Série N°1 - Université Abderrahmane Mira

Université A. Mira, Béjaïa, Faculté de Technologie,
Module d’MMC
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Série d’exercices N°2
SERIE D’EXERCICES N°2
X
EXERCICE 1
Soit la plaque ci-contre soumise à une traction  dans la direction X.
Déterminer les composantes normale et tangentielle du vecteur
contrainte agissant sur la facette décrite par l’angle  par rapport à l’axe
X en utilisant :


X
a) Un calcul directe
b) La représentation par le cercle de Mohr
c) La définition du vecteur contrainte

EXERCICE 2
Dans un repère orthonormé (e, e, e), l’état des contraintes en un point est représenté par le tenseur suivant :
c
a 0

ij  0  a b 


c b
d 
1) Déterminer le vecteur contrainte agissant sur :
a) une facette de normale  13 , 13 , 13 
b) une facette perpendiculaire à e.
2) Déterminer par leurs normales unitaires les facettes parallèles à e sur lesquelles le vecteur contrainte est
tangent.
EXERCICE 3
L'état de contraintes en un point M d’un milieu continu est donné, dans une base orthonormée, par le
tenseur suivant:
11 2 1 
 ij  2
0 2 (MPa)


1
2 0
a) Déterminer  pour qu'il existe un plan sur lequel s’exerce un vecteur contrainte nul, donner le vecteur unitaire
normal à ce plan.
b) Calculer ensuite les contraintes et les directions principales
c) En déduire la contrainte tangentielle maximale s'exerçant au point M.
EXERCICE 4
Montrer que le problème de recherche des contraintes et directions principales est indépendant de l’orientation du
repère de référence. Quelles conclusions peut-on tirer pour les invariants des contraintes.
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Série d’exercices N°2
EXERCICE 5
L’état des contraintes en un point M d’un milieu continu est donné dans une base orthonormée (o, e, e, e) par le
tenseur :
 7 36 0 


 ij   36 28 0  (MPa)
0
0
76

 : constante réelle, paramètre de charge.
1) Quel est l’état des contraintes en M pour  = 0.
2) Pour  = 1, calculer les composantes normales et tangentielles des vecteurs contraintes agissant en M sur les
deux facettes de normales (
3
2
, 12 , 0) et (
1
2
,
1
6
,
1 .
)
3
3) Déterminer en fonction de , les contraintes principales et les directions principales correspondantes. Que peuton conclure lorsque  varie ?
4) Déterminer les valeurs de  pour que l’état des contraintes au point M soit : a) cylindrique ; b) hydrostatique
superposé à un cisaillement pur.
5) Déterminer le cisaillement maximum pour des valeurs de  positives.
EXERCICE 6
Soit un état de contraintes en un point M d’un milieu continu donné dans une base orthonormée par le tenseur :
a  b 0 b  c 


ij   0
a 0
 ; a, b, et c : constantes réelles.
b  c 0 a  b


1) Déterminer les contraintes principales et les directions principales correspondantes, commenter le résultat.
2) Montrer en décomposant les contraintes principales que  est une superposition de trois états de contrainte purs
(simples), lesquels.
3) Peut-on prévoir ce résultat sans calculer les contraintes principales ? justifier avec une représentation
géométrique sur le cube des contraintes.
4) Quelles conditions doivent remplir les paramètres a, b, et c pour que  soit un tenseur de contraintes pur
(hydrostatique, cylindrique, cisaillement simple et compression ou traction simple).
EXERCICE 7
Soit un état de contraintes en un point M d’un milieu continu donné par le tenseur :
0 2 1 


 ij   2 0 2  (MPa)
1 2 0 


1) Déterminer les tenseurs sphérique (s) et déviateur (d) associés au tenseur 
2) Déterminer les tenseurs (G) pour lesquels  est le tenseur déviateur assicié
3) Déterminer permis les tenseurs (G) ceux pour lesquels le vecteur contrante qui s’exerce sur une facette normale
à la diagonale de l’espace 3D est : a) parallèle à l’axe X et b) perpendiculaire à l’axe X.
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