1 Principe 2 Stencils de dérivation `a l`ordre 2 3 Stencils de

Stencils de dérivation, différences finies centrées
1
E. Millour
Principe
Pour un jeu de points de collocation équidistants, on rentrouve les stencils de dérivation à l’aide du développement de
Taylor à l’ordre p:
a2
ap
a
f (x + a) = f (x) + f (1) (x) + f (2) (x) + . . . + f (p) (x) + O(ap )
1!
2!
p!
Pour a = ±h, ±2h, . . . , ±ph, on obtient un système linéaire reliant les valeurs de f (x) et ses dérivées successives en
fonction des p valeurs de part et d’autre de x.
Le système résultant est de la forme:
f (x − ph) − f (x)
=
..
.
=
+
=
ph (1)
f (x)
1!
+
=
f (x + h) − f (x)
..
.
(−ph)2 (2)
f (x)
2!
+
−h (1)
f (x)
1!
h (1)
f (x)
1!
..
.
f (x − h) − f (x)
f (x + ph) − f (x)
−ph (1)
f (x)
1!
..
.
+ ... +
(−h)2 (2)
f (x)
2!
2
h (2)
f (x)
2!
+
+ ... +
+ ... +
(ph)2 (2)
f (x)
2!
+ ... +
(−ph)p (p)
f (x)
p!
(−h)p (p)
f (x)
p!
p
h (p)
f (x)
p!
(ph)p (p)
f (x)
p!
La résolution de ce système (de 2p équations) permet d’obtenir les relations recherchées.
Notations: Pour la suite, on note fk = f (xk ) les valeurs aux (2p+1) points de collocations (équirépartis) xk = xi +k.h,
k = 0, ±1, . . . , ±p.
2
Stencils de dérivation à l’ordre 2
Sur 3 points, les développements de Taylor à l’ordre 2 donnent les 2 équations:
fi−1 − fi
=
fi+1 − fi
=
h2 (2)
f + O(h2 )
2 i
h2 (2)
(1)
f + O(h2 )
+h fi +
2 i
(1)
−h fi
+
Qui donnent les stencils de dérivation suivant:
(1)
h fi
(2)
h2 f i
3
fi−1
fi
fi+1
− 21
0
1
2
1
−2
1
Stencils de dérivation à l’ordre 4
Grace aux développements de Taylor à l’ordre 4, on obtient les 4 équations suivantes:
(1)
fi−2 − fi
=
−2h fi
fi−1 − fi
=
−h fi
fi+1 − fi
=
h fi
fi+2 − fi
=
2h fi
(1)
(1)
(1)
4h2
2
h2
+
2
h2
+
2
4h2
+
2
+
(2)
fi
(2)
fi
(2)
fi
(2)
fi
8h3
6
h3
−
6
h3
+
6
8h3
+
6
−
(3)
fi
(3)
fi
(3)
fi
(3)
fi
16h4 (4)
f
24 i
4
h (4)
+ fi
24
h4 (4)
+ fi
24
16h4 (4)
+
f
24 i
+
+O(h4 )
+O(h4 )
+O(h4 )
+O(h4 )
La résolution de ce système permet d’établir les stencils suivants:
(1)
h fi
(2)
h2 f i
(3)
h3 f i
(4)
h4 f i
Version du 20/04/06
fi−2
fi−1
1
12
1
− 12
− 12
− 32
4
3
fi
fi+1
fi+2
0
1
− 12
− 52
2
3
4
3
1
0
−1
1
2
1
−4
6
−4
1
1
− 12
1
Stencils de dérivation, différences finies centrées
4
E. Millour
Stencils de dérivation à l’ordre 6
Avec des développements de Taylor à l’ordre 6, on obtient les stencils:
(1)
h fi
(2)
h2 f i
(3)
h3 f i
(4)
h4 f i
(5)
h5 f i
(6)
h6 f i
5
fi−3
fi−2
fi−1
1
− 60
1
90
1
8
− 61
− 21
3
20
3
− 20
2
− 43
3
2
13
8
− 13
2
− 25
1
−6
15
−1
2
fi
fi+1
fi+2
fi+3
0
3
− 20
3
− 20
0
3
4
3
2
− 13
8
− 13
2
5
2
−2
1
60
1
90
− 81
− 61
1
2
−20
15
−6
1
− 49
18
0
28
3
1
2
Stencils de dérivation à l’ordre 8
Pour des développements de Taylor à l’ordre 8, on obtient les stencils:
(1)
h fi
(2)
h2 f i
(3)
h3 f i
(4)
h4 f i
(5)
h5 f i
(6)
h6 f i
(7)
h7 f i
(8)
h8 f i
Version du 20/04/06
fi−4
fi−3
fi−2
fi−1
fi
fi+1
fi+2
fi+3
fi+4
1
280
1
− 560
7
− 240
7
240
1
6
− 14
− 12
4
− 105
− 54
0
− 205
72
0
169
120
169
60
− 13
3
4
105
8
315
3
− 10
− 52
3
2
1
− 280
8
5
61
30
− 122
15
− 29
6
4
5
8
5
61
− 30
− 122
15
29
6
− 15
8
315
3
10
− 25
− 32
1
5
− 15
169
− 120
169
60
13
3
3
−13
29
− 75
2
29
−13
3
3
−7
7
0
−7
7
−3
7
240
7
240
− 61
− 41
1
2
1
−8
28
−56
70
−56
28
−8
1
0
91
8
− 15
1
− 560
2