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Modèles en temps continu pour la Finance David Lefèvre ENSTA ParisTech/Laboratoire de Mathématiques Appliquées 23 avril 2014 David Lefèvre MAE12 Evaluation et couverture pour les options européennes de la forme H = h(ST1 ) Proposition : Considérons une option régulière H ∈ H telle que : H = h(ST1 ), où h est une fonction borélienne à valeurs positives. Alors il existe une fonction v : [0, T ] × R∗+ → R telle que le prix de non-arbitrage (ou prix d’arbitrage), πt (H), 0 ≤ t ≤ T , de l’option H vérifie : i h ∀t ∈ [0, T ], πt (H) = EQ e −r (T −t) h(ST1 )Ft . Preuve : σ2 Pour tout t ∈ [0, T ], on a : St1 = S01 e (r − 2 )t+σWt , où (Wt )0≤t≤T est un mouvement Brownien réel sur (Ω, F, Q), Q est la mesure martingale équivalente et quel que soit t ∈ [0, T ], Ft = FtB = FtW . On en déduit que : ∀t ∈ [0, T ], ST1 = St1 e (r − David Lefèvre σ2 )(T −t)+σ(WT −Wt ) 2 MAE12 . Cas des options européennes de la forme H = h(ST1 ) Preuve : (suite) Par ailleurs, la formule d’évaluation risque-neutre donne : i h ∀t ∈ [0, T ], πt (H) = EQ e −r (T −t) h(ST1 )Ft 2 Q −r (T −t) 1 (r − σ2 )(T −t)+σ(WT −Wt ) )Ft . =E e h(St e Lemme : (Rappel) Etant données X et Y deux variables aléatoires définies sur un espace de probabilité (Ω, F, Q) et à valeurs réelles. Soit G une sous-tribu de F et Φ une application mesurable à valeurs positives ou bornée. Alors, si X est G - mesurable et Y est indépendante de G, on a : i h EQ Φ(X , Y )G = φ(X ), avec φ(x) = EQ [Φ(x, Y )], pour tout x ∈ R. David Lefèvre MAE12 Cas des options européennes de la forme H = h(ST1 ) Preuve : (suite) Nous utilisons le lemme précédent avec G = Ft , X = St1 qui est Ft - mesurable et Y = WT − Wt qui est bien indépendante de Ft . On en déduit qu’il existe une fonction v : [0, T ] × R∗+ → R telle que le prix de non-arbitrage, πt (H), 0 ≤ t ≤ T , de l’option H vérifie : ∀t ∈ [0, T ], πt (H) = v (t, St1 ), avec la fonction v définie par : 2 Q −r (T −t) (r − σ2 )(T −t)+σ(WT −Wt ) ∗ ∀t ∈ [0, T ]×R+ , v (t, x) = E e h(x e ) . David Lefèvre MAE12 Cas des options européennes de la forme H = h(ST1 ) Proposition : Si l’on suppose que v ∈ C 1,2 ([0, T ] × R∗+ ), alors il existe une stratégie Q - admissible (φt )0≤t≤T = ((φ0t , φ1t ))0≤t≤T qui duplique l’option européenne H = h(ST1 ) telle que, pour tout t ∈ [0, T ], Vt (φ) = v (t, St1 ) et : φ1t = ∂v (t, St1 ), ∂x φ0t = e −r t v (t, St1 ) − φ1t S˜1 t . De plus, le prix de non-arbitrage, πt (H), 0 ≤ t ≤ T , de l’option H est solution de l’équation aux dérivées partielles suivantes : ∂v ∂v 1 2 2 ∂2v σ x (t, x) + r x (t, x) + (t, x) − r v (t, x) = 0, 2 2 ∂x ∂x ∂t (t, x) ∈ [0, T [×R∗+ v (T , x) = h(x), x ∈ R∗+ . David Lefèvre MAE12 Cas des options européennes de la forme H = h(ST1 ) Proposition : (suite) Réciproquement, si l’équation aux dérivées partielles précédente admet une solution v ∗ (dont la dérivée partielle ∂v ∗ ∗ ∂x (t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × R+ est bornée), alors v ∗ (t, St1 ), 0 ≤ t ≤ T , est le prix de non-arbitrage à l’instant t ∈ [0, T ] de l’option de flux terminal h(ST1 ). Preuve : La preuve repose sur le résultat suivant vu dans le cours MA207 : Si (Xt )0≤t≤T est une martingale sur (Ω, F, (Ft )0≤t≤T , Q) et dont la décomposition en processus d’Itô s’écrit : Z t Z t Xt = X0 + Ks ds + Hs dWs , 0 ≤ t ≤ T , Q − p.s. , 0 0 alors, nécessairement, Kt = 0, David Lefèvre 0 ≤ t ≤ T , Q − p.s. . MAE12 Formules de Black et Scholes Proposition : Formules de Black et Scholes Le prix de non-arbitrage à la date t ∈ [0, T [, noté C (St1 , T − t, K ), d’un call de prix d’exercice K et d’échéance T est donné par : C (St1 , T − t, K ) = St1 N (d1 (St1 , T − t, K , σ)) − K e −r (T −t) N (d2 (St1 , T − t, K , σ)), où N désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et d1 (x, τ, K , σ) et d2 (x, τ, K , σ) sont définis comme suit : 2 log Kx + r + σ2 τ √ d1 (x, τ, K , σ) = σ τ et : √ d2 (x, τ, K , σ) = d1 (x, τ, K , σ) − σ τ David Lefèvre MAE12 Formules de Black et Scholes Proposition : Formules de Black et Scholes (suite) La formule de parité call-put s’écrit : C (St1 , T − t, K ) − P(St1 , T − t, K ) = St1 − K e −r (T −t) , t ∈ [0, T [ Le prix de non-arbitrage à l’instant t ∈ [0, T [, noté P(St1 , T − t, K ), d’un put de strike K et de maturité T , est donné par : P(St1 , T − t, K ) = K e −r (T −t) N (−d2 (St1 , T − t, K , σ)) − St1 N (−d1 (St1 , T − t, K , σ)). David Lefèvre MAE12 Sensibilités Les sensibilités du prix d’une option par rapport à ses différents paramètres sont appelées les “Grecques” Delta : Le Delta, noté ∆, est la sensibilité du prix par rapport à la valeur actuelle du sous-jacent. Dans le cas d’un call, ∆ = ∂v 1 ∂x (t, St ) = N (d1 ). Le Delta s’interprète comme la quantité d’actif risqué du portefeuille de couverture de l’option. Le portefeuille de couverture est théoriquement ajusté à chaque instant et correspond alors à des transactions faites en continu et sans frais, adjonction ni retrait d’argent. En réalité, les transactions sont discrètes et les coûts de transaction limitent le nombre d’ajustement appelés “hedges”. Le vendeur prend donc concrètement un risque. Plus il fait de hedges, plus son portefeuille de couverture est proche de l’option, mais plus il paye de coûts de transation. David Lefèvre MAE12 Sensibilités Gamma : Le Gamma, noté Γ, est la sensibilité du Delta par rapport à la valeur actuelle du sous-jacent. Dans le cas d’un call, Γ = ∂2v (t, St1 ) ∂x 2 = 0 1 √ N (d1 ). St1 σ T −t Le Gamma indique au vendeur de l’option la fréquence à laquelle la position de couverture doit être modifiée. Si le Gamma est faible, le Delta varie peu et la couverture en Delta n’a pas besoin d’être ajustée. Par contre, si le Gamma est élevé, il faut souvent et significativement reconsidérer le nombre d’actifs risqués du portefeuille de couverture. David Lefèvre MAE12 Sensibilités Theta : Le Theta, noté θ, est la sensibilité du prix par rapport au temps écoulé t ∈ [0, T ]. Le Theta mesure donc la diminution du prix de l’option au cours du temps. Dans le cas d’un call, 1 0 σS −r (T −t) N (d ). 1 √ t Θ = ∂v 2 ∂t (t, St ) = − 2 T −t N (d1 ) − K r e David Lefèvre MAE12 Sensibilités Vega : Le Vega, noté Vega, est la sensibilité du prix par rapport à la volatilité. Le Vega est important car il donne la dépendance du prix en la volatilité du sous-jacent qui est le paramètre difficile et primordial à calculer. Plus le Vega est important, plus le risque d’erreur de calibration est grand. √ 0 ∂v Dans le cas d’un call, Vega = ∂σ (t, St1 ) = St1 T − t N (d1 ). Rho : Le Rho, noté ρ, est la sensibilité du prix par rapport au taux d’intérêt r . Dans le cas d’un call, 1 −r (T −t) (N (d ) − 1). ρ = ∂v 2 ∂r (t, St ) = (T − t) K e David Lefèvre MAE12