TD de thermodynamique n 3 Le premier principe - mpsi

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
TD de thermodynamique no 3
Le premier principe de la thermodynamique
Bilans d’énergie
Exercice 1 -
Influence du chemin de transformation.
Une mole de dioxygène, assimilé à un gaz parfait de cœfficient γ = 7/5, passe d’un volume V1 = 10, 0 L à la température
θ1 = 25, 0°C à un volume V3 = 20, 0 L à la température θ3 = 100°C.
1 . Calculer la capacité thermique à volume constant molaire CV,mol du dioxygène.
2 . La détente s’effectue par un chauffage isochore quasi-statique suivi d’une détente isotherme quasi-statique.
2.1 . Représenter le chemin suivi dans le diagramme (P, V ).
2.2 . Calculer le transfert thermique Q et le travail W échangés par le gaz avec l’extérieur.
3 . La détente s’effectue maintenant par une détente isotherme quasi-statique suivie d’un chauffage isochore quasistatique.
3.1 . Représenter le chemin suivi dans le diagramme (P, V ).
3.2 . Calculer le transfert thermique Q′ et le travail W ′ échangés par le gaz avec l’extérieur.
4 . Que remarque-t-on concernant les sommes W + Q et W ′ + Q′ ? Interpréter.
Donnée : R = 8, 31 J · K−1 · mol−1
R
5
= R
γ−1
2
2.1. Réaliser un schéma de synthèse où vous noterez les différents états d’équilibre thermodynamique du système
pour lesquels vous indiquerez ou calculerez les valeurs des paramètres d’état P , T et V ainsi que la nature de la
transformation faisant passer le système d’un état à un autre.
2.2. Réponses : W = −2, 15.103 J et Q = 3, 71.103 J
3.1. Même indication qu’au 2.1.
3.2. Réponses : W ′ = −1, 72.103 J et Q′ = 3, 28.103 J
4. Réponses : Appliquer le premier principe de la thermodynamique entre les états 1 et 3 pour les deux transformations. Quelle propriété de U peut-on utiliser ?
1. Réponse : CV,mol =
Exercice 2 -
Transformation cyclique d’un gaz parfait.
Une mole de gaz parfait diatomique (γ = 7/5) subit la transformation cyclique constituée des étapes suivantes :
– à partir des conditions normales P0 = 1, 00 bar et θ0 = 0, 00°C, un échauffement isobare quasi-statique fait tripler
son volume, sa température atteint alors θ1 ;
– une compression isotherme quasi-statique provoque une augmentation de sa pression qui vaut alors P2 ;
– un refroidissement isochore quasi-statique le ramène à l’état initial.
1 . Représenter le cycle suivi dans le diagramme (P, V ).
2 . Calculer pour chaque étape, avec trois chiffres significatifs, le transfert thermique Q échangé, le travail W échangé
ainsi que les variations ∆U d’énergie interne et ∆H d’enthalpie.
3 . Calculer Wtot et Qtot sur le cycle complet, ainsi que ∆Utot et ∆Htot sur ce cycle.
S. Bénet
1
1. Réaliser un schéma de synthèse où vous noterez les différents états d’équilibre thermodynamique du système
pour lesquels vous indiquerez ou calculerez les valeurs des paramètres d’état P , T et V ainsi que la nature de la
transformation faisant passer le système d’un état à un autre.
W0→1 = −4, 54.103 J ∆0→1 U = 1, 14.104 J
W0→1 = −4, 54.103 J W0→1 = −4, 54.103 J
3
∆1→2 U = 0 J
W1→2 = −4, 54.103 J W1→2 = −4, 54.103 J
2.1. W1→2 = 7, 48.10 J
4
W2→0 = 0 J
∆2→0 U = −1, 14.10 J W2→0 = 0 J
W2→0 = 0 J
3. Réponses : Wtot = 2, 94.103 J, ∆Utot = 0 J, Qtot = −2, 94.103 J et ∆Htot = 0 J
Exercice 3 -
Chauffage d’un gaz parfait.
On enferme n = 0, 10 mol de diazote, assimilé à un gaz parfait de cœfficient
γ = 7/5, dans un cylindre thermostaté à θth = 27°C, fermé par un piston
mobile sans frottement de section S = 1, 0 · 102 cm2 . La pression atmosphérique est Patm = 1, 0 bar. On néglige la force pressante due au poids du
piston devant la force pressante atmosphérique.
Patm
P2
h0
1 . Calculer la hauteur h0 occupée par le gaz dans le cylindre.
2 . Le piston étant bloqué, on élève la température du thermostat à
=
50°C. Calculer le travail W et le transfert thermique Q échangés par le gaz.
′
θth
P0
V0
T0
P1
V1
T1
V2
θth
′
θth
′
θth
T2
′
, mais en laissant libre le piston.
3 . En repartant de l’état initial, on élève à nouveau la température jusqu’à θth
′
′
Calculer le travail W ? et le transfert thermique Q ? échangés par le gaz.
1. Réponses : h0 = 25 cm
2. Réaliser un schéma de synthèse où vous noterez l’état d’équilibre thermodynamique initial et l’état d’équilibre
thermodynamique final du système pour lesquels vous indiquerez ou calculerez les valeurs des paramètres d’état
P , T et ainsi que la nature de la transformation faisant passer le système d’un état à un autre. Réponses :
W = 0 J, Q = 47, 8 J
3. Réaliser un schéma de synthèse où vous noterez l’état d’équilibre thermodynamique initial et l’état d’équilibre
thermodynamique final du système pour lesquels vous indiquerez ou calculerez les valeurs des paramètres d’état
P, T et ainsi que la nature de la transformation faisant passer le système d’un état à un autre. Réponses :
W ′ = −19, 1 J, Q′ = 66, 9 J
Exercice 4 -
Compressions isotherme et monotherme d’un gaz parfait.
Un gaz parfait est contenu dans un cylindre clos par un piston. La température initiale du gaz est égale à la température
extérieure T1 = 293 K, sa pression est P1 = 1 atm et son volume est V1 = 5 L. On néglige le poids du cylindre devant
la force pressante due à l’atmosphère. Les parois du cylindre et le piston sont de « bons » conducteurs de la chaleur
(diathermanes).
1 . On appuie « lentement » sur le piston, de manière à assurer à chaque instant l’équilibre thermique entre le gaz
et l’extérieur, jusqu’à ce que le gaz atteigne la pression P2 = 10 atm.
Calculer le volume final V2 occupé par le gaz, sa variation d’énergie interne ∆1→2 U ainsi que le travail W1→2 et le
transfert thermique Q1→2 échangés.
2 . On applique d’un seul coup une surpression extérieure, par exemple en posant une masse sur le piston, de telle
sorte que la pression extérieure passe brusquement de la valeur P1 à la valeur P2 . On attend qu’un état d’équilibre
thermique se réinstaure avec l’extérieur.
Calculer le volume final V2′ occupé par le gaz, sa variation d’énergie interne ∆1→2′ U ainsi que le travail W1→2′ et le
transfert thermique Q1→2′ échangés.
Il est extrêmement important de justifier rigoureusement vos réponses. Indiquer la nature de la transformation.
1. Réponses : V2 = 0, 5 L , ∆1→2 U = 0 J, W1→2 = −Q1→2 = 1166 J
2. Réponses : V2′ = 0, 5 L , ∆1→2′ U = 0 J, W1→2′ = −Q1→2′ = 4558 J
S. Bénet
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Exercice 5 -
Compression suivie d’une détente.
Une mole de gaz parfait diatomique est initialement dans les conditions P0 = 1, 00 bar et θ0 = 20°C. On réalise une
compression adiabatique quasi-statique de ce gaz, qui diminue son volume de moitié. On note (P1 , θ1 ) la pression et
la température dans cet état. Puis on détend de manière quasi-statique et isotherme le gaz, de manière à lui faire
retrouver son volume initial.
1 . Représenter les chemins suivis lors des transformations dans le diagramme (P, V )
2 . Calculer P1 et θ1 .
3 . Calculer la pression finale P2 à la fin de la détente.
4 . Exprimer puis calculer les travaux et les transferts thermiques échangés par le gaz lors des deux transformations.
Il est extrêmement important de justifier rigoureusement vos réponses. Indiquer la nature de la transformation.
1. Réaliser un schéma de synthèse où vous noterez les différents états d’équilibre thermodynamique du système
pour lesquels vous indiquerez ou calculerez les valeurs des paramètres d’état P , T et V ainsi que la nature de la
transformation faisant passer le système d’un état à un autre.
2. Réponses : P1 = 2, 64 bar et T1 = 387 K
3. Réponses : P2 = 1, 32 bar
4. Réponses : W0→1 = 1945 J , Q0→1 = 0 J et W1→2′ = −Q1→2′ = −2227 J
Exercice 6 -
Détente brutale d’un gaz parfait.
Un gaz parfait, de cœfficient γ , est contenu dans un cylindre muni d’un piston,
l’ensemble étant calorifugé.
La pression extérieure est P0 . Dans l’état initial, le piston est bloqué et le gaz est
comprimé sous la pression P1 > P0 , occupant le volume V1 à la température T1 . On
libère le piston et on laisse le système atteindre un nouvel état d’équilibre. On pose
P0
.
x=
P1
1 . Exprimer la température T2 du gaz à l’équilibre, en fonction de γ, x, et T1 .
2 . Comparer T2 à T1 .
3 . Exprimer le volume V2 du gaz à l’équilibre, en fonction de γ, x, et V1 .
Avant de faire l’exercice revoir le paragraphe du cours concernant les transformations adiabatiques. Il est extrêmement important de justifier rigoureusement vos réponses. Indiquer la nature de la transformation.
1 + (γ − 1)x
1. T2 = T1
γ
1 + (γ − 1)x
.
2. Réponses : réaliser une étude mathématique rapide de la fonction f (x) =
γ
1 + (γ − 1)x
3. Réponses : V2 = V1
γ
Exercice 7 -
Travail fourni par un opérateur.
On considère un cylindre horizontal muni d’un piston et contenant un gaz, supposé parfait, de volume V1 = 5 L et de
pression P1 = 1 bar. Un opérateur, en agissant sur le piston, réalise une détente quasi-statique isotherme du gaz, et
double ainsi son volume.
1 . Exprimer le travail Watm , de la force pressante due à l’atmosphère.
2 . En déduire l’expression puis la valeur du travail Wop fourni par l’opérateur.
S. Bénet
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1. Réponse : Watm = −P1 V1
2. Réponse : Wop = P1 V1 (1 − ln 2)
Exercice 8 -
Chauffage par une résistance électrique.
Un cylindre horizontal indilatable est séparé en deux compartiments
(A) et (B) par un piston d’épaisseur négligeable devant la longueur
du cylindre et mobile sans frottement. Les parois du cylindre et le
piston sont calorifugés.
Dans l’état initial, les deux compartiments contiennent une même
quantité d’air, assimilé à un gaz parfait de cœfficient γ = 1, 4, dans
les mêmes conditions de température T0 = 293 K et de pression
P0 = 1 bar, et occupant le même volume V0 = 1000 mL. Une résistance électrique traversant le compartiment (A) permet de chauffer lentement le gaz le contenant jusqu’à ce que sa pression soit
P1 = 3 bars.
(A)
(B)
P1
P2
V1
V2
T1
T2
1 . Dans l’état d’équilibre thermodynamique final, exprimer puis calculer les paramètres d’état (P2 , V2 , T2 ) pour le
gaz dans le compartiment (B) ainsi que les paramètres (V1 , T1 ) pour le gaz dans le compartiment (A).
2 . Montrer que le transfert thermique QA reçu par le gaz dans le compartiment (A) de la part de la résistance
chauffante s’écrit :
QA = ∆UA + ∆UB
où UA et UB sont les énergies internes des gaz dans les compartiments respectifs (A) et (B).
3 . Exprimer QA en fonction de P0 , V0 et γ. Le calculer.
Exercice 9 -
Étude d’une tuyère.
On étudie l’écoulement d’un gaz dans une tuyère horizontale isolée thermiquement du milieu extérieur. En régime
permanent, dans une section droite de la tuyère, les vitesses d’écoulement sont égales et normales à la section. La
pression et la température y sont uniformes et indépendantes du temps :
– à l’entrée de la tuyère, x = x1 : P1 = 3 bars et T1 = 300 K.
– à la sortie de la tuyère, x = x2 : P2 = 1 bar et T2 = 250 K.
x1
x
x2
P (x)
T (x)
1 . Montrer que, lorsqu’une mole de gaz passe de l’entrée à la sortie de la tuyère, on peut écrire, quelle que soit
l’abscisse x :
1
Hm (x) + M v 2 (x) = Cte
2
où Hm (x) : enthalpie molaire du gaz à l’abscisse x et M la masse molaire du gaz.
2 . En supposant v(x1 ) négligeable, calculer v(x2 ).
3 . Le gaz sortant de la tuyère est utilisé pour actionner une turbine. A l’entrée de la turbine, il a une pression P2 ,
une température T2 et une vitesse v2 . A la sortie, la pression et la température sont inchangées, et la vitesse est nulle.
Calculer le travail récupéré par la turbine par le passage d’une mole de gaz.
Données : M = 32 g · mol−1 et γ = 1, 4. On supposera le gaz parfait.
S. Bénet
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Exercice 10 -
Compression isotherme d’un gaz de Van Der Waals.
On considère une mole d’azote, obéissant à l’équation d’état :
a
avec
a = 0, 13 S.I.
P + 2 (Vm − b) = RT
Vm
Son énergie interne a pour expression :
Um = CV,m T −
et
b = 3, 8.10−5 S.I..
a
Vm
Le gaz occupe initialement le volume V1 = 25 L à la température T1 = 300 K et on le comprime de manière isotherme
jusqu’au volume V2 = 12, 5 L.
1 . Calculer les pressions initiale P1 et finale P2 du gaz.
2 . Calculer le travail W et la quantité de chaleur Q échangés par le gaz avec l’extérieur au cours de la compression.
Exercice 11 -
Calorimétrie.
Un calorimètre et ses accessoires (agitateur, thermomètre...) possède une capacité calorifique C.
1 . Le calorimètre contenant une masse d’eau M = 95 g d’eau à la température θ1 = 20, 0°C, on lui ajoute une
masse m = 71 g d’eau à la température θ2 = 50, 0°C. Après quelques instants, la température d’équilibre observée est
θf = 31, 3°C.
En déduire la valeur de la capacité thermique C du calorimètre. Calculer la masse en eau µ équivalente au calorimètre.
2 . Le même calorimètre contient maintenant M ′ = 100 g d’eau à θ1 = 15°C. On y plonge un échantillon métallique
de masse m′ = 25 g qui sort d’une étuve à θ2 = 95°C. La température d’équilibre est θf = 16, 7°C. Déterminer la
capacité thermique massique moyenne cmétal de l’échantillon métallique dans ce domaine de température.
Donnée : ceau = 4, 18 J · g−1 · K−1 .
Exercice 12 -
Méthode électrique.
On désire mesurer la capacité thermique totale C d’un calorimètre et de son contenu (eau et accessoires). On plonge
pour cela une résistance chauffante R = 250 Ω dans l’eau du calorimètre (valeur supposée indépendante de la température). On fait circuler un courant électrique d’intensité I = 0, 5 A pendant ∆t = 13 min , tout en homogénéisant.
On constate que la température de l’ensemble passe de θ0 = 14°C à θ1 = 16°C.
En déduire l’expression puis la valeur de C.
Exercice 13 -
Évolution de la température dans une résistance électrique.
Une résistance électrique R, de capacité thermique C, est placée dans l’air de température T0 . Lorsque la température
de la résistance est T > T0 , on admet que le transfert thermique δQ perdu pendant une durée dt est donnée par la loi
de Newton :
δQ = aC(T − T0 )dt
où a est une constante. À la date t = 0, la résistance étant à la température T0 , on fait passer dans la résistance
électrique un courant d’intensité I constante.
1 . Quelle est la dimension de la constante a ?
2 . En faisant un bilan énergétique sur une durée dt, établir l’équation différentielle vérifiée par T (t).
3 . Identifier la constante de temps τ du phénomène ainsi que la température T∞ atteinte par la résistance au bout
d’une durée t ≫ τ .
S. Bénet
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