page 129 / tirages aléatoires de cartes

3.8
TIRAGES ALÉATOIRES DE CARTES
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Q1 p(A) =
1
2
; p(B) = 1
4
; p(C) = 1
52
; p(D)=
1
13
; p(E) =
4
13
1
.
A僕B : la carte tirée est un Carreau et p(A僕B) = p(B) =
4
;
A僕C : événement impossible (La Dame de Pique n’est pas une
carte rouge).
1
A僕D : la carte tirée est un As rouge et p(A僕D) = .
26
2
.
A僕E : la carte tirée est un honneur rouge et p(A僕E) = 13
1
.
A僔B : la carte tirée est rouge et p(A僔B) = p(A) =
2
A僔C : la carte tirée est rouge ou la Dame de Pique et
p(A僔C ) =
7
26
.
A僔D : la carte tirée est une carte rouge ou un As et p(A僔D) =
15
52
.
A僔E : la carte tirée est un honneur ou une carte rouge et
p(A) × p(B) =
p(A) × p(C) =
1
2
1
2
21
52
×
×
.
1
4
1
=
52
=
1
8
et p(A僕B) =
1
104
1
4
PROBABILITÉS DU COLLÈGE AU LYCÉE
p(A僔E) =
;
et p(A僕C) = 0.
On a donc trouvé deux (un suffirait) contre-exemples qui
montrent que l’égalité p(A) × p(B) = p(A僕B) est fausse. On
remarquera que de ce fait, les événements A et B ne sont donc
pas indépendants.
Q2
• Dans chaque couple, le premier terme correspond à la carte
(As, Roi, Dame, etc) et le second terme à la couleur (Pique,
Cœur, Carreau ou Trèfle).
1
3.8
TIRAGES ALÉATOIRES DE CARTES
• Pour tirer au moins un Pique il faut et il suffit que l’un des
deux termes j ou l correspondent à un tirage d’un Pique. Par
convention, Pierre a choisi de représenter les Piques par le
nombre 1.
• S/5000 (et non S/X*) représente la fréquence de l’apparition
de l’événement P. C’est donc une approximation de la probabilité p(P).
*Remarque : à la sortie de la boucle X vaut 5001
Algorithme pour l’événement N (Trèfle est, par convention, représenté
par le nombre 4). Il suffit de remplacer le test par :
Si ( j = 1 ou j = 4) et ( l = 1 ou l = 4) alors S augmente de 1.
Algorithme pour l’événement R (Le Roi est par convention représenté
par le nombre 2). Il suffit de remplacer le test par :
Si (i = 2 et k ≠ 2) ou ( k = 2 et i ≠ 2) alors S augmente de 1.
Programmes : Les programmes (ch3_act8_algo_pierre1.alg ; ch3_act8_
algo_pierre2.alg et ch3_act8_algo_pierre3.alg) sont disponibles sur le
site.
Pierre1 correspond à l'événement P,
Pierre2 à l'événement N et Pierre3 à l'événement R.
Q3
Mettre 0 dans S
LES MATHÉMATIQUES DU BRIDGE
POUR X allant de 1 à 5000
Tirer au hasard un couple (i, j)
Mettre i dans k et j dans l
Tant que (k, l) = (i, j)
Tirer au hasard un couple (k, l)
Fin du tant que
Si (i = 2 et k ≠ 2) ou (k = 2 et i ≠ 2) alors S augmente de 1
Fin du Si
Fin du POUR X
Afficher S/5000
2
3.8
TIRAGES ALÉATOIRES DE CARTES
Pour les deux autres, il suffit de reprendre les tests des algorithmes de
la question précédente.
Programmes : Les programmes (ch3_act8_algo_paul1.alg ; ch3_act8_
algo_paul2.alg et ch3_act8_algo_paul3.alg) sont disponibles sur le site.
Q4
p(N) = 1
2
× p(R)= 2 × 2
1
13
= × 1
4
12
13
; p(P) = 1 – = 24
169
3
4
× 3
4
= 7
16
;
.
25
3
38 15
= ; p(P’) = 1 – × = ;
51 102
4
51 34
48 48
4
32
×
+
×
=
.
p(R’) =
13 51 52 51 221
p(N’) = 1
1
2
1
× 25
PROLONGEMENT
PROBABILITÉS DU COLLÈGE AU LYCÉE
Il peut être intéressant de regarder ce qui change si l’on considère un
jeu de 32 cartes.
3