Démonstration 02 - XMaths

Démonstration 02
La démonstration se fait principalement en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle.
Soient a et b deux réels strictement positifs on a :
●
eln a + ln b = eln a x eln b = a x b .
Sachant que si e x = y , alors x = ln y , on en déduit :
e- ln a = 1 = 1
eln a a
donc - ln a = ln 1
a
ln a a
=
eln a - ln b = e
eln b b
donc
On peut écrire ln a = ln ( a
●
●
ln a + ln b = ln (a x b)
ln a - ln b = ln a
b
x
a ) = ln
n
Pour tout n ∈ ZZ , en ln a = (eln a ) = an
a + ln
donc
a = 2 ln
a
donc ln
a = 1 ln a
2
n ln a = ln an
*
Considérons, pour n ∈ IN , la proposition :
Si a1, a2, ..., an sont n réels strictement positifs, alors ln (a1 x a2 x ) x an) = ln a1 + ln a2 + ... + ln an
Cette proposition est vraie de façon évidente pour n = 1 et n = 2 .
Supposons qu'elle est vraie pour un entier n fixé avec n ³ 2
Considérons alors n + 1 réels strictement positifs a1, a2, ... , an , an+1
On peut écrire ln (a1 x a2 x ) x an x an+1) = ln (a1 x a2 x ) x an) + ln an+1 puisque ln(ab) = ln a + ln b
et de plus comme la proposition est vraie pour n, on a ln (a1 x a2 x ) x an) = ln a1 + ln a2 + ... + ln an
Donc ln (a1 x a2 x ) x an x an+1) = ln a1 + ln a2 + ... + ln an + + ln an+1
c'est-à-dire que la proposition est vraie pour n + 1.
On a donc démontré par récurrence que la proposition est vraie pour tout entier n ³ 1.
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