géométrie plane

GÉOMÉTRIE PLANE : VECTEURS ET DROITES
I. Colinéarité de deux vecteurs :
1°) Complément sur la colinéarité :
Définition :
u et ⃗
v sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que
Deux vecteurs non nuls ⃗
u
=k
v
ou
.
⃗
⃗
v⃗ =k u⃗
Remarque :
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Propriété (condition de colinéarité) :
()
( ) sont colinéaires
u x et v⃗ x '
Dans un repère, deux vecteurs ⃗
y
y'
⇔ leurs coordonnées sont proportionnelles
⇔ xy' – x'y = 0
Propriété (rappel de seconde) :
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles ⇔ les vecteurs ⃗
AB et ⃗
DC sont colinéaires.
Trois points A, B et C sont alignés ⇔ les vecteurs ⃗
AB et ⃗
AC sont colinéaires.
Exemple :
Soient A(5 ; –2), B(8 ; 2) et C(0,5 ; –8)
()
(
)
3
−4 , 5
On a ⃗
et ⃗
or 3×(–6) – 4×(–4,5) = 0
AB
AC
4
−6
Donc les points A, B et C sont alignés.
2°) Vecteur directeur d'une droite :
Définition :
On appelle vecteur directeur d'une droite (d) tout
vecteur non nul u
⃗ tel qu 'il existe deux points A et B de
⃗
(d) tels que ⃗
u = AB .
M
B
u
Propriété (propriété caractéristique) :
Soit (d) une droite passant par A et de vecteur
u.
directeur ⃗
M ∈ (d) ⇔ u
⃗ et ⃗
AM sont colinéaires.
A
u
+p
y=
mx
y
Propriété :
Dans un repère, (d) est une droite d'équation
réduite y = mx + p.
u
1
0
u
Le vecteur ⃗
m
( m1 ) est un vecteur directeur de la
droite (d).
1
1
x
II. Équations cartésiennes d'une droite :
Propriété :
Dans un repère, toute droite (d) a une équation de la forme ax + by + c = 0 avec
(a ; b) ≠ (0 ; 0). Un vecteur directeur de (d) est le vecteur ⃗
u (–b ; a).
Preuve :
u (r ; s) un vecteur directeur de la droite (d) et A(xA ; yA) un point de (d)
Soit ⃗
M(x ; y) ∈ (d) ⇔ ⃗
u sont colinéaires. Or ⃗
AM et ⃗
AM (x – xA ; y – yA)
⇔ (x – xA) × s – (y – yA) × r = 0 ⇔ sx – ry + ryA – sxA = 0.
Cette équation est de la forme ax + by + c = 0 avec a = s, b = –r et c = ryA – sxA.
Comme u
⃗ ≠ 0, on a (r ; s) ≠ (0 ; 0) et donc (a ; b) ≠ (0 ; 0) et u⃗ (–b ; a) est un vecteur
directeur de (d).
Propriété :
Dans un repère du plan, l'ensemble des points M(x ; y) tels que ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠
u (–b ; a).
(0 ; 0) est une droite de vecteur directeur ⃗
Preuve :
Soit (E) l'ensemble des points M(x ; y) tels que ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0)
−a
c
x – . C'est l'équation réduite d'une droite de la
b
b
a
u (1 ; m) ou 1 ; –
u est un vecteur directeur de
forme y = mx + p de vecteur directeur ⃗
. Mais si ⃗
b
u (–b ; a) aussi.
(d), −b ⃗
● Si b ≠ 0, l'équation (E) s'écrit
y=
(
)
c
. Il s'agit bien de
a
l'équation d'une droite, parallèle à l'axe des ordonnées, et donc de vecteur directeur de coordonnées
(0 ; a) = (–b ; a).
● Si b = 0, (a ≠ 0) l'équation (E) s'écrit ax + c = 0 c'est à dire x = –
Définition :
Dans un repère du plan, toute équation de droite de la forme ax + by + c = 0 avec
(a ; b) ≠ (0 ; 0) est appelée équation cartésienne.
III. Décomposer un vecteur :
1°) Existence et unicité de la décomposition :
Propriété :
u et ⃗
v sont deux vecteurs non colinéaires.
⃗
Pour tout vecteur w
⃗ , il existe un unique couple (a ; b) de nombres réels tels que :
w
⃗ =au
⃗ + b v⃗ .
Preuve :
1- Existence :
On note O un point du plan et U, V et M les points tels
que : ⃗
OU =⃗u ; ⃗
OV =⃗
v et ⃗
OM = w
⃗.
La parallèle à (OV) passant par M, coupe (OU) en M1 et la
parallèle à (OU) passant par M coupe (OV) en M2.
OM1MM2
est
⃗
⃗
⃗
OM =OM 1 + OM 2 (1)
–
–
un
parallélogramme,
M
M2
V
O
donc
U
M1
⃗
u sont colinéaires, ⃗
u ≠ 0, donc il existe un réel a tel que ⃗
OM 1 et ⃗
OM 1=a ⃗
u.
De même, ⃗
OM 2 et v⃗ sont colinéaires, v⃗ ≠ 0, donc il existe un réel b tel que ⃗
OM 2=b ⃗v .
Ainsi (1) ⇔ ⃗
OM =a ⃗
u+ b ⃗
v
2- Unicité :
a, b et a' et b' sont des réels tels que w
v =a ' ⃗
u+ b ' ⃗
v ⇔ (a – a ' )⃗u=(b ' – b)⃗v
⃗ =a ⃗u + b ⃗
or ⃗
u et ⃗
v ne sont pas colinéaires donc a – a' = 0 et b' – b = 0 ⇔ a = a' et b = b'. CQFD
Exemple :
Soient A, B et C trois points. Soit M le point défini par : ⃗
AM =3 ⃗
BC −2 ⃗
AC .
Exprimons ⃗
AM en fonction de ⃗
AB et ⃗
AC .
AM =3( ⃗
BA+⃗
AC )−2 ⃗
AC =3 ⃗
BA+3 ⃗
AC−2 ⃗
AC=3 ⃗
BA+⃗
AC =−3 ⃗
AB+ ⃗
AC