MICROMECANIQUE DES COMPOSITES

Composites particulaires.
Polymères chargés
Micromécanique
des composites
août 2005
µA1
D. Rouby
E.H. Kerner, The elastic and thermo­elastic properties of composite media, Proc. Phy. Soc., 69B (1956) 808­813.
R.M. Christensen and K.H. Lo, Solutions for effective shear properties in three phase sphere and cylinder models, J.
Mech. Solids, 27 (1979) 315­330.
E. Herve and A. Zaoui, n­layered inclusion­based micromechanical modelling, Int. J. Engng Sci., 31 (1993) 1­10.
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données ci­dessus. Le classeur EXCEL « Micromécanique »
est disponible si vous avez besoin de calculer
les modules d’élasticité donnés dans les
fascicules A, A1 et A2. 1. Modèle de Kerner
1. Module de cisaillement
Il est constitué de trois phases : l'inclusion ou la particule sphérique de rayon R (indice p), la matrice entourant l'inclusion, de rayon R'
(indice m). L'ensemble étant noyé dans le
milieu homogène équivalent dont on cherche à
déterminer les caractéristiques élastiques. Expression générale de Kerner :
La fraction volumique des inclusions est
alors :
vp = (R / R')3
avec :
A = (7 ­ 5 νm) Gm + (8 ­ 10 νm) Gp
et :
B = 15 (1 ­ νm)
milieu homogène
équivalent
matrice
rayon : R'
inclusion
rayon : R
vp Gp 1 ­ vp
+ B
G = Gm A
vp Gm 1 ­ vp
+ A
B
(A1.5)
Expressions simplifiées
• Si vp << 1 :
(A1.6)
G
G = Gm 1 ­ Gm B 1 ­ p vp
A
Gm
• Si Gp >> Gm :
(A1.7)
G = Gm 1 + Modules d'Young Ei = 9 ki Gi
(3 ki + Gi )
Modules de cisaillement
Ei
(A1.2)
Gi = 2 (1 + ν i )
Modules de compressibilité hydrostatique
Ei
(A1.3)
ki = 3 (1 ­ 2ν i )
Coefficients de Poisson (A1.4)
ν i = 3 ki ­ 2 Gi
2 (3 ki + Gi )
(A1.1)
© [D. ROUBY], [2005], INSA de Lyon, tous droits réservés.
15 1 ­ ν m vp
8 ­ 10 ν m 1 ­ vp
• Si Gp << Gm :
(A1.8)
1 = 1 1 + 15 1 ­ ν m vp
G Gm
7 ­ 5 ν m 1 ­ vp
A1.2
Composites particulaires. polymères chargés
2. Module de compressibilité hydrostatique
Expressions simplifiées
Expression générale de Kerner :
• Si vp << 1 : (A1.10)
(A1.9)
k = km + vp
k = km 1 + 1 + ν m
1 + 1 ­ v
p
kp ­ km
3 km 1 ­ ν m
kp ­ km 1 ­ ν m
vp
2 1 ­ 2 ν m km + 1 + ν m kp
• Si kp >> km :
(A1.11)
k = km
1 + 3 1 ­ ν m vp
1 + ν m 1 ­ vp
• Si kp << km : (A1.12)
k = km 1 ­
3 1 ­ ν m vp
3 km 1 ­ ν m + 1 + ν m 1 ­ vp
La figure ci­dessous montre un exemple d'évolution du module d'Young donné par les expressions
de Kerner et comparés aux bornes de Voigt et Reuss (trait fin), ainsi qu'à la solution exacte (trait
épais). (graphe obtenu avec l’outil EXCEL « Micromécanique »)
80
Particules : verre (Ep = 72 GPa, NUp = 0,2)
Matrice : polymère (Em = 2 GPa, NUm = 0,3)
Module d'Young (GPa) -
70
60
50
40
Voigt (parallèle)
30
20
Solution exacte
Kerner
10
Reuss (série)
0
0
0,2
0,4
0,6
Fraction volumique de particules
© [D. ROUBY], [2005], INSA de Lyon, tous droits réservés.
0,8
1