Loi de durée de vie sans vieillissement

Loi de durée de vie sans vieillissement
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Loi de durée de vie sans vieillissement
Exemple : désintégration radioactive
La durée de vie d’un noyau radioactif suit une loi de probabilité exponentielle de paramètre λ donné : f (x) = λe−λx .
La loi de durée de vie sans vieillissement peut s’exprimer de deux façons (équivalentes),
suivant que l’on s’intéresse à un événement du type X > a + k (vivre au moins jusqu’à
a + k) ou a 6 X 6 a + k (se désintégrer entre a et a + k).
Enoncé avec X > a + k
La probabilité de vivre encore au moins k unités de plus lorsqu’on a déjà vécu a unités est
la même quel que soit a, en particulier lorsque a = 0 : PX>a (X > a + k) = P (X > k) .
En effet, X représente la durée de vie, donc « être encore en vie à l’instant a » se traduit
par : X > a.
a
•
+k
jaune
Avec des aires,
= constante lorsque a varie (a > 0).
jaune + vert
En effet, jaune = e−λ(a+k) et jaune + vert = e−λa .
jaune
Donc
= e−λk , indépendant de a.
jaune + vert
Enoncé avec a 6 X 6 a + k
La probabilité de se désintégrer entre a et a+k lorsqu’on a déjà vécu a unités est la même
quel que soit a, en particulier lorsque a = 0 : PX>a (a 6 X 6 a + k) = P (X 6 k) .
Avec des aires,
vert
= constante lorsque a varie (a > 0).
jaune + vert
En effet, vert = e−λa − e−λ(a+k) et jaune + vert = e−λa .
vert
Donc
= 1 − e−λk , indépendant de a.
jaune + vert
a
•
+k
Loi de durée de vie sans vieillissement
Equivalence
Dire qu’une loi de probabilité est une loi de durée de vie sans vieillissement est équivalent
à dire que c’est une loi exponentielle.
Démonstration (résumée) Z:
x
Soit F (x) = P (X 6 x) =
f (t) dt.
0
La propriété de durée de vie sans vieillissement s’exprime par :
Pour tout a > 0 et tout k > 0, F (x + k) − F (x) = F (k)(1 − F (x)), ce qui s’écrit
F (k) − F (0)
F (x + k) − F (x)
=
(1 − F (x)).
k
k
Par passage à la limite lorsque k tend vers 0, on obtient :
pour tout x > 0, F 0 (x) = F 0 (0)(1 − F (x))
C’est une équation différentielle, et avec la condition initiale F (0) = 0, l’unique solution
est F (x) = λe−λx avec λ = F 0 (0).
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