Problème de programmation linéaire Le cirque en bateau Une

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Problème de programmation linéaire
Le cirque en bateau
Une compagnie maritime dispose de bateaux de 2 modèles différents :
Des bateaux de modèle M1 pouvant transporter chacun 30 personnes et 3 voitures.
Des bateaux de modèle M2 pouvant transporter chacun 10 personnes et 6 voitures.
Un cirque désire acheminer 90 personnes et 24 voitures.
Le but de ce problème est de trouver la façon d’utiliser le moins de bateaux possible.
I
1)
Combien de personnes peut on transporter avec :
a)
1 bateau M1
b)
1 bateau M2
c)
2 M1 et 1 M2
d)
4 M1 et 3 M2 ?
2)
Combien de véhicules peut on transporter avec :
a)
1 bateau M1
b)
2 bateaux M2
c)
5 M1 et 2 M2
d)
4 M1 et 4 M2 ?
3)
Dire si les solutions suivantes conviennent pour transporter les personnes et les
voitures du cirque ( justifer) :
a)
1 M1 et 5 M2
b)
4 M1 et 3 M2
c)
2 M1 et 5 M2
d)
5 M1 et 1 M2
4)
Soit x le nombre de bateaux M1 choisis et y le nombre de bateaux M2 choisis.
a)
b)
c)
d)
II
Exprimer en fonction de x et y le nombre de personnes transportées.
Exprimer en fonction de x et y le nombre de voitures transportées.
En utilisant a) et b), exprimer les contraintes du problème par un
système.
Montrer que le système précédent est équivalent au système (S) suivant:
y

 y

x

 y
5)
A tout couple (x ; y) , on associe le point M(x ; y) dans un repère orthonormé.
a)
Représenter graphiquement et soigneusement l’ensemble des points M(x ; y) ,
solutions du système (S). On hachurera la zone ne convenant pas.
b)
Soit n , le nombre total de bateaux utilisés par le cirque.
Exprimer n en fonction de x et y.
c)
Soit (∆) , la droite correspondant au cas n = 7.
Déterminer l’équation réduite de (∆)
d)
Tracer (∆).
e)
Donner tous les couples (x;y) pour lesquels , n = 7.
6)
Déterminer graphiquement le nombre minimal de bateaux que le cirque peut utiliser.
Expliquer la méthode.
On suppose dans cette partie que la compagnie maritime ne dispose que de 5 bateaux M1 et
7 bateaux M2.
1)
a)
b)
c)
d)
2)
Ces contraintes supplémentaires transforment le système (S) en un nouveau
système (S’). Ecrire le système (S’).
Représenter les nouvelles contraintes dans le repère précédent.
Hachurer d’une couleur différente l’ensemble des M(x;y) solutions de (S’).
Combien le cirque a t’il de façons de choisir un nombre suffisant de bateaux ?
La location d’un bateau M1 est de1000 €, celle d’un bateau M2 est de 250 €.
Déterminer graphiquement x et y pour une dépense minimale.
≥ −3x + 9
≥ −
≥ 0
≥ 0
1
x+4
2