Le Son et la Thermodynamique
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Le Son et la Thermodynamique
Le Son et la Thermodynamique Qu’est-ce-qu’une onde sonore ? Une onde sonore correspond à une déformation du milieu matériel, c’est une succession de zones de compression et de raréfaction. On supposera par la suite que le milieu de propagation est un fluide parfait compressible. Propagation d’une onde sonore On utilise l’équation de conservation de la masse ainsi que l’équation d’Euler dans l’approximation de perturbations de faible amplitude (on néglige les termes non-linéaires) : ∂ρ + divρv = 0 , (1) ∂t → ∂− v → ρ = −− OP . (2) ∂t On introduit une notation où les quantités sont notées sous la forme X = X0 + X 0 , les quantités primées représantant les variations par rapport aux valeurs de référence indexées 0. En introduisant cette notation dans l’équation [2] et en négligeant tous les termes d’ordre supérieur à 2 on obtient : → − ∂ v0 → ρ0 = −− OP0 . (3) ∂t → − −−→ On pose v 0 = gradφ que l’on injecte dans la relation précédente et on intégre par rapport à la position pour arriver à la relation : P 0 = −ρ0 ∂φ . ∂t (4) Dans l’hypothèse où la transformation est isentropique on a la relation suivante entre la variation de pression et la variation de densité : ∂P 0 ρ0 . (5) P = ∂ρ0 S En utilisant [4] et [5] dans l’équation [1], on aboutit à une relation de propagation d’onde sous la forme : ∂2Φ 1 ∂2Φ − =0, (6) ∂x2 c2 ∂t2 en posant pour c qui représente la vitesse du son : s ∂P c= . (7) ∂ρ S Cette équation admet comme solution des ondes dites longitudinales de la forme φ ∝ ei(ωt±kx) , c’est-à-dire pour lesquelles le vecteur d’onde et colinéaire à la vitesse des particules. Cette solution satisfait à la relation de dispersion suivante : ω 2 = c2 k 2 . 1 Propagation dans un gaz parfait - Cas adiabatique Dans le cas adiabatique, l’équation d’état est donnée par : P V γ = cte, et en utilisant l’équation des gaz parfaits cela implique que la vitesse du son prend la forme : s RT , (8) c= γ µ avec R, T , µ respectivement la constante des gaz parfaits, la température et le poids moléculaire moyen. Application numérique : avec γ = 1, 4 ; µ = 0, 29 kg, T0 = 300 K alors c = 347 m/s . On peut remarquer que cette vitesse correspond à la vitesse quadratique moyenne donnée par la théorie cinétique des gaz. Cela parait cohérent puisque ce sont les particules du milieu qui sont le vecteur de l’information sur la perturbation. Propagation dans un gaz parfait - Cas isotherme Dans le cas isotherme, l’équation d’état est donnée par : P V = cte, de même en utilisant l’équation des gaz parfaits, on obtient comme expression de la vitesse du son : s RT c= . (9) µ √ On remarquera que l’expression de la vitesse diffère du cas adiabatique par un facteur γ. Distinction des cas isotherme - adiabatique Lorsque le gaz se comprime on intuite qu’il va s’échauffer, alors que lorsqu’il se raréfit il va refroidir. L’hypothèse d’adiabadicité est justifiée si la transformation est assez rapide pour qu’il n’y ait pas d’échange de chaleur ; au contraire si la transformation se fait sur des temps relativement longs, le système a le temps de se thermaliser et l’hypothèse isotherme est dans ce cas validée. Pour discriminer ces deux cas on introduit la longueur caractéristique de la perturbation λ = 2πvs /ω, ainsi que la longueur caractéristique sur laquelle la chaleur pénétre pendant un temps T : δ 2 ∝ T ∝ 1/ω. Le graph ci-dessous représente le logarithme de ces grandeurs en fonction du logarithme de ω. Lorsque λ < δ, le système a le temps de se thermaliser donc on se trouve dans le cas isotherme, dans le cas contraire le système est considéré comme adiabatique. 2