Modélisation mathématique et numérique de mouvements de foule

Mouvements
de Foule
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Modélisation mathématique et numérique
de mouvements de foule
Présentation
Convergence
Programmation
Juliette Venel
Résultats
numériques
Perspectives
Groupe de Travail “Applications des Mathématiques”
ENS Cachan Rennes, 14 Janvier 2009
Mouvements
de Foule
Introduction
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
• Situations d’évacuation d’urgence
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
• Gestion directe des contacts
Perspectives
• Déterminer les zones de fortes pressions
Mouvements
de Foule
Plan
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
1 Présentation du modèle
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
2 Etude théorique
Réécriture du modèle
Problème bien posé
3 Etude numérique
Présentation du schéma
Résultat de convergence
4 Programmation
5 Résultats numériques
6 Perspectives
Mouvements
de Foule
Plan
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
1 Présentation du modèle
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
2 Etude théorique
Réécriture du modèle
Problème bien posé
3 Etude numérique
Présentation du schéma
Résultat de convergence
4 Programmation
5 Résultats numériques
6 Perspectives
Mouvements
de Foule
J. Venel
Deux principes
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
Vitesse souhaitée
Vitesse réelle
Mouvements
de Foule
Notations
J. Venel
Modèle
eij (q)
Etude
théorique
rj
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
qj
ri
qi
Dij (q)
q = (q1 , q2 , .., qN ) ∈ R2N
eij (q) =
qj − qi
|qj − qi |
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
Ensemble des configurations admissibles
n
o
Q0 = q ∈ R2N , ∀ i < j, Dij (q) = |qi − qj | − ri − rj ≥ 0
Gij (q) = ∇Dij (q) = (0 ... 0, −eij (q) , 0 ... 0, eij (q) , 0 ... 0)
i
j
Mouvements
de Foule
Vitesse souhaitée
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Notation : U(q) = (U1 (q), U2 (q), ..., UN (q))
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Description du comportement piétonnier
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
Prise en compte de la géométrie des lieux
• Ui construit à la main pour donner des directions
privilégiées
• Ui dirigé par le plus court chemin vers la sortie, évitant
les obstacles
Prise en compte de la présence d’autres personnes
• ajout de stratégies
Mouvements
de Foule
Vitesse réelle
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
Pour gérer les contacts, on définit le
Cône des vitesses admissibles
n
Cq = v ∈ R2N , ∀ i < j
Dij (q) = 0
⇒
o
Gij (q) · v ≥ 0 ,
où Gij (q) = ∇Dij (q).
En notant u la vitesse réelle des N personnes, le modèle
s’écrit

Z

 q = q0 + u,

 u = P U.
Cq
Mouvements
de Foule
Plan
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
1 Présentation du modèle
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
2 Etude théorique
Réécriture du modèle
Problème bien posé
3 Etude numérique
Présentation du schéma
Résultat de convergence
4 Programmation
5 Résultats numériques
6 Perspectives
Mouvements
de Foule
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
On introduit Nq le cône polaire de Cq :
Définition
Cône Nq
Nq = Cq◦ = {w , (w, v) ≤ 0 ∀ v ∈ Cq } .
Nq̄
Résultats
numériques
D13 < 0
q̄
Perspectives
D34 < 0
D12 < 0
Cq̄
Nq
q
Cq
Mouvements
de Foule
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Inclusion différentielle
Nq est appelé cône normal sortant et s’écrit comme suit :
Caractérisation
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
n X
o
Nq = −
λij Gij (q) , λij ≥ 0 , Dij (q) > 0 =⇒ λij = 0 .
En utilisant la propriété suivante (J.-J. Moreau 62)
P Cq + PNq = Id,
Perspectives
le problème prend la forme d’une inclusion différentielle du
premier ordre.
Modèle

 d q + N ∋ U(q),
q
dt

q(0) = q0 .
Mouvements
de Foule
J. Venel
Cas d’un mouvement rectiligne
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Q0 = {q ∈ RN , qi+1 − qi ≥ ri+1 + ri } est un convexe fermé.
Comme pour tout q,
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
Nq = ∂IQ0 (q),
on en déduit que N est un opérateur maximal monotone.
Théorème
Soit U lipschitzienne, alors pour tout T > 0, pour tout q0 ∈
Q0 , il existe une unique fonction q ∈ W 1,1 [0, T ], RN solution de

 d q + N ∋ U (q) ,
q
dt

q (0) = q0 .
(voir par exemple H. Brezis 73)
Mouvements
de Foule
Généralisation ?
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
⋄ défaut de convexité de Q0
Présentation
q̃2
Convergence
q̄2
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
q1
q2
configuration q
q̃1
configuration e
q
⋄ absence de monotonie de N
q̄1
configuration q̄ =
q+e
q
2
Mouvements
de Foule
J. Venel
Notion de prox-régularité
Modèle
Etude
théorique
η
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Ensemble prox-régulier
Perspectives
Soit S un ensemble fermé,
S est η-prox-régulier si pour tout point q̃ à distance d < η de
S, la projection de q̃ sur S est bien définie.
H. Federer 59, A. Canino 88
F. Clarke, R. Stern, P. Wolenski 95
R. Poliquin, R. Rockafellar, L. Thibault 00
Mouvements
de Foule
Prox-régularité de Q0
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Proposition
Q0 est η-prox-régulier avec η = η(N, ri ).
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
Idée de la preuve :
Cas d’une seule contrainte :
Qij = {q ∈ R2N , Dij (q) = |qj − qi | − (rj + ri ) ≥ 0} est
ri + rj
ηij -prox-régulier avec ηij = √ .
2
T
Généralisation à plusieurs contraintes : Q0 = Qij .
i<j
n1
n2
Mouvements
de Foule
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
Problème bien posé
Théorème
On suppose U lipschitzienne et bornée.
Alors quel que soit q0 dans Q0 , il existe une unique fonction
q absolument continue vérifiant

 d q + N ∋ U(q) p.p. sur [0, T ],
q
dt

q(0) = q0 .
Application des résultats de J.-F. Edmond et L. Thibault sur
les processus de rafle par des ensembles uniformément
prox-réguliers (2006).
On vérifie que pour tout q, Nq = N(Q0 , q), où
n
o
N(Q0 , q) = v ∈ R2N , ∃α > 0 , q ∈ PQ0 (q + αv)
est appelé cône proximal normal de Q0 au point q.
(F. Clarke, R. Stern, P. Wolenski 95)
Mouvements
de Foule
Plan
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
1 Présentation du modèle
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
2 Etude théorique
Réécriture du modèle
Problème bien posé
3 Etude numérique
Présentation du schéma
Résultat de convergence
4 Programmation
5 Résultats numériques
6 Perspectives
Mouvements
de Foule
Schéma numérique
J. Venel
0
Modèle
Etude
théorique
Initialisation :
q = q0
Boucle en temps : qn connu
un = PCh (qn ) (U(qn ))
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
n
qn+1 = qn + h un
o
où Ch (qn ) = v ∈ R2N , ∀ i < j, Dij (qn ) + h Gij (qn ) · v ≥ 0 .
Adaptation d’un schéma développé pour les écoulements
granulaires (B. Maury).
Si l’on interprète cet algorithme en termes de position, on a
qn+1 = PK (qn ) (qn + h U(qn ))
n
o
où K (qn ) = q ∈ R2N , ∀ i < j, Dij (qn ) + Gij (qn ) · (q − qn ) ≥ 0 .
Mouvements
de Foule
Projections théorique et numérique
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
qn + h U(qn )
qn + h U(qn )
q̃n+1
q̃n+1
qn+1
qn+1
Résultats
numériques
Perspectives
qn
Q0
K (qn )
Mouvements
de Foule
J. Venel
Convergence
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
On note qh la fonction continue affine par morceaux
associée au schéma numérique.
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
Théorème
On suppose U lipschitzienne et bornée.
Alors qh converge uniformément sur [0, T ] vers la fonction q
vérifiant

 d q + N ∋ U(q) p.p. sur [0, T ],
q
dt

q(0) = q0 .
Mouvements
de Foule
Problèmes continu et discret
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Le problème discret associé à l’algorithme précédent est
Etude
numérique
un + N(K (qn ), qn+1 ) ∋ U(qn ).
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Comme Nq = N(Q0 , q), le problème continu s’écrit
dq
+ N(Q0 , q) ∋ U(q).
dt
Perspectives
Proposition
N(Q0 , q) = N(K (q), q).
Mouvements
de Foule
Les deux étapes de la preuve
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Extraction : il existe une sous-suite de la suite (qh ) qui
converge uniformément vers une fonction absolument
continue q sur [0, T ].
Vérification de l’inclusion différentielle :
dq
+ N(K (q), q) ∋ U(q) p.p. sur [0, T ].
dt
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
Proposition
Soient q ∈ Q0 , (qn )n∈N ∈ (Q0 )N vérifiant qn −−−−→ q,
n→+∞
on définit pour tout q̃ ∈ R2N ,
p = PK (q) (q̃) et pn = PK (qn ) (q̃).
Alors il existe ν > 0 tel que pour tout q̃ ∈ B(q, ν),
pn −−−−→ p.
n→+∞
Mouvements
de Foule
Convergence des projections
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
X

e+

λij Gij (q)
p=q




i<j


1
2
e
e
∀i < j, Dij (q) + Gij (q) · (p − q) ≥ 0
p = argmin |p − q| ⇔

e

p∈K (q) 2
X



λij (Dij (q) + Gij (q) · (p − q)) = 0,


i<j
X

e+

λnij Gij (qn )
pn = q




i<j


1
2
n
e −q
e| ⇔
∀i < j, Dij (qn ) + Gij (qn ) · (pn − qn ) ≥ 0
p = argmin |p

e

p∈K (qn ) 2

 X λn (D (qn ) + G (qn ) · (pn − qn )) = 0,


ij
ij
ij

i<j
où les coefficients λij et λnij sont des réels positifs.
Proposition
Les multiplicateurs de Lagrange λnij sont bornés.
Mouvements
de Foule
Plan
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
1 Présentation du modèle
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
2 Etude théorique
Réécriture du modèle
Problème bien posé
3 Etude numérique
Présentation du schéma
Résultat de convergence
4 Programmation
5 Résultats numériques
6 Perspectives
Mouvements
de Foule
J. Venel
Méthodes numériques
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Vitesse réelle
Algorithme d’Uzawa pour calculer les projections.
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
Vitesse souhaitée
Méthode de type Fast Marching (R. Kimmel, J. Sethian)
pour calculer la distance géodésique D à la sortie la plus
proche, en prenant en compte les obstacles.
Cette fonction D vérifie |∇D| = 1.
Programmation orientée objet
C++, STL, VTK.
Intégration de la vitesse souhaitée à SCoPI (A. Lefebvre).
Mouvements
de Foule
Plan
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
1 Présentation du modèle
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
2 Etude théorique
Réécriture du modèle
Problème bien posé
3 Etude numérique
Présentation du schéma
Résultat de convergence
4 Programmation
5 Résultats numériques
6 Perspectives
Mouvements
de Foule
J. Venel
Résultats numériques
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
• Formation d’arches
Film Pression
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
• Ajout de stratégies individuelles
Film
Perspectives
• Évacuation d’un bâtiment
Film Géodésiques Film Zoom
Mouvements
de Foule
Plan
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
1 Présentation du modèle
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
Programmation
Résultats
numériques
Perspectives
2 Etude théorique
Réécriture du modèle
Problème bien posé
3 Etude numérique
Présentation du schéma
Résultat de convergence
4 Programmation
5 Résultats numériques
6 Perspectives
Mouvements
de Foule
Perspectives
J. Venel
Modèle
Etude
théorique
Réécriture
Résolution
Etude
numérique
Présentation
Convergence
• Problèmes théoriques liés à la présence d’obstacles
Programmation
Résultats
numériques
• Ajout de la friction
Perspectives
• Comparaison avec des données réelles