2012_Gr_B_sb_corr

NOM:................................. – PRENOM: ................................. – Date: ........................
Classe: ......... – Section:................
Sujet d'examen
Thème:
2012_Gr_B:
(Sujet groupement B – Session 2012)
Table des matières
EXERCICE n°1: (12 points).................................................................................................................2
Partie A. Résolution d'une équation différentielle...........................................................................2
Partie B. Étude locale d'une fonction...............................................................................................3
Partie C. Calcul intégral...................................................................................................................5
EXERCICE n°2: (8 points)...................................................................................................................7
Partie A. Loi normale.......................................................................................................................7
Partie B. Loi binomiale....................................................................................................................9
Partie C. Intervalle de confiance....................................................................................................12
M. Basnary S.
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EXERCICE n°1: (12 points)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E) : y' + 2 y = – 5 e – 2 x.
où y est une fonction inconnue de la variable réelle x, définie et dérivable sur ℝ, et y' la fonction
dérivée de y.
1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E0) : y' + 2 y = 0.
2. Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = – 5 x × e – 2 x. Démontrer que la fonction g est une
solution de (E).
3. En déduire les solutions de l'équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale f (0) = 1.
CORRECTION
1. (E0) : y' + 2 y = 0. C'est une équation du premier ordre du type (E0) : a(x) y' + b(x) y = 0.
Variable : x, fonction : y(x)
Identification de a et b : a(x) = 1 ; b(x) = 2.
Hypothèse n°1 : a(x) ≠ 0. l'hypothèse est vraie. Hypothèse n°2 : a'(x) = 0 et b'(x) = 0.
Théorème : g(x) = b(x) / a(x) donc g(x) = 2.
Soit G la primitive de g alors G(x) = 2 x.
Les solutions de s'écrivent y0(x) = k e – G(x) soit :
y0(x) = k e – 2 x .
2. La solution particulière yp est ici notée g avec
g(x) = – 5 x × e – 2 x.
g est une fonction de type U × V avec :
U(x) = – 5 x → U ' (x) = – 5
V(x) = e – 2 x → V ' (x) = – 2 e – 2 x donc
g' = U ' × V + U × V '
g' (x) = – 5 e – 2 x + – 5 x ( – 2 ) e – 2 x
soit
g' (x) = ( – 5 + 10 x ) e – 2 x .
La méthode à utiliser est la méthode par vérification
(E) : g' + 2 g
= ( – 5 + 10 x ) e – 2 x + 2 × ( – 5 x ) × e – 2 x
= ( – 5 + 10 x – 10 x ) × e – 2 x
= – 5 × e–2x
= 2nd membre de (E)
La fonction g est bien solution particulière de (E).
3. Les solutions de (E) s'écrivent : yg = y0 + yp
4. f (0) = 1 ⇔ yg (0) = 1
La solution f est donc :
⇔
k e0 = 1
soit
⇔
yg (x) = k e – 2 x – 5 x × e – 2 x.
k = 1.
f (x) = 1 e – 2 x – 5 x × e – 2 x.
Remarque(s) : On retrouve la fonction f de la Partie B.
M. Basnary S.
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Partie B. Étude locale d'une fonction
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = ( 1 – 5 x ) × e – 2 x. On note C sa courbe représentative
dans le plan muni d'un repère orthogonal.
1. On admet le résultat suivant :
−2 x
lim −5 x e
=0 .
x ∞
a) Calculer
lim f  x .
x ∞
b) Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur
la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. La réponse
juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni
n'enlève de point.
La courbe C admet une asymptote en + ∞ dont une équation est :
y=1–5x
y=0
x=0
2. Développement limité
a) A l'aide du développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction t → e t ,
déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction :
x → e–2x
b) En déduire que le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction f est :
f (x) = 1 – 7 x + 12 x 2 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
c) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0.
d) Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur
la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. La réponse
juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni
n'enlève de point.
On veut justifier qu'au voisinage du point d'abscisse 0, la courbe C est au-dessus de la droite
T. Recopier sur votre copie la justification exacte.
12 x 2 est positif au
voisinage de 0.
M. Basnary S.
x 2 ε(x) est positif au
voisinage de 0.
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1 – 7 x est positif au
voisinage de 0.
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CORRECTION
1. D'après le résultat admis, il est judicieux de développer la fonction f.
On obtient : f (x) = e – 2 x – 5 x × e – 2 x.
a) En utilisant la notation pratique, on a pour x → + ∞ , – 2 x → – ∞ donc e – 2 x → 0 +
Par addition des deux limites, celle admise et celle précédente, on a :
lim f  x=0 .
x∞
b) D'après la limite ci-dessus et la représentation graphique de la fonction f (Voir ANNEXE), la
courbe C admet une asymptote en + ∞ d'équation :
y = 0.
(Réponse B)
2. Développement limité ou DL
a) Écrivons le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction t → e t,
développement limité extrait du formulaire,
e t = 1 + t / (1!) + t 2 / (2!) + t 2 ε(t) avec lim ε(t) = 0 pour t → 0.
Remplaçons t par ( – 2 x ) et uniquement dans la fonction et dans la partie régulière du
développement limité, afin d'obtenir le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de
la fonction x → e – 2 x. Dans le terme complémentaire qui contient la variable t, t est remplacé
par x. On obtient :
e – 2 x = 1 + (– 2 x) / (1!) + (– 2 x) 2 / (2!) + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
Rappel(s) sur la notation factorielle : factorielle n (n ∈ ℕ) noté n! est le produit des entiers de
1 jusqu'à n. on a donc 1! = 1, 2! = 2, 3! = 1 × 2 × 3 = 6 … En utilisant ce rappel, on obtient :
e – 2 x = 1 – 2 x + 2 x 2 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
b) Règle n°1 sur les développements limités : toutes les opérations ne portent que sur les parties
régulières des développements limités. Appliquons cette règle :
( 1 – 5 x ) e – 2 x = ( 1 – 5 x ) × ( 1 – 2 x + 2 x 2 ) + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
= 1 – 2 x + 2 x 2 – 5 x + 10 x 2 – 10 x 3 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
Simplifions
( 1 – 5 x ) e – 2 x = 1 – 7 x + 12 x 2 – 10 x 3 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
Règle n°2 sur les développements limités : On ne fait apparaitre dans l'expression d'un DL que
les termes de rang p inférieur ou égal à l'ordre n imposé du DL.
En appliquant cette règle, le terme de rang 3 en x 3 (c'est à dire – 10 x 3 ) n'apparaît pas dans le
DL car l'ordre n imposé et n = 2. On obtient finalement :
f (x) = 1 – 7 x + 12 x 2 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x → 0.
c) Propriété n°1 sur les développements limités : le terme a0 + a1 x du développement limité est
l'équation y = a x + b de la tangente TY à la courbe Cf au point Y d'abscisse x = 0. Une
équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 est donc :
T:y=1–7x
d) Propriété n°2 sur les développements limités : L'étude du signe du terme qui suit l'équation de
TY dans le DL de f (de rang 2 ou 3) au voisinage de x = 0 donne la position (dessus ou
dessous) de la courbe Cf par rapport a la tangente TY : si le signe est positif, alors Cf est au
dessus de TY et si le signe est négatif alors Cf est au dessous de TY .
Le terme qui suit l'équation de TY dans le DL est :
M. Basnary S.
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+ 12 x 2
(Réponse A)
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Partie C. Calcul intégral
1. On note I = ∫12 f (x) dx, où f est la fonction définie dans la Partie B.
a) Démontrer, à l'aide d'une intégration par partie, que
23e−4−13 e−2
I=
4
b) Donner la valeur approchée de I arrondie à 10 – 2 près.
2.
a) Donner, sans justification, le signe de f (x) pour x dans l'intervalle [ 1 ; 2 ]
b) Interpréter graphiquement le nombre I.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie, sera prise en
compte.
CORRECTION
1. On note I = ∫12 f (x) dx.
a) Appliquons une par une les étapes de l'intégration par partie avec f (x) = ( 1 – 5 x ) × e – 2 x.
Étape n°1 : Identification des fonctions u et v ' et recherche des fonction u ' et v .
u(x) = ( 1 – 5 x ) → dérivée → u ' (x) = – 5
v (x) = – ½ × e – 2 x ← primitive ← v ' (x) = e – 2 x.
Étape n°2 : Application du formulaire :
I = ∫ u (x) v ' (x) dx =
[ u (x) v (x) ]
=[(1–5x)×(–½)×e
– ∫ u ' (x) v (x) dx
–2x
]
– ∫ – 5 × ( – ½ ) × e – 2 x dx
Étape n°3 : Recherche de la primitive de la fonction dans le second terme en utilisant les
résultats de l'étape n°1.
– 5 × ( – ½ ) × ( – ½ ) ×e – 2 x ← primitive ← – 5 × ( – ½ ) × e – 2 x
I = ∫ u (x) v ' (x) dx = [ ( 1 – 5 x ) × ( – ½ ) × e – 2 x ]
– [ – 5 × ¼ × e–2x ]
Étape n°4 : Regroupement des termes entre [ ] et simplification.
I = ∫ u (x) v ' (x) dx = [ ( 1 – 5 x ) × ( – ½ ) × e – 2 x ]
= [ ( – 2 + 10 x ) × ( ¼ ) × e – 2 x ]
– [ – 5 × ¼ × e–2x ]
– [ – 5 × ¼ × e–2x ]
= [ ( 3 + 10 x ) × ( ¼ ) × e – 2 x ]
A ce stade, nous avons une primitive de la fonction f (x) = ( 1 – 5 x ) × e – 2 x, c'est la fonction :
F(x) = ( 3 + 10 x ) × ( ¼ ) × e – 2 x
Étape n°5 : Calcul de I à l'aide de F(x). F(2) = 23 × ¼ × e – 4 , F(1) = 13 × ¼ × e – 2 donc :
23e−4−13 e−2
I=
4
b) I ≈ – 0,33. (I s'exprime en unités d'aires u.a)
2.
a) Le signe de f (x) pour x dans l'intervalle [ 1 ; 2 ] est :
négatif.
b) – I représente l'aire du domaine délimité par les droites verticales d'équation x = 1 et x = 2, la
courbe C (y = f(x) et l'axe des abscisses (y = 0) (Voir ANNEXE)
M. Basnary S.
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ANNEXE
EXERCICE n°1: Partie B. et Partie C.
Représentation graphique de f (x) = ( 1 – 5 x ) × e – 2 x,
Représentation graphique de T : y = 1 – 7 x,
Domaine d'aire – I.
C
T:y=1–7x
M. Basnary S.
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EXERCICE n°2: (8 points)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Un particulier souhaite acheter, auprès d'un producteur, des bottes de paille pour l'isolation de sa
maison.
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10 – 2.
Partie A. Loi normale
On prélève au hasard une botte de paille dans la production du 20 juillet 2011.
1. On note X la variable aléatoire qui, à chaque botte ainsi prélevée, associe son épaisseur,
exprimée en millimètres. On admet que X suit une loi normale de moyenne 360 et d'écart-type
18.
Calculer la probabilité P ( 350  X  370 ).
2. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque botte prélevée dans la production de cette journée,
associe sa densité exprimée en kg/m3. On admet que Y suit la loi normale de moyenne 100 et
d'écart-type 5.
Calculer la probabilité qu'une botte prélevée dans la production de cette journée ait une densité
comprise entre 90 kg/m3 et 110 kg/m3.
3. On suppose que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.
Une botte de paille est conforme aux normes d'isolation si son épaisseur, exprimée en
millimètres, appartient à l'intervalle [ 350 ; 370 ] et si sa densité, exprimée en kg/m 3, appartient à
l'intervalle [ 90 ; 110 ].
Calculer la probabilité qu'une botte prélevée dans la production de cette journée soit conforme
aux normes d'isolation.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie, sera prise en
compte.
M. Basnary S.
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CORRECTION
,σ ≠ 1 Loi N ( m ; σ)
1. On cherche p = P ( 350  X  370 ).
P(x1 < X ≤ x2 )
X
Méthode n°1: Avec le formulaire et en
,x1
,x2
+∞
–∞
,m ≠ 0
utilisant la transformation de la loi normale
X–m
,σ = 1 Loi N ( 0 ; 1)
N ( m ; σ ) vers la loi normale centrée X = σ × T + m
T=
,σ
réduite N ( 0 ; 1 ) (voir figure ci-contre), on
P(t1 < T ≤ t2 )
obtient :
–∞
p = P ( t1  T  t2 ) = Π( t2 ) – Π( t1 ).
,t1
,m = 0
,t2
T
+∞
Donnée(s): m = 360 , σ = 18, x1 = 350, x2 = 370.
Calcul(s): t2 = ( x2 – m ) / σ ⇔ t2 = + 10 / 18 ⇔ t2 ≈ + 0,56 et Π( t2 ) ≈ Π( 0,56 ) = 0,7123
Calcul(s): t1 = ( x1 – m ) / σ ⇔ t1 = – 10 / 18 ⇔ t1 ≈ – 0,56 et Π( t1 ) ≈ 1 – Π( 0,56 )
La probabilité p demandée est donc :
p ≈ Π( 0,56 ) – ( 1 – Π( 0,56 )) = 2 × Π( 0,56 ) – 1
soit p ≈ 0,42
Méthode n°2: Avec les calculatrices (CASIO ou TI), on obtient :
CASIO GRAPH 35+
TI-82 STATS
MENU STAT + touche EXE
Touche 2nd VARS
Touche F5 (sous menu DIST) : Distribution
Touche F1 (sous menu NORM) : Loi normale
Touche F2 (sous menu Ncd) : Calcul cumulé
Choix de la seconde fonction : normalcdf(
+ touche EXE
Entrée des données + touche EXE
Entrée des données + touche EXE
Résultat : P ( 350  X  370 ) ≈ 0,42
Résultat : P ( 350  X  370 ) ≈ 0,42
2. En appliquant la même méthode (formulaire ou calculatrice) pour Y, on obtient :
P ( 90  Y  110 ) = P ( – 2  T  2 ) = Π( 2 ) – Π( – 2 )
= Π( 2 ) – ( 1 – Π( 2 ) )
= 2 × Π( 2 ) – 1.
Π( 2 ) = 0,9772 (cf. formulaire)
La probabilité demandée est donc :
P ( 90  Y  110 ) ≈ 0,95
3. Soit A l'événement « la botte est conforme aux normes d'isolation pour son épaisseur. »
Soit B l'évènement « La botte est conforme aux normes d'isolation pour sa densité. »
On cherche P ( A ∩ B ). Comme A et B sont indépendants (variable X et Y indépendantes) on a :
P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B ) = 0,42 × 0,95 soit :
P ( A ∩ B ) ≈ 0,40
Remarque(s): cette valeur de p = 0,40 est celle donnée dans la Partie B. de l'exercice.
M. Basnary S.
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Partie B. Loi binomiale
On considère un stock important de bottes de paille, dont une partie est destinée à un usage
d'isolation. On note E l'évènement : « une botte prélevée au hasard dans le stock est conforme aux
normes d'isolation ». On suppose que P (E) = 0,4.
On prélève au hasard 5 bottes de paille dans le stock pour vérification de la conformité aux
normes d'isolation. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce
prélèvement à un tirage avec remise de 5 bottes.
On considère la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement de 5 bottes ainsi défini, associe le
nombre de bottes de paille conformes aux normes d'isolation.
1. Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, toutes les bottes de paille soient conformes
aux normes d'isolation.
3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au moins quatre bottes de paille soient
conformes aux normes d'isolation.
M. Basnary S.
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CORRECTION
1. Z est une variable aléatoire qui représente le nombre k de bottes de paille conformes aux normes
d'isolation dans un lot de n = 5 bottes de paille (k prend les valeurs entières entre 0 et 5.).
A chaque tirage ou épreuve, il y a deux issues possible :
➢
➢
une issue appelée succès, ici, « la botte est conforme » de probabilité p = 0,4.
une issue appelée échec, ici, « la botte est non conforme » de probabilité q = 1 – p = 0,6.
Comme ce prélèvement des n = 5 bottes s'effectue sous l'hypothèse d'un tirage avec remise,
chaque tirage ou épreuve, appelée épreuve de Bernouilli, se répète de manière identique un
certains nombre de fois, ici, n = 5 fois.
De plus chacun des résultats des tirages sont indépendants les uns des autres.
Ceci est la définition mathématique d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de
paramètres n = 5 et p = 0,4, donc :
Z suit la loi binomiale B ( n = 5, p = 0,4 )
2. On rappelle que Z représente le nombre k de bottes de paille conformes aux normes d'isolation
dans un lot de n = 5 bottes de paille (k prend les valeurs entières entre 0 et 5.).
On cherche ici P ( Z = 5 ) : Probabilité d'obtenir toutes les bottes conformes.
Méthode n°1: Avec le formulaire :
P  X =k =C kn× pk ×q n−k  avec C kn =
n!
k ! ×n−k !
Donnée(s): n = 5, p = 0,4 et Z = k = 5.
Rappel(s): Les applications factorielle ! et combinaison s'obtiennent à la calculatrice de la
manière suivante :
Fonction
CASIO GRAPH 35+
TI-82 STATS
Factorielle !
MENU / RUN / OPTN / PROB / x!
MATH / PRB / !
Combinaison
MENU / RUN / OPTN / PROB / nCr
MATH / PRB / nCr
P ( Z = 5 ) ≈ 0,01
P ( Z = 5 ) ≈ 0,01
Calcul de
P(Z=k)
Résultat
Remarque(s): La probabilité est relativement faible pour que les 5 bottes de paille choisies (c'est
à dire toutes les bottes) soient conformes aux normes d'isolation.
M. Basnary S.
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Méthode n°2: Avec uniquement les calculatrices (CASIO ou TI), on obtient :
CASIO GRAPH 35+
TI-82 STATS
MENU STAT + touche EXE
Touche 2nd VARS
Touche F5 (sous menu DIST) : Distribution
Touche F5 (sous menu Binm) : Loi binomiale
Touche F1 (sous menu Bpd) : Calcul ponctuel
Choix de la fonction : binompdf(
+ touche EXE
Entrée des données x = k, n et p + touche EXE
Entrée des données n, p et k + touche EXE
Résultat : P ( Z = 5 ) ≈ 0,01
Résultat : P ( Z = 5 ) ≈ 0,01
3. On rappelle que Z représente le nombre k de bottes de paille conformes aux normes d'isolation
dans un lot de n = 5 bottes de paille (k prend les valeurs entières entre 0 et 5.).
On cherche ici P ( Z  4 ) : Probabilité d'obtenir au moins quatre bottes conformes.
Méthode n°1:
P(Z4)=P(Z=4)+P(Z=5)
On calcule P ( Z = 4 ) de la même manière que le calcul de P ( Z = 5 ) effectué dans la question
précédente et on additionne les résultats.
CASIO GRAPH 35+
TI-82 STATS
P ( Z  4 ) ≈ 0,09
P ( Z  4 ) ≈ 0,09
Calcul de
P(Z=5)
Calcul de
P(Z=4)
Résultat
Méthode n°2: P ( Z  4 ) = 1 – P ( Z < 4 ) soit
P(Z4)=1–P(0Z3)
On calcule la probabilité cumulée (CASIO : Touche Bcd et TI : fonction binomcdf) que Z soit
compris entre k = 0 et k = 3 puis on soustrait la probabilité à 1.
CASIO GRAPH 35+
TI-82 STATS
P ( Z  4 ) ≈ 0,09
P ( Z  4 ) ≈ 0,09
Calcul de
P(0Z3)
Résultat
Remarque(s): Les calculatrices ne peuvent pas calculer directement la probabilité cumulée
suivante P ( 4  Z  5 ) qui est la probabilité demandée.
M. Basnary S.
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Partie C. Intervalle de confiance
Dans cette partie, on considère les bottes de paille produites le 22 juillet 2011. On prélève au
hasard un échantillon de 50 bottes de paille dans cette production. La production est assez
importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On constate que 37 bottes de paille de cet échantillon sont conformes aux normes d'isolation.
1. Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des bottes de paille de cette
production qui sont conformes aux normes d'isolation.
2. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 bottes ainsi prélevée dans cette
production, associe le fréquence des bottes de cet échantillon qui sont conformes aux normes
d'isolation.
On suppose que F suit une loi normale de moyenne p et d'écart-type

p 1− p
.
50
a) Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence p au niveau de confiance de 95%.
b) On considère l'affirmation suivante : « la fréquence p est obligatoirement dans l'intervalle de
confiance obtenu à la question 2.a) ».
Cette affirmation est-elle vraie ? (Donner la réponse sans explication).
M. Basnary S.
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CORRECTION
1. Une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des bottes de paille de la production qui
sont conformes aux normes d'isolation est p = 37 / 50 soit :
p = 0,74
2. On rappelle que F suit une loi normale de moyenne m = p et d'écart-type σ =

p 1− p
.
50
a) Méthode n°1: Avec le formulaire et en
,σ ≠ 1 Loi N ( m ; σ)
utilisant la transformation de la loi
normale N ( m ; σ ) vers la loi normale
½α
½α
P(f1 < F ≤ f2 )
centrée réduite N ( 0 ; 1 ) (voir figure ciF
contre), on cherche l'intervalle de
– ∞ ,m – h ,m ≠ 0 ,m + h + ∞
confiance [ f1 = m – h ; f2 = m + h ],
F–m
,σ = 1 Loi N ( 0 ; 1)
centré autour de la moyenne m, au seuil F = σ × T + m
T=
,σ
de confiance de 95% donc au seuil de
½
α
½
α
risque α = 0,05.
P(–t < T ≤ t )
Données: m = 0,74, σ ≈ 0,062, α = 0,05.
–∞
t2 = ( f2 – m ) / σ
⇔
t2 = t = + h / σ
et
t1 = ( f1 – m ) / σ
⇔
t1 = – t = – h / σ et
–t
,m = 0 ,t = h / σ
T
+∞
Π( t ) = 1 – ½ α.
Π( – t ) = 1 – Π( t ).
Inconnue(s): h ou t
Calcul(s):
P ( f1  F  f2 ) = 1 – α
⇔
P ( t1  T  t2 ) = 1 – α
⇔
Π( t2 ) – Π( t1 ) = 1 – α
⇔
Π( t ) – Π( – t ) = 1 – α
⇔
Π( t ) – ( 1 – Π( t ) ) = 1 – α
⇔
2 × Π( t ) – 1 = 1 – α
⇔
Π( t ) = 1 – ½ α.
Remarque(s): Cette dernière formule avait déjà été obtenue à partie de la ligne données.
Application(s) numérique(s):
⇔
Π( t ) = 0,975
⇔
t = 1,96 (par lecture inverse de la table).
⇔
h / σ = 1,96.
⇔
h = 1,96 σ
⇔
h ≈ 0,12
Un intervalle de confiance de la fréquence p au niveau de confiance de 95% est donc :
[ f1 = m – h ; f2 = m + h ] soit [ 0,62 ; 0,86 ]
M. Basnary S.
Maths – Sujet d'examen – 2012_Gr_B
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Méthode n°2: Avec uniquement les calculatrices (CASIO ou TI), on obtient :
Données: m = 0,74, σ ≈ 0,062, α = 0,05 (c'est le seuil de risque) et 1 – α = 0,95 (c'est le seuil
de confiance)
CASIO GRAPH 85
CASIO GRAPH 35+
TI-82 STATS
Touche 2nd VARS
MENU STAT
+
touche EXE
Touche F5 (sous menu DIST) : Distribution
Touche F1 (sous menu NORM) : Loi normale
Touche F3 (sous menu InvN) : Lecture inverse
Choix de la troisième
fonction : invNorm(
+ touche EXE
On peut calculer [ f1 ; f2 ] avec
P ( f1  F  f2 ) = 1 – α
On peut1 calculer f2 avec
P ( F  f2 ) = 1 – ½ α
On peut2 calculer f2 avec
P ( F  f2 ) = 1 – ½ α
Entrée des données
+ touche EXE
Entrée des données
+ touche EXE
Entrée des données Π( t ), m
et σ + touche EXE
f2 ≈ 0,86 et h = f2 – m = 0,12
f2 ≈ 0,86 et
h = f2 – m = 0,12
Résultat :
[ f1 ; f2 ] = [ 0,62 ; 0,86 ]
Résultat :
[ f1 ; f2 ] = [ 0,62 ; 0,86 ]
Résultat :
[ f1 ; f2 ] = [ 0,62 ; 0,86 ]
b) L'affirmation suivante : « la fréquence p est obligatoirement dans l'intervalle de confiance
obtenu à la question 2.a) » est une affirmation :
Fausse
Explication : C'est le caractère obligatoire de l'affirmation qui rend cette affirmation fausse.
En effet, à chaque échantillon de n = 50 bottes de pailles, il n'y a que 95% de chance (c'est le
seuil de confiance) de trouver une fréquence p de bottes de pailles conformes aux normes
d'isolation appartenant à l'intervalle [ 0,62 ; 0,86 ].
Un échantillon quelconque peut donc donner une fréquence p de bottes de pailles conformes
aux normes d'isolation qui se trouve à l'extérieur (soit à gauche, soit à droite) de l'intervalle
[ 0,62 ; 0,86 ]. La probabilité est même α = 0,05 (c'est le seuil de risque).
1 On peut calculer f1 avec P ( F  f1 ) = – ½ α. Il suffit de refaire le calcul avec
2 On peut calculer f1 avec P ( F  f1 ) = – ½ α. Il suffit de refaire le calcul avec
M. Basnary S.
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