de l’abonnement annuel est de 150 €.
−50 x + 12500 = 5 000 ⇔ −50 x = −7 500 ⇔ x =
4. En utilisant la fonction f , justifier que pour ce produit « plus un produit est cher, plus la demande diminue ».
La fonction f est une fonction affine décroissante, en effet le nombre –50 est négatif
Donc lorsque x augmente on a f ( x ) qui diminue : « plus un produit est cher, plus la demande diminue ».
Partie B - Étude de la recette
On appelle recette le montant total des abonnements à la revue « MOTS » perçu par l’éditeur de la revue.
On définit la fonction R sur l’intervalle [0 ; 200] par R ( x ) = −50 x 2 + 12500 x
R ( x ) est égal à la recette correspondant à un prix de l’abonnement égal à x euros.
Le graphique de la fonction R est donné ci-dessous.
En utilisant ce graphique et en laissant apparaître tous les tracés nécessaires, répondre aux questions suivantes :
1. Quel est le prix de l’abonnement annuel à cette revue « MOTS » qui rend la recette maximale ?
Quel est alors le montant de la recette ?
D’après le graphique, la recette est maximale au sommet de la courbe
c’est-à-dire pour un prix de l’abonnement égal à 125 € , la recette maximale est alors de 781 250 €
2. Donner l’ensemble des solutions de l’inéquation R ( x ) ≥ 500 000 .
D’après le graphique, la recette est supérieure à 50 000 € pour x compris entre 50 € et 200 €
L’ensemble des solutions de l’inéquation R ( x ) ≥ 500 000 est S = [ 50 ; 200]
3. Calculer le nombre d’abonnés qui correspond à la recette maximale.
Il s’agit de déterminer, l’image de 125 par la fonction f ; on a f ( 125 ) = −50 × 125 + 12500 = 6 250
Lorsque la recette est maximale, l’abonnement est fixé à 125 €, et il y a 6 250 abonnés.
900000
R
800000
781 250
700000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
Prix de l’abonnement
en euros
p
x
0
0
50
100
125
150
200
250
( 4 points )
Exercice n°2 les questions suivantes sont indépendantes.
Le graphique donne la taille en centimètres
d’un enfant entre 0 et 2 ans.
1. De combien de centimètres l’enfant a-t-il grandi
entre un an et deux ans ?
•
E
B
•
Pour 1 an = 12 mois , l’enfant mesure 70 cm
Pour 2 ans = 24 mois , l’enfant mesure 82 cm
Il a grandi de 12 cm entre un an et deux ans
A
•
D•
2. Quelle est la croissance moyenne par mois
C•
durant cette période ?
L’enfant a grandi de 12 cm en 12 mois
Soit une croissance moyenne de 1 cm par mois
Remarque : la croissance
j’obtiens a =
moyenne correspond à la pente de la droite ( AB ) avec A (12; 70 ) et B ( 24;82 )
yB − yA 82 − 70 12
=
= = 1 cm/mois
xB − xA 24 − 12 12
3. Comparer la croissance moyenne par mois de cet enfant entre 0 et 6 mois, et entre un an et deux ans.
La pente de la droite ( CD ) est supérieure à la pente de la droite ( AB )
donc la croissance moyenne entre 0 et 6 mois et supérieure à la croissance moyenne entre un an et deux ans.
4. La taille de l’enfant à trois ans est de 97 centimètres. Par interpolation linéaire, déterminer la taille de l’enfant à deux ans et demi.
Je place le point E ( 36;97 ) et je cherche l’équation de la droite ( BE ) de la forme y = a x + b
j’obtiens a =
yE − yB 97 − 82 15 5
=
=
= = 1, 25
xE − xB 36 − 24 12 4
donc
( BE ) a pour équation
y = 1, 25 x + b
Pour trouver b je remplace par les coordonnées de B ( 24;82 ) et : 82 = 1, 25 × 24 + b ⇔ 82 = 30 + b ⇔ b = 52
ainsi ( BE ) a pour équation y = 1, 25 x + 52 donc pour x = 30 mois on a y = 1, 25 × 30 + 52 = 89,5 cm
Par interpolation linéaire, la taille de l’enfant à deux ans et demi est de 89,5 cm.
( 2 points )
Exercice n°3
La population de la France métropolitaine en 2000 était de 60 714 milliers d’habitants et en 2005 de 62 853 milliers d’habitants.
Par interpolation linéaire, déterminer le nombre d’habitants en France en 2003.
Je note A ( 2000 ;60 714 ) et B ( 2005 ;62 853) puis je cherche l’équation de ( AB ) de la forme y = a x + b
j’obtiens a =
yB − yA 62 853 − 60 714 2139
=
=
= 427,8 donc
xB − xA
2005 − 2000
5
( AB ) a pour équation
y = 427,8 x + b
Pour trouver b je remplace par les coordonnées de A ( 2000 ;60 714 )
60 714 = 427,8 × 2000 + b ⇔ 60 714 = 855 600 + b ⇔ b = −794 886
ainsi ( AB ) a pour équation y = 427,8 x − 794 886
donc pour x = 2003 on a y = 427,8 × 2003 − 794 886 = 61 997, 4 milliers d’habitants
Par interpolation linéaire, le nombre d’habitants en France en 2003 est de 61 997,4 milliers d’habitants.