Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer–Nunziato en

Une méthode de relaxation pour le modèle de
Baer–Nunziato en configuration isentropique
Khaled Saleh
Laboratoire Jacques-Louis Lions UPMC,
EDF R&D Département MFEE,
Afternoon in the honour of Constantine Dafermos,
Paris, december 7th, 2011.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 1/73
Introduction
Travail réalisé en collaboration avec
Frédéric Coquel, Jean-Marc Hérard & Nicolas Seguin.
Objectifs de la thèse:
Dans le cadre de l’étude des écoulements diphasiques pour les coeurs de réacteurs
nucléaires,
⊲ Etude et hiérarchisation de différents modèles (homogènes, bifluides...),
⊲ Développement de schémas numériques adaptés (changement de régime dominant,
phase évanescente, problèmes de résonance, termes sources de relaxation...)
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 2/73
Plan de l’exposé
⊲ Un modèle "jouet": les équations d’Euler en section variable,
⊲ Le modèle de Baer & Nunziato et ses propriétés,
⊲ Une approximation par relaxation pour le modèle de Baer &
Nunziato,
⊲ Le problème de Riemann pour le système de relaxation,
⊲ Conclusion et perspectives.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 3/73
Un modèle "jouet"
Équations d’Euler en section variable:
α( x )
x
∂t ( αρ) + ∂ x ( αρw) = 0,
∂t ( αρw) + ∂ x ( αρw2 + αp( ρ)) − p( ρ) ∂ x α = 0,
ρ densité,
w vitesse,
ρ 7→ p( ρ) loi de pression barotope.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 4/73
Modèle de Baer & Nunziato
αl ( x, t)
liquide
gaz
α g = 1 − αl
x
∂ t α l + vi · ∂ x α l = Θ p ( p l − p g )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pi ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pi ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 5/73
Modèle de Baer & Nunziato
αl ( x, t)
liquide
gaz
α g = 1 − αl
x
∂ t α l + vi · ∂ x α l = Θ p ( p l − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pi ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pi ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 6/73
Modèle de Baer & Nunziato
αl ( x, t)
liquide
gaz
α g = 1 − αl
x
∂ t α l + vi · ∂ x α l = Θ p ( p l − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pi ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pi ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 7/73
Modèle de Baer & Nunziato
αl ( x, t)
liquide
gaz
α g = 1 − αl
x
∂ t α l + vi · ∂ x α l = Θ p ( p l − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pi ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pi ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 8/73
Modèle de Baer & Nunziato
αl ( x, t)
liquide
gaz
α g = 1 − αl
x
∂ t α l + vi · ∂ x α l = Θ p ( p l − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pi ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pi ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 9/73
Modèle de Baer & Nunziato
αl ( x, t)
liquide
gaz
α g = 1 − αl
x
∂ t α l + vi · ∂ x α l = Θ p ( p l − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pi ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pi ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Θ p > 0 et Θu > 0 coefficients de relaxation en vitesse et pression relatives ul − u g et pl − p g .
( vi , pi ) vitesse et pression d’interface,
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 10/73
Modèle de Baer & Nunziato
Phase 2
Phase 1
∂ t α l + vi · ∂ x α l = Θ p ( p l − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pi ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pi ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Θ p > 0 et Θu > 0 coefficients de relaxation en vitesse et pression relatives ul − u g et pl − p g .
( vi , pi ) vitesse et pression d’interface,
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 11/73
Modèle de Baer & Nunziato
Phase 2
Phase 1
∂ t α l + vi · ∂ x α l = Θ p ( p l − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pi ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pi ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Θ p > 0 et Θu > 0 coefficients de relaxation en vitesse et pression relatives ul − u g et pl − p g .
( vi , pi ) vitesse et pression d’interface,
( vi , pi ) = ( u g , p l ).
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 12/73
Modèle de Baer & Nunziato: Principales propriétés
∂t αl + u g · ∂ x αl = Θ p ( pl − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
(S )
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pl ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pl ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 13/73
Modèle de Baer & Nunziato: Principales propriétés
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0Θ p ( pl − p)
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
(H )
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pl ∂ x αl = 0Θu ( u g − u )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pl ∂ x α g = 0Θu ( ul − u )
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 14/73
Modèle de Baer & Nunziato: Principales propriétés
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0Θ p ( pl − p)
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
(H )
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pl ∂ x αl = 0Θu ( u g − u )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pl ∂ x α g = 0Θu ( ul − u )
Proposition. (Hyperbolicité) Le système (H ) admet les valeurs propres suivantes
ug
ul − cl :
avec cl =
q
V NL,
∂ρ pl ( ρl ) et c g =
ug − cg :
q
LD,
V NL,
ug + cg :
V NL,
ul + cl :
V NL
∂ρ p g ( ρ g ) .
Le système est hyperbolique si, et seulement si, | ul − u g | 6= cl .
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 15/73
Modèle de Baer & Nunziato: Principales propriétés
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0Θ p ( pl − p)
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
(H )
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pl ∂ x αl = 0Θu ( u g − u )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pl ∂ x α g = 0Θu ( ul − u )
Proposition. (Entropie) Les solutions régulières de (H ) satisfont l’équation de conservation
∂t ( αl ρl El + α g ρ g Eg ) + ∂ x ( αl ρl El ul + α g ρ g Eg u g + αl pl ul + α g p g u g ) = 0.
avec El =
u2l
2
+ el et Eg =
u2g
2
+ eg .
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 16/73
Modèle de Baer & Nunziato: Principales propriétés
∂t αl + u g · ∂ x αl = Θ p ( pl − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
(S )
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pl ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pl ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Proposition. (Entropie) Les solutions régulières de (H ) satisfont l’équation de conservation
∂t ( αl ρl El + α g ρ g Eg ) + ∂ x ( αl ρl El ul + α g ρ g Eg u g + αl pl ul + α g p g u g ) = 0.
avec El =
u2l
2
+ el et Eg =
u2g
2
+ eg .
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 17/73
Modèle de Baer & Nunziato: Principales propriétés
∂t αl + u g · ∂ x αl = Θ p ( pl − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
(S )
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pl ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pl ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Proposition. (Entropie) Les solutions régulières de (H ) satisfont l’équation de conservation
∂t ( αl ρl El + α g ρ g Eg ) + ∂ x ( αl ρl El ul + α g ρ g Eg u g + αl pl ul + α g p g u g ) = 0.
avec El =
u2l
2
+ el et Eg =
u2g
2
+ eg .
Les solutions régulières de (S ) satisfont l”equation
∂t ( αl ρl El + α g ρ g Eg ) + ∂ x ( αl ρl El ul + α g ρ g Eg u g + αl pl ul + α g p g u g ) = − Θ p ( pl − p g )2 − Θu ( ul − u g )2 .
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 18/73
Modèle de Baer & Nunziato: Principales propriétés
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0Θ p ( pl − p)
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
(H )
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pl ∂ x αl = 0Θu ( u g − u )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pl ∂ x α g = 0Θu ( ul − u )
Proposition. (Entropie) Les solutions faibles entropiques de (H ) satisfont l’inégalité
d’entropie
∂t ( αl ρl El + α g ρ g Eg ) + ∂ x ( αl ρl El ul + α g ρ g Eg u g + αl pl ul + α g p g u g ) 6 0.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 19/73
Modèle de Baer & Nunziato: Principales propriétés
∂t αl + u g · ∂ x αl = Θ p ( pl − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
(S )
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pl ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pl ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Proposition. (Entropie) Les solutions faibles entropiques de (H ) satisfont l’inégalité
d’entropie
∂t ( αl ρl El + α g ρ g Eg ) + ∂ x ( αl ρl El ul + α g ρ g Eg u g + αl pl ul + α g p g u g ) 6 0.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 20/73
Modèle de Baer & Nunziato: Principales propriétés
∂t αl + u g · ∂ x αl = Θ p ( pl − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
(S )
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pl ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pl ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Proposition. (Entropie) Les solutions faibles entropiques de (H ) satisfont l’inégalité
d’entropie
∂t ( αl ρl El + α g ρ g Eg ) + ∂ x ( αl ρl El ul + α g ρ g Eg u g + αl pl ul + α g p g u g ) 6 0.
Les solutions faibles entropiques de (S ) satisfont l’inégalité
∂t ( αl ρl El + α g ρ g Eg ) + ∂ x ( αl ρl El ul + α g ρ g Eg u g + αl pl ul + α g p g u g ) 6 − Θ p ( pl − p g )2 − Θu ( ul − u g )2 .
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 21/73
Modèle de Baer & Nunziato: Principales propriétés
∂t αl + u g · ∂ x αl = Θ p ( pl − p g )
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
(S )
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pl ∂ x αl = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pl ∂ x α g = Θu ( ul − u g )
Proposition. (Entropie) Les solutions faibles entropiques de (H ) satisfont l’inégalité
d’entropie
∂t ( αl ρl El + α g ρ g Eg ) + ∂ x ( αl ρl El ul + α g ρ g Eg u g + αl pl ul + α g p g u g ) 6 0.
Les solutions faibles entropiques de (S ) satisfont l’inégalité
∂t ( αl ρl El + α g ρ g Eg ) + ∂ x ( αl ρl El ul + α g ρ g Eg u g + αl pl ul + α g p g u g ) 6 − Θ p ( pl − p g )2 − Θu ( ul − u g )2 .
Relaxation ≈ Dissipation ≈ Stabilisation
Yong, Chen-Livermore-Liu, Liu, Natalini, Hanouzet-Natalini, Whitham...
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 22/73
Modèle de Baer & Nunziato: Stratégie numérique
Splitting d’opérateur
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl pl ) − pl ∂ x αl = 0
(H )
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g p g ) − pl ∂ x α g = 0
∂t αl = Θ p ( pl − p g )
∂t ( αl ρl ) = 0
∂t ( αl ρl ul ) = Θu ( u g − ul )
∂t ( α g ρ g ) = 0
∂t ( α g ρ g u g ) = Θu ( ul − u g )
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 23/73
Le problème de Riemann pour (H )

∂t U + ∂ x f(U ) + c(U ) ∂ x U = 0, x ∈ R, t > 0,




(

U L si x < 0,


 U ( x, t = 0) =
U R si x > 0.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 24/73
Le problème de Riemann pour (H )

∂t U + ∂ x f(U ) + c(U ) ∂ x U = 0, x ∈ R, t > 0,




(

U L si x < 0,


 U ( x, t = 0) =
U R si x > 0.
Déséquilibres en pression-vitesse
t
pl = p g , ul = u g
pl = p g , ul = u g
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 25/73
Le problème de Riemann pour (H )

∂t U + ∂ x f(U ) + c(U ) ∂ x U = 0, x ∈ R, t > 0,




(

U L si x < 0,


 U ( x, t = 0) =
U R si x > 0.
Déséquilibres en pression-vitesse
t
pl 6= p g ,
pl = p g , ul = u g
ul 6= u g
pl = p g , ul = u g
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 26/73
Le problème de Riemann pour (H )

∂t U + ∂ x f(U ) + c(U ) ∂ x U = 0, x ∈ R, t > 0,




(

U L si x < 0,


 U ( x, t = 0) =
U R si x > 0.
Déséquilibres en pression-vitesse
t
pl 6= p g ,
pl = p g , ul = u g
ul 6= u g
pl = p g , ul = u g
x
Les difficultés de la résolution (aucune résolution complète)
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 27/73
Le problème de Riemann pour (H )

∂t U + ∂ x f(U ) + c(U ) ∂ x U = 0, x ∈ R, t > 0,




(

U L si x < 0,


 U ( x, t = 0) =
U R si x > 0.
Déséquilibres en pression-vitesse
t
pl 6= p g ,
pl = p g , ul = u g
ul 6= u g
pl = p g , ul = u g
x
Les difficultés de la résolution (aucune résolution complète)
⊲ Ordonnancement et croisement des ondes, résonance,
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 28/73
Le problème de Riemann pour (H )

∂t U + ∂ x f(U ) + c(U ) ∂ x U = 0, x ∈ R, t > 0,




(

U L si x < 0,


 U ( x, t = 0) =
U R si x > 0.
Déséquilibres en pression-vitesse
t
pl 6= p g ,
ul 6= u g
pl = p g , ul = u g
pl = p g , ul = u g
x
Les difficultés de la résolution (aucune résolution complète)
⊲ Ordonnancement et croisement des ondes, résonance,
t
ug − cg
ul − cl
ug
ug + cg
ul + cl
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 29/73
Le problème de Riemann pour (H )

∂t U + ∂ x f(U ) + c(U ) ∂ x U = 0, x ∈ R, t > 0,




(

U L si x < 0,


 U ( x, t = 0) =
U R si x > 0.
Déséquilibres en pression-vitesse
t
pl 6= p g ,
ul 6= u g
pl = p g , ul = u g
pl = p g , ul = u g
x
Les difficultés de la résolution (aucune résolution complète)
⊲ Ordonnancement et croisement des ondes, résonance,
ul − cl
ug − cg
t
ug
ug + cg
ul + cl
ul − cl
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 30/73
Le problème de Riemann pour (H )

∂t U + ∂ x f(U ) + c(U ) ∂ x U = 0, x ∈ R, t > 0,




(

U L si x < 0,


 U ( x, t = 0) =
U R si x > 0.
Déséquilibres en pression-vitesse
t
pl 6= p g ,
ul 6= u g
pl = p g , ul = u g
pl = p g , ul = u g
x
Les difficultés de la résolution (aucune résolution complète)
⊲ Ordonnancement et croisement des ondes, résonance,
ug
ug − cg
ul − cl
t
ug + cg
ul + cl
ul − cl
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 31/73
Le problème de Riemann pour (H )

∂t U + ∂ x f(U ) + c(U ) ∂ x U = 0, x ∈ R, t > 0,




(

U L si x < 0,


 U ( x, t = 0) =
U R si x > 0.
Déséquilibres en pression-vitesse
t
pl 6= p g ,
ul 6= u g
pl = p g , ul = u g
pl = p g , ul = u g
x
Les difficultés de la résolution (aucune résolution complète)
⊲ Ordonnancement et croisement des ondes, résonance,
⊲ Non linéarités dues aux lois de pression,
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 32/73
Le problème de Riemann pour (H )

∂t U + ∂ x f(U ) + c(U ) ∂ x U = 0, x ∈ R, t > 0,




(

U L si x < 0,


 U ( x, t = 0) =
U R si x > 0.
Déséquilibres en pression-vitesse
t
pl 6= p g ,
ul 6= u g
pl = p g , ul = u g
pl = p g , ul = u g
x
Les difficultés de la résolution (aucune résolution complète)
⊲ Ordonnancement et croisement des ondes, résonance,
⊲ Non linéarités dues aux lois de pression,
⊲ Traitement des termes non conservatifs pl ∂ x αl ,
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 33/73
Approximation par relaxation
On introduit un système plus grand mais "plus linéaire" qui relaxe vers (H ) dans la limite
ε → 0: Pour k ∈ { l, g}:
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 34/73
Approximation par relaxation
On introduit un système plus grand mais "plus linéaire" qui relaxe vers (H ) dans la limite
ε → 0: Pour k ∈ { l, g}:
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0,
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
(R )
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ( τl , Tl )∂ x αk = 0,
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) =
1
α ρ ( τ − Tk ),
ε k k k
avec πk ( τk , Tk ) = pk (Tk ) + ak 2 (Tk − τk ), où τk = ρk−1 .
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 35/73
Approximation par relaxation
On introduit un système plus grand mais "plus linéaire" qui relaxe vers (H ) dans la limite
ε → 0: Pour k ∈ { l, g}:
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0,
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
(R )
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ( τl , Tl )∂ x αk = 0,
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) =
1
α ρ ( τ − Tk ),
ε k k k
avec πk ( τk , Tk ) = pk (Tk ) + ak 2 (Tk − τk ), où τk = ρk−1 .
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 36/73
Approximation par relaxation
On introduit un système plus grand mais "plus linéaire" qui relaxe vers (H ) dans la limite
ε → 0: Pour k ∈ { l, g}:
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0,
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
(R )
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ( τl , Tl )∂ x αk = 0,
1
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0, αk ρk ( τk − T )
ε
avec πk ( τk , Tk ) = pk (Tk ) + ak 2 (Tk − τk ), où τk = ρk−1 .
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 37/73
Approximation par relaxation
On introduit un système plus grand mais "plus linéaire" qui relaxe vers (H ) dans la limite
ε → 0: Pour k ∈ { l, g}:
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0,
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
(R )
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ( τl , Tl )∂ x αk = 0,
1
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0, αk ρk ( τk − T ),
ε
avec πk ( τk , Tk ) = pk (Tk ) + ak 2 (Tk − τk ), où τk = ρk−1 .
Avantages de (R ):
⊲ Le système de relaxation est à champs linéairement dégénérés. Toutes les ondes
sont des dicontinuités de contact,
⊲ Il existe une entropie pour le système (R ):
∂t αl ρl El + α g ρ g E g + ∂ x αl ρl El ul + αl πl ul + α g ρ g E g u g + α g π g u g = 0,
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 38/73
Approximation par relaxation
On introduit un système plus grand mais "plus linéaire" qui relaxe vers (H ) dans la limite
ε → 0: Pour k ∈ { l, g}:
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0,
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
(R )
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ( τl , Tl )∂ x αk = 0,
1
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0, αk ρk ( τk − T ),
ε
avec πk ( τk , Tk ) = pk (Tk ) + ak 2 (Tk − τk ), où τk = ρk−1 .
Difficultés liées à (R ):
⊲ Les valeurs propres uk − ak τk , uk et uk + ak τk ne sont pas naturellement ordonnées.
⊲ Phénomène de résonance possible.
⊲ Les équations des deux phases sont couplées par les termes non conservatifs
πl ∂ x αk .
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 39/73
Problème de Riemann pour (R )
On cherche une solution de
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0,
(R )
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ( τl , Tl ) ∂ x αk = 0,
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0.
pour la donnée initiale W ( x, t = 0) =
(
W L si x < 0,
W R si x > 0.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 40/73
Problème de Riemann pour (R )
On cherche une solution de
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0,
(R )
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ( τl , Tl ) ∂ x αk = 0,
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0.
pour la donnée initiale W ( x, t = 0) =
(
W L si x < 0,
W R si x > 0.
On cherche les solutions subsoniques en vitesse relative: | ul − u g | < min( a g τg , al τl ).
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 41/73
Problème de Riemann pour (R )
On cherche une solution de
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0,
(R )
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ( τl , Tl ) ∂ x αk = 0,
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0.
pour la donnée initiale W ( x, t = 0) =
(
W L si x < 0,
W R si x > 0.
On cherche les solutions subsoniques en vitesse relative: | ul − u g | < min( a g τg , al τl ).
t
ul
ug
u g + a g τg
u g − a g τg
ul + al τl
ul − al τl
Profil d’onde ul < u g
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 42/73
Problème de Riemann pour (R )
On cherche une solution de
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0,
(R )
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ( τl , Tl ) ∂ x αk = 0,
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0.
pour la donnée initiale W ( x, t = 0) =
(
W L si x < 0,
W R si x > 0.
On cherche les solutions subsoniques en vitesse relative: | ul − u g | < min( a g τg , al τl ).
ug
t
ul
u g + a g τg
u g − a g τg
ul + al τl
ul − al τl
Profil d’onde u g < ul
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 43/73
Problème de Riemann pour (R )
Théorème. Si les données initiales (W L , W R ) ∈ Ωr × Ωr sont telles que

max 0, M♯L −
avec
♯
a g τg,R
al τ ♯
l,L


 < M♯ − al Λ( α )P ♯ < min 1 − al | Λ( α )|, M♯ +
L
L
L
ag
ag
♯
a g τg,L
al τ ♯
l,L


Des nombres réduits qui ne dépendent pas de α:
⊲ M♯L un nombre de Mach relatif qui mesure l’écart ul − u g dans la donnée initiale,
⊲ P L♯ un nombre réduit qui mesure l’écart πl − π g dans la donnée initiale,
⊲ Les quantités τ ♯ sont homogènes à des volumes spécifiques,
Une quantité qui dépend de α:
Λ(α) =
α g,R − α g,L
α g,R + α g,L
∈
(−1, 1),
alors le système (R ) admet une solution au problème de Riemann de profil d’onde
subsonique u g < ul .
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 44/73
Problème de Riemann pour (R )
Idée de la preuve:
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0,
(R )
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ∂ x αk = 0,
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 45/73
Problème de Riemann pour (R )
Idée de la preuve:
∂t αl + u g · ∂ x αl = 0,
(R )
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ∂ x αk = 0,
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0.
Soit u∗g la vitesse effective de l’onde u g dans le solution du problème de Riemann.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 46/73
Problème de Riemann pour (R )
Idée de la preuve:
∂t αl + u∗g · ∂ x αl = 0,
(R )
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ∂ x αk = 0,
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0.
Soit u∗g la vitesse effective de l’onde u g dans le solution du problème de Riemann.
⊲ On remarque que ∂ x αk = 0 sauf si x − u∗g t = 0 où il vaut ( αk,R − αk,L ) δx−u∗g t .
u∗g
u g − a g τg
t
ul
u g + a g τg
ul + al τl
ul − al τl
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 47/73
Problème de Riemann pour (R )
Idée de la preuve:
∂t αl + u∗g · ∂ x αl = 0,
(R )
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ∂ x αk = 0,
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0.
Soit u∗g la vitesse effective de l’onde u g dans le solution du problème de Riemann.
⊲ On remarque que ∂ x αk = 0 sauf si x − u∗g t = 0 où il vaut ( αk,R − αk,L ) δx−u∗g t .
⊲ Si on suppose que l’on connaît une prédiction de πl : πl∗
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 48/73
Problème de Riemann pour (R )
Idée de la preuve:
∂t αl + u∗g · ∂ x αl = 0,
(R )
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) − πl ∂ x αk = 0,
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0.
Soit u∗g la vitesse effective de l’onde u g dans le solution du problème de Riemann.
⊲ On remarque que ∂ x αk = 0 sauf si x − u∗g t = 0 où il vaut ( αk,R − αk,L ) δx−u∗g t .
⊲ Si on suppose que l’on connaît une prédiction de πl : πl∗
∂t αl + u∗g · ∂ x αl = 0,
∂t ( αk ρk ) + ∂ x ( αk ρk uk ) = 0,
(R )
∂t ( αk ρk uk ) + ∂ x ( αk ρk u2k + αk πk ( τk , Tk )) = πl∗ [ αk ] δx−u∗g t ,
∂t ( αk ρk Tk ) + ∂t ( αk ρk uk Tk ) = 0.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 49/73
Problème de Riemann pour (R )
Idée de la preuve:
Les deux phases sont découplées
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 50/73
Problème de Riemann pour (R )
Idée de la preuve:
Les deux phases sont découplées
Phase gaz
∂t α g + u∗g ∂ x α g = 0,
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0,
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g π g ( τg T g )) = πl∗ [ αl ] δx−u∗g t ,
∂t ( α g ρ g T g ) + ∂ x ( α g ρ g u g T g ) = 0
On connaît πl∗ , on calcule u∗g :
u∗g = Φ( πl∗ ).
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 51/73
Problème de Riemann pour (R )
Idée de la preuve:
Les deux phases sont découplées
Phase gaz
∂t α g + u∗g ∂ x α g = 0,
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0,
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g π g ( τg T g )) = πl∗ [ αl ] δx−u∗g t ,
∂t ( α g ρ g T g ) + ∂ x ( α g ρ g u g T g ) = 0
On connaît πl∗ , on calcule u∗g :
Phase liquide
u∗g = Φ( πl∗ ).
∂t αl + u∗g ∂ x αl = 0,
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0,
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl πl ( τl , Tl )) = πl∗ [ αl ] δx−u∗g t ,
∂t ( αl ρl Tl ) + ∂ x ( αl ρl ul Tl ) = 0
On connaît u∗g , on calcule πl∗ :
πl∗ = Ψ ( u∗g ).
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 52/73
Problème de Riemann pour (R )
Idée de la preuve:
Les deux phases sont découplées
Phase gaz
∂t α g + u∗g ∂ x α g = 0,
∂t ( α g ρ g ) + ∂ x ( α g ρ g u g ) = 0,
∂t ( α g ρ g u g ) + ∂ x ( α g ρ g u2g + α g π g ( τg T g )) = πl∗ [ αl ] δx−u∗g t ,
∂t ( α g ρ g T g ) + ∂ x ( α g ρ g u g T g ) = 0
On connaît πl∗ , on calcule u∗g :
Phase liquide
u∗g = Φ( πl∗ ).
∂t αl + u∗g ∂ x αl = 0,
∂t ( αl ρl ) + ∂ x ( αl ρl ul ) = 0,
∂t ( αl ρl ul ) + ∂ x ( αl ρl u2l + αl πl ( τl , Tl )) = πl∗ [ αl ] δx−u∗g t ,
∂t ( αl ρl Tl ) + ∂ x ( αl ρl ul Tl ) = 0
On connaît u∗g , on calcule πl∗ :
πl∗ = Ψ ( u∗g ).
Point fixe:
u∗g = Φ ◦ Ψ ( u∗g )
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 53/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:

max 0, M♯L −
♯
a g τg,R
al τ ♯
l,L


 < M♯ − al Λ( α )P ♯ < min 1 − al | Λ( α )|, M♯ +
L
L
L
ag
ag
♯
a g τg,L
al τ ♯
l,L


Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 54/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
♯
τ
τ
a
a
a
g g,L
g g,R
♯
♯
♯
l
<
M
−
Λ
(
α
)P
<
M
+
M♯L −
L
L
L
al τ ♯
ag
al τ ♯
l,L
l,L
Condition suffisante pour assurer la positivité des densités de la phase gaz.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 55/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
a
al
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 56/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
al
a
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 57/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
al
a
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
t
ul − al τl
ug
ul
ul + al τl
u g − a g τg
u g + a g τg
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 58/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
al
a
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
t
ul − al τl
ul
ug
ul + al τl
u g − a g τg
u g + a g τg
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 59/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
al
a
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
t
ul − al τl
ug
ul
ul + al τl
u g − a g τg
u g + a g τg
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 60/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
a
al
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 61/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
a
al
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
t
ul − al τl
u g − a g τg
ug
ul
ul + al τl
u g + a g τg
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 62/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
a
al
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
t
ul − al τl
ug
u g − a g τg
ul
ul + al τl
u g + a g τg
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 63/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
a
al
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
t
ul − al τl
u g − a g τg
ug
ul
ul + al τl
u g + a g τg
x
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 64/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
a
al
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 65/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
a
al
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
On considère des données initiales proche équilibre:
| u l − u g | = ε u ( x ),
| πl − π g | = ε π ( x ).
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 66/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
a
al
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
On considère des données initiales proche équilibre:
| u l − u g | = ε u ( x ),
| πl − π g | = ε π ( x ).
Alors
a
♯
l
|M L | = − 1 O(1) + O( ε),
ag
a
g
♯
|P L | = − 1 O(1) + O( ε).
al
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 67/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
a
al
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
On considère des données initiales proche équilibre:
| u l − u g | = ε u ( x ),
| πl − π g | = ε π ( x ).
Alors
a
♯
l
|M L | = − 1 O(1) + O( ε),
ag
a
g
♯
|P L | = − 1 O(1) + O( ε).
al
⊲ Supposons al /a g ≈ 1. Si α g,L → 0 alors Λ( α) → 1. Résonance quand la phase gaz
disparaît,
⊲ Si al /a g >> 1. Résonance possible à cause du terme M♯L ,
⊲ Si al /a g << 1. Résonance possible à cause du terme P L♯ .
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 68/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
a
al
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
On considère des données initiales proche équilibre:
| u l − u g | = ε u ( x ),
| πl − π g | = ε π ( x ).
Conclusion:
En partant de données initiales subsoniques proche équilibre en vitesses et pressions, on
peut avoir une solution supersonique en vitesse relative!
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 69/73
Problème de Riemann pour (R )
Analyse des inégalités obtenues:
♯
0 <M L −
a
al
♯
Λ( α )P L < 1 − l | Λ( α )|
ag
ag
Condition suffisante pour assurer l’ordonnancement subsonique des ondes.
On considère des données initiales proche équilibre:
| u l − u g | = ε u ( x ),
| πl − π g | = ε π ( x ).
Conclusion:
En partant de données initiales subsoniques proche équilibre en vitesses et pressions, on
peut avoir une solution supersonique en vitesse relative!
La prise en compte des termes source de relaxation en pression et vitesse semble
indispensable.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 70/73
Conclusion et perspectives
Conclusion:
⊲ Un système de relaxation pour le modèle de Baer-Nunziato,
⊲ Solution du problème de Riemann relaxé pour les régimes d’écoulement subsonique:
conditions ab initio pour l’ordonnancement des ondes,
⊲ Importance des termes de retour à l’équilibre en vitesses et pressions.
Perspectives:
⊲ Prise en compte de la convection et des termes de retour à l’équilibre dans le même
pas.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 71/73
Bibliographie
Sur Baer-Nunziato:
[1 A. Ambroso & C. Chalons & F. Coquel & T. Galié. Relaxation and numerical approximation of a two-fluid two-pressure diphasic model. M2AN Math. Model. Numer. Anal.
43 no. 6 pages 1063-1097, 2009.
[2 M.R. Baer & J.W. Nunziato. A two phase mixture theory for the deflagration to
detonation transition (ddt) in reactive granular materials. Int. J. Multiphase Flows, Vol
12(6), pages 861-889, 1986.
[3 F. Coquel & K. Saleh & N. Seguin. Une méthode de relaxation pour le modèle de BaerNunziato en configuration isentropique. Rapport EDF H-I81-2010-00435-FR, 2010.
Sur Euler en tuyère:
[4 F. Coquel & K. Saleh & N. Seguin. Relaxation and numerical approximation for fluid
flows in a nozzle. Preprint en préparation.
[5 P.G. LeFloch & M.D. Thanh. The Riemann problem for fluid flows in a nozzle with
discontinuous cross-section. Comm. Math. Sci. Vol1, pages 763-796, 2003.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 72/73
Merci de votre attention.
Une méthode de relaxation pour le modèle de Baer & Nunziato en configuration isentropique – p. 73/73