PROBABILITES I – Expérience Aléatoire – Modèle de probabilité

PROBABILITES
I – Expérience Aléatoire – Modèle de probabilité.
Remarque préliminaire : Les notions seront abordées dans le cadre d’un ensemble fini (que
l’on peut compter). Pour toute expérience aléatoire il faut définir un modèle de probabilité,
ceci afin de conjecturer les occurrences éventuelles.
I – 1 – Modèle de probabilité.
Définition : un modèle de probabilité est composé de
- un ensemble d’issues possibles Ω = {x1 ; x2 ; … ; xn}. Cet ensemble est
appelé l’univers et se lit « oméga.
Exemple : Pour un dé, l’ensemble des issues sont Ω = {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}.
-pour chaque issue « i » on associe une probabilité 0≤Pi≤1
Exemple : P(obtenir 1)=1/6, P(obtenir 2)=1/6 ….
Remarque : P(obtenir 7) = 0 car 7 n’appartient pas à l’univers !
P(Ω)=1
II – Choix d’une modèle de probabilité
Pour déterminer le système (Ω,P), Il faut connaître l’ensemble des issues possibles et il faut
connaître la loi de probabilité, c'est-à-dire comment déterminer la probabilité de chacun de ces
évènements élémentaires.
Il y a 2 solutions :
1 – L’observation statistique des fréquences.
Ie : on répète une expérience « n » fois (n>1000) et comme on sait que la fréquence « f »
d’une issue « i » a tendance à se stabiliser autour d’une valeur Pi, on appellera Pi la
probabilité de l’issue « i ».
(cf. TP informatique)
2 – Choix du modèle de l’équiprobabilité.
Ie : dans ce modèle, les « n » issues ont exactement la même probabilité de se produire. La
probabilité d’une issue est donc : Pi=1/n.
Exemple : Un dé à 6 faces parfaitement équilibré : P(obtenir 1)=1/6, P(obtenir 2)=1/6 ….
Pour déterminer, le modèle de probabilité, le texte a une importance capitale. Des termes
comme « On tire au hasard », « dé équilibré », « boule indiscernable au toucher » sont autant
de terme qui font choisir le modèle de l’équiprobabilité.
III – calcul des probabilités
III – 1 – probabilité d’un évènement
Définition : un évènement A est un sous ensemble de Ω (l’ensemble des issues possibles de
l’expérience). La probabilité P(A) est la somme des probabilités des issues favorables à A.
Exemple : Pour une dé à 6 faces
P(obtenir une nombre>4)=P(Obtenir 5)+P(Obtenir 6)=1/6+1/6=2/6.
Propriété : Dans une situation d’équiprobabilité, la porbabilité d’un évènement A est
P(A)= (nbre d’issues favorables à A) / (nb d’issues possibles)
III – 2 – Probabilité des plusieurs évènements
Vision ensembliste :
Soit A un ensemble rouge
Soit B un ensemble bleu
A∩B = partie hachurée uniquement
Se lit « A inter B » soit A et B !
AUB = partie rouge + bleue + hachurée
Se lit « A union B » soit A ou B !
Si A et B sont deux évènements,
est l’évènement contraire de A. Soit l’ensemble des
issues qui ne réalisent pas A.
Ici,
est la partie blanche et la partie bleue. (la partie rouge et la partie hachurée font partie
de A).
On peut aussi modéliser les issues possibles à l’aide des tableaux et des arbres (cf exercices).
A∩B est l’ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B
AUB est l’ensemble des issues qui réalisent soit A soit B.
Propriété :
Soient A et B deux évènements :
P(A) + P( ) = 1
P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
Remarque: Si A et B sont deux évènement disjoints, alors A∩B=0 !