racine nieme
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racine nieme
Racine nième arithmétique a et b sont des nombres strictement positifs ; n un entier ≥ 2 € I. Définition € € € n a est le nombre positif dont la puissance n ième est égale à a . Autrement dit : € ( a) n n = a ou encore : € € x n = a€ ⇔x=n a x >0 € € € € n n Remarque 1 : si n est pair, l’équation x = a a deux solutions x = ± a (exemple : x 4 = 16 ⇔ x = ±2 ) et l’équation x n = −a n’a pas de solution (comme par exemple x 4 = −16 ). Autrement dit n −a n’existe pas si n est pair. € € € € € x n = a a une solution unique positive x = n a Remarque 2 : si €n est impair, l’équation 3 n (exple : x = 27 ⇔ x = 3) et l’équation x = −a a une solution unique négative x = n −a = − n a (exple : x 3 = −27 ⇔ x = −3 ). Autrement dit, n −a = − n a si n est impair. € € € € € € n = 2 on écrit a au lieu de 2 a € € Remarque 3 : si a sous forme d’une puissance II. € Ecriture de la racine nième de € € 1 n 1. Définition de a € 1 € a On définit n en supposant que cette puissance de a suit les mêmes règles de calcul que les puissances entières. € € 1 1 n n n a = a a Alors . Ainsi n vérifie l’équation x = a . 1 n ( ) n an On montre que € € a est égal à a et on a € 1 n = n an = a ième € 2. Propriétés des racines n € € n n 1 n 0 =0=0 1 n 1 =1=1 € ( a) n = a = (a 1 n n ) 1 n = a n n a = n ab = n a × n b = ( ab) n = a n × b n € n n € n € 1 1 a na = b nb 1 1 1 an an = 1 b bn et aussi (avec m ≥ 2 ) : € n € m nm a = a=mn a € 1 1 1 1 n 1 m m mn a = a = a n € (exple : 3 3 64 = € 64 = 6 64 = 2 ) € − 3. a 1 n = n 1 1 = 1 a an 1 € Exercice : écrire l’expression (53 ) 3 × € ( 3 125 ) −1 sous la forme d’une seule puissance.