DM6

Devoir maison n°6, 2NDE
NOM
PRENOM
CLASSE
Exercice 1
Un artisan produit du miel et de la confiture, de manière industrielle et aussi biologique.
Sa production mensuelle est de 900 pots
- 603 pots de miel (dont 333 sont de fabrication industrielle)
- 63 pots de confiture biologique
a) Compléter le tableau ci-dessous
Pots de miel Pots de confiture Total
Prod. Industrielle
Prod. Biologique
Total
900
On choisit un pot au hasard dans la production mensuelle.
- 𝐶 est l’événement « c’est un pot de confiture »
- 𝐵 est l’événement « c’est un pot de fabrication biologique »
b) Calculer les probabilités des événements 𝐶 et 𝐵
c)
-
Décrire (une phrase) et calculer les probabilités des événements :
𝐵̅
𝐵∩𝐶
𝐵∪𝐶
Exercice 2
Une personne a dans sa poche une pièce de 2 €, une pièce de 1 € et deux pièces de 0,5 €.
Elle prend dans sa poche une pièce au hasard, puis une deuxième sans avoir remis la première.
a) Modéliser cette expérience par un arbre
b)
-
En déduire la probabilité de chacun des évènements suivants :
A = « Les deux pièces sont identiques » ;
B = « Les deux pièces sont différentes » ;
C = « La somme totale est égale à 1,50 € » ;
D = « La somme totale est supérieure à 2 € ».
Devoir maison n°6, 2NDE
Exercice 1 :
a) Remplir le tableau est un simple jeu d’additions et de soustractions
Prod. Industrielle
Prod. Biologique
Total
297
Pots de miel Pots de confiture Total
333
234 (4)
567 (3)
270 (1)
63
333 (2)
603
297 (5)
900
b) 𝑃(𝐶) = 900 = 0,33
333
𝑃(𝐵) = 900 = 0,37
c) 𝐵̅ est le contraire de 𝐵 : il s’agit donc des pots de fabrication industrielle


Méthode 1 : formule de cours : 𝑃(𝐵̅ ) = 1 − 𝑃(𝐵) = 1 − 0,37 = 0,63
567
Méthode 2 : lecture du tableau : 𝑃(𝐵̅) = 900 = 0,63
𝐵 ∩ 𝐶 : pots de fabrication biologique ET pots de confiture : pots de confiture bio


63
Méthode 1 : Par lecture du tableau, on a : 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 900 = 0,07
Méthode 2 : on construit l’arbre réduit suivant (uniquement la partie bio : 𝑃(𝐵) = 0,37)
Confiture : 63 pots : 𝒑 = 63/333
Bio (333 pots)
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 0,37 × 𝒑
= 0,07
Miel :270 pots
 Attention : dans cet exemple (et c’est souvent le cas), 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) ≠ 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐶) car ces deux
événements sont conditionnés l’un à l’autre : on veut un pot de confiture parmi les pots bio (probabilité
𝒑), et pas un pot de confiture tout court (probabilité 𝑃(𝐶) = 0,33).
𝐵 ∪ 𝐶 : pots de fabrication biologique OU pots de confiture


Méthode 1 : On applique la formule 𝑃(𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) pour ne pas compter deux
fois les pots de confiture bio : 𝑃(𝐵 ∪ 𝐶) = 0,37 + 0,33 − 0,07 = 0,63
Méthode 2 : il y a 333 pots bio, 297 pots de confiture et 63 pots de confiture bio qui appartiennent au
deux groupes (et qu’il faut donc enlever une fois) : l’ensemble est donc de 333 + 297 − 63 = 567
567
pots. Ramené au total de 900 pots, on a bien 900 = 0,63
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Exercice 2
a)
1/3
2
1/4
1
1/4
1/4
1
0,5
0,5
2
0,5
0,5
0,5
2
1
0,5
0,5
2
1
0,5
Les probabilités du deuxième tirage
sont toutes les mêmes et sont de 1/3 et
non pas 1/4 puisque la première pièce
tirée n’est pas remise dans la poche.
1/4
b) Toutes les probabilités finales sont les mêmes (tous les chemins de l’arbre ont la même probabilité) :
1
4
1
1
× 3 = 12 Ce qui va faciliter les calculs :
-
La seule pièce présente en deux exemplaires est la pièce de 50 cents. Deux chemins de l’arbre permettent
1
1
1
1
d’arriver à (0,5 ; 0,5). Par conséquent 𝑃(𝐴) = 12 + 12 = 2 × 12 = 6
-
B est l’événement contraire de A : 𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝐴) = 6
-
C contient les chemins : (1 ; 0,5) ; (0,5 ; 1) et (0,5 ; 1) : 𝑃(𝐶) = 3 × 12 = 4
-
D contient les 3 chemins commençant par 2 ainsi que (1 ; 2) ; (0,5 ; 2) et (0,5 ; 2), soit 6 chemins possibles.
1
1
𝑃(𝐶) = 6 ×
=
12 2
5
1
1