1 Un cercle est un carré, un carré est un cercle

Université de CAEN
1
L3-MASS Calcul différentiel
Un cercle est un carré, un carré est un cercle
1.1
Description
Dans cet exercice, on illustre les liens entre normes équivalentes et ouverts. On prendra l’espace vectoriel (R2 , +, .)
muni des normes k.kp , cet espace vectoriel normé sera noté ℓp .
Figure 1 – Un indien dans la ville
Arielle Dombasle prononce cette phrase ”Un cercle est un carré, un carré est un cercle” dans un moment de
méditation. Y a t-il un lien profond avec la topologie ?
Dans un premier temps, on cherche une solution de façon empirique et dans un deuxième temps on la prouve.
1.2
Enoncé
1. Dans cette question on compare les boules de centre 0 et de rayon unité pour les espaces vectoriels normés ℓ2 et
ℓ1 .
(a) Tracez deux boules de centre (0, 0) et de rayon 1 pour les normes ℓ1 et ℓ2 .
LATEX2e 22 septembre 2011
1
[email protected]
L3-MASS Calcul différentiel
0
−2
−1
0
1
2
Université de CAEN
−2
−1
0
1
2
0
Figure 2 – Boules p=1,p=2
(b) Graphiquement, vérifiez que Bℓ1 (0, 1) ⊂ Bℓ2 (0, 1). Peut-on trouver R > 1 tel que Bℓ1 (0, R) ⊂ Bℓ2 (0, 1).
(c) Montrez que
∀u ∈ R2 , kukℓ2 ≤ kukℓ1
En déduire que
∀x0 ∈ R2 , ∀R > 0, Bℓ1 (x0 , R) ⊂ Bℓ2 (x0 , R)
2. Dans cette question, on étudie la famille de normes (k.kp )p∈[1,+∞[ .
(a) On veut étudier la famille de boules Bℓp (0, 1), pour p variant de 1 à ∞. Excécutez le code suivant
eqscplot(0,0,type="n",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2))
p.values=exp(seq(from=0,to=log(1000),length.out=100))
for ( p in p.values ) {Sys.sleep(.05);boule(centre=c(0,0),1,p=p,col='yellow')}
(b)
Quel est la limite de Bℓp (0, 1) quand p → +∞ ? Est ce que l’évolution est monotone ?
i. Vérifiez que ∀u ∈ Rn , ∀i ∈ [1, n]; |ui | ≤ kukℓp
ii. En déduire que ∀u ∈ Rn , sup1≤i≤n |ui | ≤ kukℓp .
iii. Puis que que ∀u ∈ Rn , kukℓ∞ ≤ kukℓp .
iv. En utilisant |ui | ≤ kukℓ∞ , vérifiez que
kukℓp ≤ n1/p kukℓ∞
v. En déduire que
∀u ∈ Rn lim kukℓp = kukℓ∞
p→+∞
(c) Soient 1 ≤ q ≤ p deux nombres réels et u ∈ Rn vérifiant kukℓq = 1.
i. Vérifiez que ∀i ∈ [1, n]; |ui | ≤ 1
ii. En déduire que ∀i ∈ [1, n]; |ui |p = |ui |q+p−q ≤ |ui |q
P
iii. En déduire que i |ui |p ≤ 1
iv. Puis que kukℓp ≤ 1
(d) En déduire que ∀u ∈ Rn kukℓp ≤ kukℓq , en remarquant que si u 6= 0, on a ku/kukℓq kℓq = 1
3. Dans cette question, on veut trouver une boule de ℓ∞ (carré) de centre 0 et de rayon R incluse dans une boule
ℓ2 de centre 0 et de rayon 1.
(a) Tracez une boule de centre (0, 0) et de rayon 1 pour la norme ℓ2 . Puis trouvez R empiriquement le plus
grand possible tel que
Bℓ∞ (0, R) ⊂ Bℓ2 (0, 1)
LATEX2e 22 septembre 2011
2
[email protected]
L3-MASS Calcul différentiel
0
−2
−1
0
1
2
Université de CAEN
−2
−1
0
1
2
0
Figure 3 – Boules p=∞,p=2
(b) Montrez que ∀u ∈ R2
1
√ kuk2 ≤ kuk∞
2
(c) Soit K ∈ R, Montrer que si ∀u ∈ R2 , Kkuk2 ≤ kuk∞ alors K ≤
(d) En déduire que K =
√1
2
√1
2
est la plus grande des constantes vérifiant
∀u ∈ R2 , Kkuk2 ≤ kuk∞
0
−2
−1
0
1
2
4. Dans cette question on veut trouver une boule de ℓ∞ de centre 0 et de rayon R incluse dans une boule ℓ1 de
centre 0 et de rayon 1.
(a) Tracez une boule de centre (0, 0) et de rayon 1 pour la norme ℓ1 . Puis trouvez R le plus grand possible tel
que
Bℓ∞ (0, R) ⊂ Bℓ1 (0, 1)
−2
−1
0
1
2
0
Figure 4 – Boules p=∞,p=1
(b) Vérifiez que K = 1/2 est la plus grande constante K vérifiant
∀u ∈ R2 , Kkuk1 ≤ kuk∞
5. En déduire que ∀(p, p′ ) ∈ [1, +∞[ les deux normes k.kp et k.kp′ sont équivalentes et que A ⊂ R2 est un ouvert
de ℓp si et seulement si c’est un ouvert de ℓp′ .
LATEX2e 22 septembre 2011
3
[email protected]
Université de CAEN
1.3
L3-MASS Calcul différentiel
Fonctions R
Les fonctions nécessaires sont
f=function(x,p=2) (1-abs(x)^p)^(1/p)
norme=function(x,p=2) (abs(x[1])^p+abs(x[2])^p)^(1/p)
boule=function(centre=c(0,0),R=1,p=2,nb=50,type="ouvert",...)
{
x0=seq(from=1,to=0,length.out=nb)
y0=f(x0,p)
x1=seq(from=0,to=-1,length.out=nb)
y1=f(x1,p)
x2=seq(from=-1,to=0,length.out=nb)
y2=-f(x2,p)
x3=seq(from=0,to=1,length.out=nb)
y3=-f(x3,p)
x=c(x0,x1,x2,x3)
y=c(y0,y1,y2,y3)
x=x*R+centre[1]
y=y*R+centre[2]
lty=ifelse(type=="ferme",1,3)
polygon(x,y,lwd=2,lty=lty,...)
points(centre[1],centre[2],col="black",cex=2,pch=10)
}
LATEX2e 22 septembre 2011
4
[email protected]