Commande des robots par platitude

Transcription

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA
RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE FERHAT ABBAS – SETIF-1UFAS (ALGERIE)
MEMOIRE
Présenté à la faculté de Technologie
Département d’Electronique
Pour l’obtention du Diplôme de
MAGISTER
Option : Contrôle
Par :
Melle. KHESRANI Samia
THEME
Commande des robots par platitude
Soutenu le :
/ 12
/2014
devant la commission d’examen :
Mr. A. KHELLAF
Prof à l’Université de Sétif-1Mr. A. HASSAM
MCA à l’Université de Sétif-1Mme. S. SEMCHEDDINE MCA à l’Université de Sétif-1Mr. H. KARMED
MCA à l’Université de Sétif-1-
Président
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
TABLE DES MATIERES
Résumé ................................................................................................................... I
Introduction générale............................................................................................. 1
CHAPITRE I : Manipulateurs Sous- Actionnés
I.1
Introduction ................................................................................................. 4
I.2
Les robots marcheurs bipèdes ..................................................................... 5
I.3
Les manipulateurs à chaine ouverte ............................................................ 8
I.4
Contrôle des systèmes sous-actionnés ..................................................... 10
I.5
I.6
La platitude différentielle ...................................................................... 12
Conclusion ................................................................................................ 15
CHAPITRE II : Outils Pour la Commande des Systèmes Plats
II.1
Introduction ............................................................................................... 16
II.2
Généralités ................................................................................................ 16
II.2.1
Variété ................................................................................................ 16
II.2.2
Difféomorphisme ............................................................................... 17
II.2.3
Champ de vecteurs ............................................................................. 17
II.2.4
Courbe intégrale ................................................................................. 17
II.2.5
Dérivée de Lie .................................................................................... 17
II.2.6
Crochet de Lie .................................................................................... 18
II.2.7
Distributions de champs de vecteurs.................................................. 19
II.3
Brève introduction à la géométrie des jets infinis.............................. 19
II.3.1
Jets infinis, coordonnées .................................................................... 19
II.3.2
champs de vecteurs ............................................................................ 20
II.3.3
Systèmes ............................................................................................. 21
II.4
Equivalence au sens de Lie-Bäcklund et bouclages dynamiques ......... 23
II.4.1
Equivalence ........................................................................................ 23
II.4.2
Bouclages dynamiques ....................................................................... 25
II.4.2.1 Transformations dynamiques endogènes ...................................... 25
II.4.2.2 Bouclages dynamiques endogènes ................................................. 25
II.5
Systèmes commandés, commandabilité ................................................... 26
II.5.1
Commandabilité des systèmes linéaires ............................................ 26
II.5.1.1 Critère de Kalman ........................................................................... 27
II.5.1.2 Forme canonique de commandabilité............................................. 27
II.5.1.3 Détermination des trajectoires de référence par la méthode
polynomiale .................................................................................................. 29
II.5.1.4 Suivi de trajectoire, placement de pôles ......................................... 31
II.5.2
Commandabilité des systèmes non linéaires...................................... 32
II.5.2.1 Commandabilité au premier ordre .................................................. 32
II.5.2.2 Commandabilité locale et crochets de Lie...................................... 33
II.6
Conclusion ................................................................................................ 34
CHAPITRE III : Les Systèmes Plats
III.1 Introduction ............................................................................................... 36
III.2 Définition de la platitude dans le cadre de l’algèbre différentielle........... 37
III.3 Platitude et linéarisation ............................................................................ 40
III.3.1 Linéarisation par difféomorphisme et bouclage statique .................. 40
III.3.2 Linéarisation par bouclage dynamique endogène ............................. 42
III.3.3 Quelques propriétés liées à la platitude ............................................. 44
III.3.3.1 Systèmes linéarisables par bouclage statique ................................. 44
III.3.3.2 Système à une seule commande ..................................................... 44
III.3.3.3 Systèmes affines en commande ...................................................... 44
III.3.3.4 Algorithme d’extension dynamique ............................................... 45
III.4 Génération des trajectoires pour les systèmes plats .................................. 45
III.5 Conclusion ................................................................................................ 48
CHAPITRE IV : Conception de la Platitude Différentielle
IV.1 Introduction ............................................................................................... 49
IV.2 Robot à deux roues .................................................................................. 51
IV.2.1 Planification et contrôle ..................................................................... 51
IV.2.2 Construction du difféomorphisme ..................................................... 52
IV.2.3 La platitude différentielle basée sur la planification de la trajectoire 52
IV.2.4 Conception de la loi de commande pour la platitude différentielle ... 53
IV.2.5 Résultats de simulation ...................................................................... 55
IV.3 Robot à 2-liens sous-actionnés.................................................................. 57
IV.3.1 Planification et contrôle ..................................................................... 57
IV.3.2 Stratégie de conception de la platitude différentielle......................... 59
IV.3.3 Modèle dynamique ............................................................................. 60
IV.3.4 Sorties plates, difféomorphisme et entrées de transformation ............. 61
IV.3.5 La platitude différentielle basée sur la planification de la trajectoire . 65
IV.3.6 Conception de la loi de commande pour la platitude différentielle ... 68
IV.3.7 Résultats de simulation ...................................................................... 71
IV.4 Conclusion. ............................................................................................... 74
Conclusion Générale ......................................................................................... 77
Références ........................................................................................................... 79
Annexe................................................................................................................. 84
Table des figures
Figure I.1 Un plan à quatres bras d’un robot bipède............................................ 5
Figure I.2 Le schéma d’ un manipulateur à chaîne ouverte (3 degrés de libertés)
et le robot étudié .................................................................................................... 8
Figure III.1 Système non linéaire bouclé équivalent à un système linéaire ...... 40
Figure III.2 Génération de trajectoires .............................................................. 46
Figure IV.1 Robot mobile à deux-roues............................................................. 50
Figure IV.2 Robot sous-actionné à 2-liens......................................................... 50
Figure IV.3 Boucle de régulation pour le robot à deux roues............................ 54
Figure IV.4 Les trajectoires désirées et mesurées du robot mobile à 2-roues ....56
Figure IV.5 Les trajectoires désirées et mesurées de x(fig.a), y(fig.b) et (fig.c)
du robot mobile à deux roues .............................................................................. 57
Figure IV.6 Système reconçu du robot sous-actionné à 2-liens ........................ 60
Figure IV.7 La planification des trajectoires en utilisant le difféomorphisme .. 66
Figure IV.8 Les trajectoires planifiées de sortie plate pour le robot sousactionné à 2-liens................................................................................................. 67
Figure IV.9 Les trajectoires planifiées de l'état original du système pour le robot
sous-actionné à 2- liens ....................................................................................... 67
Figure IV.10 Boucle de régulation pour le robot sous-actionné à 2-liens ........ 70
Figure IV.11 Les résultats de simulation pour le suivi de trajectoire de sortie
plate du robot sous-actionné à 2- liens. ............................................................... 73
Figure IV.12 L’entrée nominale correspondante aux trajectoires planifiées pour
le robot sous-actionné à 2-liens ........................................................................... 73
Figure IV.13 La transformation d'un système différentiellement plat non linéaire en un
système linéaire après une entrée et une transformation de l'état. ..................................... 75
Figure IV.14 La planification basée sur la platitude et la méthodologie de
contrôle du mouvement point-à-point d'un robot sous-actionné à 2-liens. ......... 76
RESUME
Le contrôle des systèmes non linéaires sous-actionnés est un domaine de recherche en
cours. En général, pour un système sous-actionné, toutes les trajectoires d'état sont
dynamiquement possibles et il est difficile de caractériser les trajectoires possibles
analytiquement. Même si une trajectoire possible est trouvée, la conception d'un dispositif de
commande pour un système sous-actionné reste également une tâche difficile. La platitude
différentielle,
fournit une approche systématique unifiée qui permet de
planifier
dynamiquement les trajectoires possibles et de concevoir un contrôleur qui permet de suivre
ces trajectoires. Cependant, un système non linéaire sous-actionné peut ne pas être
différentiellement plat. Ce travail présente une approche traitant des systèmes sous-actionnés
qui peuvent être conçus pour être différentiellements plats permettant la planification et le
contrôle de trajectoire systématique pour un robot à 2DDL sous actionné. Les trajectoires
possibles sont construites en utilisant MATLAB. Un contrôleur linéaire de retour d'état est
conçu dans le domaine de sortie plate pour suivre les trajectoires désirées. Les résultats de la
planification de mouvement et des simulations dynamiques de la platitude basée sur le suivi
de trajectoires sont présentés.
Introduction Générale
La notion de platitude introduite en 1992 [1], a été développée initialement
dans le cadre des systèmes non linéaires de dimensions finis puis elle a été
étendue sur plusieurs systèmes. Elle peut être appliquée dans plusieurs situations
et pour n’importe quel système (par exemple un robot manipulateur ou un robot
mobile).
L’objectif de la thèse est de proposer dans un premier temps, une méthode
de modélisation d’un robot dédiée à sa commande. Le modèle sera développé à
partir des travaux les plus aboutis en classification et modélisation des systèmes
non linéaires. Dans un second temps, on projette une insertion de la technique
de platitude au centre de la conception de la commande.
La technique proposée (platitude) est une méthode mathématique formelle
qui permet de rechercher la commande désirée sans passer par l’intégration des
équations régissant le système à commander. En effet, il suffit de calculer la
trajectoire de la sortie plate correspondante ; qui est une des variables
fondamentales du système. Cet état de raisonnement permet de déterminer
implicitement une trajectoire physiquement réalisable pour le système.
Actuellement les méthodes de contrôle pour les systèmes sous-actionnés ne
sont applicables qu'à des cas de sous-actionnements très spécifiques ou elles
sont limitées à la commande d'un sous-système de l'ensemble du système sousactionné par la linéarisation rétroaction partielle tout en maintenant la stabilité
de repos du système. La planification et le contrôle des systèmes généraux sousactionnés n'est pas un problème résolu. La platitude différentielle, fournit un
1
moyen systématique et analytique de planifier et de suivre la trajectoire possible
pour un système sous-actionné non linéaire. En général, les systèmes non
linéaires sous-actionnés ne sont pas plats et la conception des classes de
systèmes sous-actionnés pour être différentiellement plat a été choisie comme
objectif de cette thèse.
En général, un système de commande est différentiellement plat s’il existe
un ensemble de sorties, appelées sorties plates, égales au nombre d'entrées, tels
que tous les états et les entrées peuvent être exprimés en termes algébriques de
ces sorties et d’un nombre fini de leurs dérivés.
La méthodologie de conception, de planification et de contrôle basé sur la
platitude différentielle est illustrée par un exemple d'un bras manipulateur à
chaîne ouverte à deux degrés de liberté. On démontrera que lorsqu’on modifie la
répartition de l'inertie de liens dans le système, de sorte que le centre de masse
de la seconde liaison est au niveau de la seconde articulation avec une
redistribution d’inertie et un placement d’un ressort, le système devient
différentiellement plat.
Outre l’introduction et la conclusion générales, cette thèse est organisée en
quatre chapitres répartis comme suit :
Le premier chapitre donne un tour d’horizon sur l’état de l’art
des
systèmes mécaniques sous-actionnés qui ont plusieurs degrés de liberté (DOF).
Nous y proposons également une introduction à plusieurs exemples, dont
certains aspects méritent quelques précisions.
Dans le chapitre suivant, nous introduisons les outils de la commande des
systèmes non linéaires plats.
Le troisième chapitre traite les systèmes plats en introduisant l’importance
des systèmes équivalents aux systèmes linéaires commandables par des
bouclages dynamiques endogènes.
2
L’étude de la platitude de deux classes de robots (robot mobile et bras
manipulateur) ainsi que les résultats de simulations de la planification et le
contrôle de suivi des trajectoires sont présentés au quatrième chapitre.
3
Chapitre I
Manipulateurs sous-actionnés
Chapitre I
Chapitre I
I.1 Introduction
Pour illustrer l’apport de cette nouvelle théorie de la platitude dans le cadre de
la génération et la poursuite de trajectoires, nous avons choisi deux types de robots
(un robot mobile, et un bras manipulateur sous-actionné), qui vont nous servir
comme éléments de base pour la maitrise et la compréhension de cette nouvelle
technique.
Nous projetons l’application de cette méthode de platitude sur un bras
manipulateur qui représente l’exemple parfait d’un système sous-actionné.
Les systèmes mécaniques sous-actionnés sont donc des systèmes qui ont
plusieurs degrés de liberté que les actionneurs, (c.-à-d. un ou plusieurs degrés de
liberté ne sont pas actionnés) [2]. Les sous-actionneurs sont abondants dans les
systèmes industriels.
Plusieurs systèmes sous-actionnés peuvent être caractérisées par un ensemble
de corps ou d’éléments, appelés liaisons, reliés entre eux par l’intermédiaire d’un
certain type d’articulation.
Dans ce chapitre, nous allons accentuer l’étude sur les robots marcheurs
bipèdes et la chaine de manipulateurs en série qui font partie des exemples des
systèmes sous-actionnés. Et nous allons aussi présenter les techniques de
planification et de contrôle pour cette classe de systèmes.
4
Chapitre I
Figure I.1: Un plan à quatre bras d’un robot bipède.
I.2.
Les robots marcheurs bipèdes
Les motivations derrière l’étude de ce système sont multiple telles que les
moyens de locomotion dans des terrains accidentés, dans la production des
prothèses, et le développement des robots copiant les hommes dans certaines
activités (assistance dans la maison, pour les soins des patients âgés… ). La
locomotion bipède a été étudiée pendant plusieurs années, mais elle est encore loin
d'être complètement résolue. L’inconvénient de ce système réside dans sa difficulté
de contrôle à cause de sa dynamique non linéaire sous-actionnée.
Il existe trois catégories de robots marcheurs bipèdes se basant sur le nombre
d'actionneurs existant par rapport au nombre de degré de liberté, ils sont largement
présentés dans la littérature: actionnés, sous-actionnés et enfin complètement
passifs.
Une des premières tentatives de faire marcher des robots bipèdes purement
par gravité, sans aucun actionnement, a était faite par McGeer [3], qui a démontré
que le robot planaire peut descendre une pente superficielle, seulement par gravité.
Les trois dimensions analogiques d’un robot de puissance du plan gravité ont été
également démontrées [4].
5
Chapitre I
Les robots bipèdes complètement actionnés tels que Honda humanoïdes [5]
et japonais HRP-2P [6, 7] et plusieurs autres [8,9] sont de l'autre extrême. Ceux-ci
surmonte la limitation de ne pas avoir un actionneur entre le pied et le sol en
s'assurant que le pied reste plat sur le sol pendant le cycle de la marche. Ceci est
fait en sorte que le moment au point zéro (MPZ) (qui est la dynamique analogue du
centre de gravité (CDG) pour le cas statique) reste à l'intérieur du polygone de
sustentation donnée par la surface de contact du pied.
Les pieds passifs n’ont pas besoin de systèmes de contrôle élaborés, alors les
pieds actifs ont besoin de contrôleurs très complexes. D'une part, les premiers ne
consomment pas d'énergie mais la modulation de mouvement est limitée. D'autre
part, les systèmes actifs demandent plus d’énergie et une complexité plus chère.
Entre ces deux systèmes se situe le système sous actionné. En outre, comme
mentionné auparavant, les robots à marche entièrement actionné, le pied est placé
horizontalement et à plat sur le sol, en opposition avec la marche humaine où les
pointes de pied le long des bords après l'attaque du talon et avant le décollage. Par
conséquent, afin de rendre le robot marcheur plus anthropomorphique le sousactionnement est important. Aussi en marche bipède, le suivi strict des trajectoires
prédéfinies n'est pas critique. D’autre part, le critère tel que la périodicité, le
dégagement au sol du pied balançant et la forme approximative des trajectoires
sont importants. Depuis un bipède, il n'est pas nécessaire de suivre un ensemble
particulier de trajectoires articulaires, il ne serait pas absolument essentiel d'avoir
un actionneur à chaque liaison. En outre, en raison de contraintes naturelles, il ne
peut pas être un actionneur entre le pied et le sol. Par conséquent, dans la phase où
le pied n’est pas à plat sur le sol et roule le long de la pointe ou le talon, il est donc
sous-actionné. [10,11].
Ces faits montrent que l'étude des bipèdes comme des systèmes non linéaires
sous-actionnés peuvent aider davantage la compréhension du contrôle et du suivi
de trajectoire des systèmes bipèdes. L'exigence la plus importante pour tout
6
Chapitre I
système d’être utilisé comme un bipède est l'existence de cycles limités. Un
système entièrement actionné peut être amené à passer par une trajectoire, mais
pour un système non linéaire sous-actionné, il est difficile de prouver
analytiquement l'existence des cycles limites. Plusieurs études intéressantes ont été
publiées sur les systèmes bipèdes sous-actionnés. Grizzle et al. [12,13] ont utilisé
la méthode de Poincaré pour montrer l'existence de valeurs des cycles limites ainsi
que la stabilité asymptotique d'une unité de commande pour un robot bipède avec
une cheville non-actionnée. Le contrôleur a essentiellement stabilisé certaines
sorties à zéro et il a été montré que la dynamique de zéro associé n'entraîne pas
l’instabilité du robot. Dans cette méthode, le sous-actionnement est limité aux
chevilles et de nombreux calculs numériques doivent être effectués pour démontrer
la stabilité via la méthode de Poincaré. Ono et al. [14,15] ont montré qu’un couple
de hanche proportionnelle à l'angle d'articulation de genou génère un cycle limite
stable dans un bipède à quatre bras avec un genou actionné seulement au niveau de
l’articulation de la hanche. Il n'existe aucune preuve analytique de l'existence de
ces cycles limites et elles ont été établis à l'aide des simulations dynamiques de
l'avant du robot mobile. Chevallereau et al. [16,17] ont utilisé une méthode en deux
étapes pour générer un bipède mobile où une trajectoire possible a été générée en
utilisant l'optimisation numérique et un contrôle basé sur le temps a été conçu pour
garantir la convergence géométrique avant la convergence temporelle des
trajectoires désirées. Un inconvénient majeur est qu'il n'y a aucune garantie que
l'on peut toujours trouver des trajectoires possibles avec la routine d'optimisation
numérique. Cambrini et al. [18] ont proposé une méthode de linéarisation en
utilisant une forme pour contrôler un robot mobile sous-actionnée à l'articulation
de la cheville. Une autre approche de linéarisation partielle de rétroaction pour un
bipède avec une cheville non actionnée a été présentée par Chemori et al. [19].
Les études existantes sur les robots bipèdes sous-actionnés utilisent soit des
méthodes numériques pour établir l'existence de cycles limites soit ils sont limités
au sous-actionnement seulement au niveau de l’articulation de la cheville.
7
Chapitre I
Il n'existe pas une méthode analytique pour générer des cycles limites pour une
disposition plus générale des articulations non actionnées.
Figure I.2: Le schéma sur la gauche est un manipulateur de chaîne
ouverte (3 degrés de libertés) et le robot fabriqué à droite.
I.3.
Les manipulateurs à chaîne ouverte
Le sous-actionnement peut avoir plusieurs avantages pour les manipulateurs
de chaîne ouverte qui sont généralement utilisés comme manipulateurs industriels,
(figure I.2). Parmi les avantages les plus cités [20-21-22] la réduction dans les
coûts, des considérations en poids mort, les économies d'énergie avec moins
d’actionneur, et le gain en tolérance concernant la défaillance de l'actionneur. Un
système sous-actionné est incapable de suivre les trajectoires arbitraires pour ses
degrés de liberté, mais sous certaines conditions [2-23] il peut effectuer des
mouvements point-à-point. Ces mouvements point-à-point peuvent avoir plusieurs
applications industrielles telles que la mise en place et la reprise des objets à partir
des endroits spécifiés.
8
Chapitre I
La complexité mathématique et les perspectives diverses d’application ont
rendus les
manipulateurs sous-actionnés très sollicités par les chercheurs. La
linéarisation rétroaction partielle est une technique basée sur le contrôle des
manipulateurs sous-actionnés avec 2degrés de liberté dans le plan horizontal [21].
La stabilisation des manipulateurs sous-actionnés avec 2 degrés de liberté dans un
plan horizontal en utilisant une variation dans le temps avec rétroaction conçue par
l'analyse du plan de Poincaré est présentée dans [24]. Un mouvement périodique
de l'articulation active est utilisé pour stabiliser l'articulation passive d'un
manipulateur sous-actionnée avec 2-DOF dans le plan horizontal à un angle
arbitraire [25]. Ici, le comportement de l'articulation passive est décrit dans le plan
de Poincaré, et l'amplitude de l'articulation active est modifiée en fonction de l'état
de l'articulation passive. Dans [26], Suzuki et al. ont utilisé une méthode moyenne
pour approximer le système et de concevoir la commande de rétroaction. D'autres
œuvres remarquables sur le contrôle des robots planaires sous-actionnés avec 2DOF sont mentionnés dans [27-28].
Arai el al. [20] ont montré un manipulateur planaire à trois DOF avec la
dernière articulation passive pour être contrôlable par un procédé constructif en
absence de gravité. Ils ont construit les trajectoires entre les états terminaux
arbitraires en considérant le mouvement du centre de percussion de la liaison. De
Luca et al. [29-30] ont montré que le centre de percussion est une sortie de
linéarisation avec la linéarisation dynamique d'une rétroaction, même en présence
de gravité. Une autre approche basée sur les évaluations pour commander un
manipulateur sous-actionné à 3 degrés de liberté en absence de gravité à l'aide
d’une forme enchaîné est présentée dans [31]. Une technique de commande à base
d'énergie pour stabiliser l'équilibre de deux et trois articulations des manipulateurs
sous-actionnés sont présentées dans [32]. La démonstration de la contrôlabilité de
N articulations d’un manipulateur ayant une seule articulation passive, pas au
niveau de l’articulation inertielle fixe, a été présenté par Kobayashi et al. [33].
9
Chapitre I
Luca et al. [40] ont rapporté une autre étude avec un seul sous-actionnement à la
dernière articulation des manipulateurs planaires, sur la base du centre de
percussion de la dernière articulation. Les propriétés de contrôlabilité des
manipulateurs de trois DOF, RRR et PPR pour les emplacements possibles de
l'articulation passive unique a été étudiée par Mahindrakar et al. [34]. Paradigmes
de contrôle pour N articulations des manipulateurs planaires avec une première
articulation passive a été rapporté par Grizzle et al. [22]. La plupart de la
documentation actuelle pour les manipulateurs planaires sous-actionnés se
concentre sur les systèmes avec une seule articulation non actionnée. La nonlinéarité et le couple nature peuvent agir sur les équations différentielles pour
rendre le contrôle point-à-point. La plupart des manipulateurs planaires avec
plusieurs articulations non actionnées restent toujours sans solution.
I.4.
Contrôle des systèmes sous-actionnés: la solution stratégique
La planification et le contrôle des systèmes sous-actionnés étudiés ci-dessus
ainsi que les systèmes sous-actionnés en général, n'est pas un problème résolu.
Actuellement, les méthodes de contrôle disponibles pour les systèmes sousactionnés sont applicables uniquement dans des situations très spécifiques ou bien
sont limités pour le contrôle d'un sous-système de l’ensemble des sous-actionnés
en utilisant dans la rétroaction une linéarisation partielle [2] tout en maintenant la
stabilité du reste du système.
Le contrôle des systèmes sous-actionnés par rapport aux systèmes plats
actionnés est sensiblement difficile vu ces limitations évoquées. Les systèmes plats
actionnés, en dehors des questions de conception pratiques, n'ont pas de limites
théoriques pour le suivi d'un mouvement arbitraire. Autrement dit, tous les
mouvements possibles de ses degrés de liberté (DOF) sont dynamiquement
réalisables. D'autre part, pour un système sous-actionné il n’y a que ces
mouvements qui sont dynamiquement réalisable et qui ne nécessitent pas d’entrées
pour ces DOF non actionnées.
10
Chapitre I
Par conséquent, un système sous-actionné est incapable de suivre tout mouvement
arbitraire. Cependant, un système sous-actionné pourrait être capable de poursuivre
la trajectoire arbitraire entre un point initiale et final dans son espace d'état.
Un système sous-actionné avec cette propriété est appelé un système sous-actionné
contrôlable [2]. Il convient de noter que les systèmes plats actionnés sont toujours
contrôlables [2]. Un tel mouvement point-à-point peut être utile pour les
manipulateurs en milieu industriel pour choisir la position entre les stations
spécifiées ou dans des situations telles que les robots marcheurs où le suivi exacte
des trajectoires par le robot n'a pas d'importance, mais la forme globale des
trajectoires avec satisfaction de contraintes comme la garde au sol, la réaction
normale du sol positif etc.. sont importants. Il existe des méthodes analytiques bien
établies [2] pour établir la propriété de contrôlabilité des systèmes sous-actionnés.
Cependant, ces méthodes ne disent pas si le système est capable d'exécuter un
mouvement point-à-point et elles ne fournissent pas une méthode pour construire
une trajectoire reliant les deux points. Pour un système sous-actionné toutes les
trajectoires reliant les deux points ne sont pas réalisables et en général la
caractérisation de l'ensemble des trajectoires possibles reliant deux points pour un
système sous-actionné contrôlable nécessite des procédures itératives. Une fois une
trajectoire possible trouvée, la conception de suivre la trajectoire possible d'un
contrôleur pour un système sous-actionné est également une tâche difficile.
La platitude différentielle [23-35-36] est une propriété des systèmes
dynamiques (plat actionné ou sous-actionnée), elle fournit une approche
systématique unifiée à planifier dynamiquement les trajectoires possibles et
concevoir le contrôle qui permet de suivre ces trajectoires. Cependant, les systèmes
sous-actionnés en général ne sont pas différentiellement plat. Une fois la géométrie
globale d'un robot est fixée, il y a encore des paramètres, tels que la distribution
d'inertie et la localisation des éléments durs lors du mouvement. L'approche
adoptée dans ce travail est d'utiliser ces paramètres et des systèmes de conception
11
Chapitre I
sous-actionnés pour être différentiellement plat et permettant une planification et
un contrôle systématique. Ceci est motivé par un travail antérieur [37-38] où les
robots de l'espace étaient conçus pour être différentiellement plat en modifiant la
distribution d'inertie de la dernière liaison du robot.
Cette approche intègre la conception d'un système avec sa planification et les
aspects de contrôle. Dans la section suivante, on va présenter une brève aperçu sur
la théorie de la platitude différentielle.
I.5.
La platitude différentielle
La platitude différentielle est une propriété des systèmes de contrôle
dynamiques, Fliess et al. [35-36]. La platitude différentielle, fournit un cadre
d’analyse unifié pour la planification de la trajectoire et le contrôle des systèmes
non linéaires. Ceci est particulièrement utile pour les systèmes sous-actionnés non
linéaires où il est difficile de planifier et de concevoir analytiquement les
trajectoires possibles. La condition nécessaire pour qu’un système de commande
soit différentiellement plat est qu'il doit être commandé.
Définition I.5.1 Un système est dit commandable au temps t0 s’il est possible
de transférer le système de l’état initial x(t0) à un autre état dans un intervalle fini
de temps de moyen d'un vecteur de contrôle sans contrainte.
Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système soit contrôlable
peuvent être trouvés dans [2-39]. En général, le système de commande est
différentiellement plat s’il existe un ensemble de sorties, appelées sorties plates, en
nombre égal au nombre d'entrées, tels que tous les états et les entrées peuvent être
exprimées en termes algébriques de ces sorties et d’un nombre fini de leurs
dérivés.
Définition I.5.2 Un système donné par :
x  f ( x, u ) ;
x n , u m
(I.1)
12
Chapitre I
est différentiellement plat si et seulement s’il existe un ensemble fini de variables
T
indépendantes, égales au nombre d'entrées, appelé sorties plates y  [ y1 ,..., ym ] de
telle sorte que :
y  y ( x, u, u,..., u ( p ) )
(I.2)
x  x( y, y , 
y..., y ( r ) )
(I.3)
u  u ( y, y , 
y..., y ( q ) )
(1.4)
En outre, pour un système plat, il existe une entrée inversible et des
transformations d'état qui peuvent transformer les systèmes non linéaire en formes
canoniques linéaires (chaîne linéaire commandable d'intégrateurs). Une trajectoire
arbitraire pour les sorties plates correspond à l’état original du système des
trajectoires de références. Cela rend la planification possible dans le domaine de
sortie plate. En outre, le retour linéaire du contrôle peut être conçu dans le domaine
des sorties plates linéaires par la fermeture de la boucle sur les erreurs dans les
sorties plates et leurs dérivées. Des applications intéressantes de la platitude basées
sur la planification de trajectoire et le contrôle pour les systèmes sous-actionnés
peuvent être trouvées dans [40-41-42]. Les conditions nécessaires et suffisantes
pour que le contrôle général du système soit différentiellement plat n'ont pas
encore été trouvés et que certaines conditions suffisantes existent.
La condition suffisante largement employée pour la platitude différentielle est
la linéarisabilité à retour statique [2] décrite ci-dessous:
Définition I.5.3 le contrôle d’un système de la forme :
m
x  f ( x)   g i ( x)ui
i 1
n
m
, x  , u 
(I.5)
est dit linéarisable à retour d’état statique si et seulement s’il est possible de
trouver un difféomorphisme :
z  ( x) , z  n
(I.6)
13
Chapitre I
et la loi de commande de rétroaction :
u   ( z )   ( z )v , v   m
(I.7)
de telle sorte que le système de (I.5) est transformé en un système linéaire
équivalent : z  Az  Bv
(I.8)
Où :
0

0
A  

0
0

1 0 ... 0 
0 

 
0 1 ... 0 
0 
     , B=   

 
0 0 ... 1 
0 

 1
0 0 ... 0 
 
(I.9)
Les conditions nécessaires et suffisantes pour la linéarisabilité de retour
statique peuvent être trouvées dans [2]. Pour un système à entrée unique, la
linéarisabilité de rétroaction statique est nécessaire aussi bien comme condition
suffisante pour la platitude différentielle, mais pour les systèmes multi-entrées, ce
n’est qu’une condition suffisante. Le système multi-entrées qui n'est pas
linéarisable à retour statique peut-être différentiellement plat par la linéarisation à
retour dynamique:
Définition I.5.4 Un système de commande :
x  f ( x, u ) ;
x n , u m
(I.10)
est linéarisable à retour dynamique si et seulement s’il existe une extension
q
dynamique c.-à-d. si et seulement s’il existe une série de nouveaux états z   et
m
des entrées v   qui dépendent du système (I.10) et qui donnent :
x  f ( x, u ) , u  b( x, z , v) , z  a ( x, z , v)
(I.11)
de telle sorte que le nouveau système obtenu dans (I.11) est linéarisable de retour
statique. Les conditions nécessaires et suffisantes mentionné précédemment pour
prouver qu’un système est linéarisable à retour dynamique n'ont pas encore été
trouvés. Certaines conditions suffisantes pour la linéarisation à retour dynamique
14
Chapitre I
comme la linéarisation par prolongation peuvent être trouvé dans [43-44].
Plusieurs applications intéressantes de la platitude différentielle pour la
planification et le contrôle des systèmes sous-actionnés peuvent être trouvées dans
[41-42-45].
I.6.
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons exposé la problématique et l’état de l’art des
travaux dans le domaine de la platitude
en donnant
un aperçu sur
la
méthodologie de la platitude différentielle appliquée à certaines classes des
manipulateurs planaires sous-actionnés à chaîne ouverte et les robots marcheurs
bipèdes introduit brièvement avec son approche unifiée à planifier dynamiquement
les trajectoires possibles et à concevoir le contrôle qui permet de suivre ces
trajectoires .
15
Chapitre II
Outils pour la commande des systèmes
plats
Chapitre II
Outils pour la commande des systèmes plats
Chapitre II
II.1. Introduction [46]
Dans ce chapitre nous allons présenter les outils nécessaires pour l’analyse
des systèmes non linéaires plats. Nous introduisons d’abord les concepts les plus
courants de la géométrie différentielle, notamment les difféomorphismes, les
variétés, les champs de vecteurs, les dérivées de Lie, les distributions, champs de
vecteurs en dimension infinie et la notion de systèmes, dont le formalisme est
nécessaire pour la définition de la platitude. Pour plus de détails se référer à [47],
[48-49]. Nous traitons, ensuite, une nouvelle relation d’équivalence appelée
équivalence par bouclage dynamique endogène dans le cadre de l’algèbre
différentielle, et équivalence de Lie Bäcklund dans le cadre de la géométrie
différentielle. Cette équivalence permet le passage d’un système non linéaire à un
système linéaire trivial [36], [47-50], [51], [48-49], [52],. Nous terminons par des
rappels liés à cette notion d’équivalence comme la commandabilité linéaire et non
linéaire [51], [48].
II.2. Généralités
II.2.1. Variété
Définition 1 : Etant donnée une application différentiable  de R n dans R n  p
(0  p  n ) , on suppose qu’il existe au moins un x0 solution de l’équation implicite
 (x) = 0 et que l’application linéaire tangente D  (x) est de rang plein (n - p)
16
Chapitre II
dans un voisinage V de x0. On appelle variété différentiable de dimension p
l’ensemble X défini par l’équation implicite  (x) = 0. Autrement dit :
(II.1)
X  {x  V ,  ( x)  0}
Si en outre, F est k fois différentiable, on dit que X est une variété de classe
Ck.k =1,…, 
II.2.2.Difféomorphisme
Définition 2 : Etant donné une application  d’un ouvert u  n dans un ouvert
v  n de classe Ck , k  1. On dit que  est un difféomorphisme local de classe Ck
dans un voisinage U(x0) d’un point x0 de U si  est inversible de U(x0 ) dans un
voisinage V (  (x0 )) du point  (x0) de V et si  1 est aussi de classe Ck.. [48-49]
II.2.3.Champ de vecteurs
Définition 3 : Un champ de vecteurs f (de classe Ck, analytique) sur X est une
application (de classe Ck, analytique) qui à tout x  X fait correspondre le vecteur
f(x)  TxX. (TxX est l’espace tangent à X au point x  X).
II.2.4.Courbe intégrale
Définition 4 : Une courbe intégrale du champ de vecteurs f est une solution locale
de l’équation différentielle x  f ( x) .[48-49]
II.2.5.Dérivée de Lie
Définition 5 : Soit h une fonction de classe C 1 de n dans  . On appelle dérivée
de Lie de h dans la direction f, notée Lfh, la dérivée de h le long de la courbe
intégrale de f en t=0. Autrement dit :
L f h( x) 
n
d
h
h( X t ( x))t  0   f i ( x)
( x)
dt
xi
i 1
(II.2)
17
Chapitre II
Par cette formule, un champ de vecteurs f quelconque est identifié à l’opérateur
différentiel linéaire du premier ordre. [48-49]
n
L f   fi ( x)
i 1

xi
(II.3)
II.2.6. Crochet de Lie
Définition 6 : Le crochet des champs de vecteurs f et g est le champ de vecteurs
défini par :
(II.4)
L[ f , g ]  L f Lg  Lg L f
En coordonnées locales:
n  n 
g
f   
[ f , g ]      f1 i  g j i  
  x j
x j   xi
i 1  j 1 
(II.5)
Le crochet de Lie jouit en particulier des propriétés suivantes :

Antisymétrie : [ f , g] = -[g, f ] ;

 f
,  g     f , g    L f   g    L g   f , pour toute paire  ,   de fonctions
C .

Identité de Jacobi: f 1 ,  f 2 , f 3   f 2 ,  f 3 , f 1   f 3 , f 1 , f 2   0
Il vérifie aussi la propriété suivante :

  * f 1 ,  * f 2    *f 1 , f 2 
 est un difféomorphisme de la variété X dans la variété Y.
f 1 , f 2 sont des champs de vecteurs arbitraires de X.
 *f 1 ,  *f 2 sont leurs images dans Y. Pour plus de détails voir [48].
18
Chapitre II
II.2.7. Distributions de champs de vecteurs
Définition 7 : Une distribution de champs de vecteurs D est une application qui à
tout point x  X fait correspondre le sous-espace vectoriel D(x) de TxX. [48-49]
Soit V un ouvert de X. La distribution D est régulière et de rang constant k dans V
s’il existe des champs de vecteurs réguliers g1,…., gk tels que :
rang  g 1 (x )....g k (x )   k pour tout xV.
D(x) =e.v.g1 (x),… , gk (x)K pour tout xV.
Définition 8 : La distribution D est dite involutive si et seulement si pour tout
couple de champs de vecteurs f et g de D on a : f , gD. Une distribution
involutive est donc caractérisée par : D, DD
Si D n’est pas involutive, on peut définir sa clôture involutive. [48-49]
Définition 9 : La clôture involutive D est une distribution qui est la plus petite
distribution involutive contenant D. [48-49]
II.3. Brève introduction à la géométrie des jets infinis
II.3.1.Jets infinis, coordonnées
Considérons le système [48-49] :
x  f ( x, u )
(II.6)
où f est de classe Csur un ouvert X U n m.
f est, en fait, une suite infinie de champs de vecteurs paramétrés par u. Plus
précisément, pour définir une courbe intégrale (solution de l’équation différentielle
(II.6)), on ne doit pas seulement spécifier la condition initiale x0 à l’instant t=0,
mais aussi la fonction infiniment dérivable (on dira lisse dans la suite) t  u(t) sur
un intervalle de temps donné. Cette dépendance de dimension infinie par rapport à
l’entrée u est relativement mal commode si l’on veut utiliser des bouclages
19
Chapitre II
dynamiques par exemple. Donc, il apparaît nécessaire de développer un
formalisme légèrement différent où les courbes intégrales de (II.6) sont décrites de
façons plus compactes comme des fonctions lisses t  (x(t), u(t)), paramétrées
seulement par des conditions initiales. En d’autres termes, on est amené à
considérer
des
conditions
initiales
ayant
la
forme
d’une
suite
infinie  0  (x 0 ,u 0 ,u0 ,..., u 0(  ) ,...) , où les dérivées de différent ordre de u à l’instant t=0
sont notées u 0(  ) , avec   0 . Ceci nous conduit à compléter les coordonnées
originales
(x,
u)
par
la
suite
infinie
de
coordonnées
0  (x 0 ,u 0 ,u0 ,..., u 0(  ) ,...)  X xUx m , où l’on note m  m  m  ... le produit d’un
nombre dénombrable de copies de m .
II.3.2.Champs de vecteurs
Dans ce contexte, une fonction lisse est une fonction qui dépend de façon
infiniment dérivable d’un nombre fini (mais arbitraire) de coordonnées. Le champ
de vecteurs f admet dans ces coordonnées un prolongement naturel [48-49].
F ( )  ( f ( x, u ), u , u)
(II.7)
et l’équation (II.6) devient :
  F ( )
(II.8)
avec V(0)=V0. Ainsi, (2.8) définit un champ de vecteurs au sens habituel sur une
variété de dimension infinie M  X U  m [48-49].
On arrive à la même conclusion par un autre raisonnement en calculant la
formule de dérivée de Lie comme suit : Prenons une fonction lisse h, dépendant de
façon infiniment dérivable de x, u et un nombre fini r de dérivées de u. On adopte
les notations usuelles
n
h
h
f 
fi
x
i 1 xi
(II.9)
20
Chapitre II
et
h ( k 1) m h ( k 1)
u
  ( k ) ui
u  k 
i 1 ui
(II.10)
La dérivée de h le long d’une trajectoire de (II.6) est donnée par
h h
h
h

f  u  ...  ( r ) u ( r 1)
t x
u
u
(II.11)
et ce en tout point (x (t ),u (t ),u (t ),...,u ( r ) ,...). Notons que, bien que h ne dépende que
des dérivées de u jusqu’à l’ordre r, la coordonnée u ( r 1) apparaît, ce qui constitue
une raison supplémentaire pour considérer des coordonnées formées par la suite
infinie des dérivées de u.
Cette formule s’interprète comme la dérivée de Lie de h par rapport au champ de
vecteurs de dimension infinie.
( x, u , u (1) , u (2) ,...)  F ( x, u , u (1) , u (2) ,...)
(II.12)
ou encore avec des notations plus simples à partir de la formule de dérivée de Lie
précédente (II.11) :
F ( x, u, u (1) , u (2) ,...)  f ( x, u )



  u ( j 1) ( j )
x j  0
u
(II.13)
Notons que chaque composante de F est une fonction lisse, (c'est-à-dire,
dépend de façon infiniment dérivable d’un nombre fini de coordonnées).
II.3.3. Systèmes
Ainsi, au système (II.6) où f est une famille infinie de champs de vecteurs
paramétrée par u, on préfère substituer la définition suivante de système,
constitué d’un champ de vecteurs sur une variété de dimension infinie : [48-49]
Définition 10 : Un système est la donnée d’une paire (, F) où F un champ de
vecteurs lisses sur M  X U  m
21
Chapitre II
Remarque : Une différence importante liée à la représentation en dimension
infinie de (II.6) par rapport à la représentation usuelle est que la notion de
dimension d’état est perdue. En fait, dans notre formalisme les équations suivantes:
x  f ( x, u ), ( x, u )  X  U  n  m
(II.14)
x  f ( x, u )
(II.15)
u  v
(II.16)
ont la même description (M,F) , avec M  X U  m et
f ( x, u , u (1) , u (2) ,...)  ( f ( x, u ), u (1) , u (2) ,...)
(II.17)
En effet, l’application t (x(t),u(t)) est une trajectoire de (II.14) si, et seulement
si, l’application t  (x (t ),u (t ),u (t )) est une trajectoire de (II.15). Une telle situation
n’est pas surprenante puisque la dimension d’état n’est pas préservée par bouclage
dynamique.
Exemple :
Le système trivial  m ,T m  , de coordonnées y  ( y 1 ,..., y m ) , y (1)  ( y 1(1) ,..., y m (1) ) ,
y ( m )  ( y1( m ) ,..., ym ( m ) ) et dont le champ de vecteurs, dit champ de vecteurs trivial noté
Tm est donné par :
Tm ( y, y (1) , y (2) ,...)  ( y (1) , y (2) ,...)
(II.18)
ou, en termes d'opérateur différentiel, l'équation :
m
Tm ( y, y (1) , y (2) ,...)   y ( j 1)
i 1 j  0

yi ( j )
(II.19)
représente n’importe quel système constitué de m chaînes d’intégrateurs de
longueurs arbitraires, et en particulier le transfert direct yi ui , i 1,…, m.
22
Chapitre II
II.4. Equivalence au sens de Lie-Bäcklund et bouclages dynamiques
II.4.1.Equivalence
Nous nous intéressons maintenant à définir une relation d’équivalence, dite de
Lie Bäcklund, permettant de formaliser le fait que deux systèmes sont
"équivalents" s’il existe une transformation inversible qui échange leurs
trajectoires. Elle s’appuie sur la notion d’isomorphisme de Lie-Bäcklund utilisée
en physique mathématique. Comme nous le verrons dans la suite, cette équivalence
est beaucoup moins restrictive que la notion classique, par difféomorphisme et
bouclage statique d’état, et s’interprète en termes de bouclages dynamiques [48-49]
Considérons deux systèmes (M, F) et (N, G) et une application lisse
 : M  N . Par définition, chaque composante d’une telle application ne dépend
que d’un nombre fini de variables. Soit p  M et notons q   ( p ) .
Si t   (t ) est une trajectoire de (M, F) dans un voisinage de p , c'est-à-dire,
(II.20)
t (t )  F ( (t )).
Alors l’application composée t   (t )   ( (t )) reste dans un voisinage de q et
satisfait la règle des dérivées composées :
 (t ) 


( (t ),  (t )) 
( (t ), F ( (t ))


(II.21)
Insistons encore une fois sur le fait que ces expressions ne contiennent que
des sommes finies, même si les vecteurs et les matrices ont des tailles infinies.
Alors, si les champs de vecteurs F et G sont  - reliés en (p, q), c'est-à-dire :
 , G ( ) 

( , F ( ))

(II.22)
Alors pour tout  dans un voisinage de p, on a :
(II.23)
 (t )  G (( (t )))  G ( (t ))
23
Chapitre II
Ce qui signifie que t   (t )   ( (t )) est une trajectoire de (N, G). Si de plus 
admet une application inverse régulière  alors F et G sont également  reliés en
(q, p), et il existe une correspondance locale entre les trajectoires des deux
systèmes.
Une telle application  qui échange F et G est appelée transformation endogène.
Nous sommes donc conduits à introduire la définition suivante [48-49] :
Définition 10 : Soit  une application lisse bijective de (, F) dans (N, G) au
voisinage du couple de points (p, q) avec p M et q (p) N dont l’inverse
aussi est supposée lisse, et est notée . On dit que est un isomorphisme de LieBäcklund en (p,q) si, et seulement si, les champs de vecteurs F et G sont - reliés
en (p, q) et les champs G et F sont aussi -reliés en (q, p).
Les isomorphismes de Lie-Bäcklund conduisent naturellement au concept
d’équivalence de Lie-Bäcklund suivant [48-49] :
Définition 11 : Deux systèmes (M, F) et (N, G) , sont dits Lie-Bäcklund équivalents
en (p,q) M  N si et seulement si, il existe une application lisse  d’un voisinage
de p sur un voisinage de q= (p) qui soit un isomorphisme de Lie-Bäcklund en (
p,q). (M,F) et (N,G) sont Lie-Bäcklund équivalents s’il existe une application lisse
 d’un ouvert dense D  M dans N qui soit un isomorphisme de Lie-Bäcklund
de(M,F) dans (N,G) au voisinage de toutes paires de points (p,  (p)) , avec p dans
D.
Théorème 1 : Si les deux systèmes (M, F) et (N, G) sont Lie-Bäcklund équivalents,
ils admettent le même nombre d’entées indépendantes.
Théorème 2 : Deux systèmes linéaires commandables sont Lie-Bäcklund
équivalents si, et seulement si, ils ont le même nombre d’entrées indépendantes.
24
Chapitre II
II.4.2. Bouclages dynamiques
II.4.2.1. Transformations dynamiques endogènes
Définition 12 : La notion d’équivalence endogène est généralement définie en
utilisant des transformations dynamiques endogènes. Pour ces transformations
particulières, l’état et la commande u du bouclage dynamique s’expriment en
fonction de l’état et d’un nombre fini de dérivées de la commande u [48-49].
k  C ( x, u,..., u ( q ) )
(II.24)
v  D( x, u,..., u ( q ) )
II.4.2.2. Bouclages dynamiques endogènes
On considère le système (M, F) dont la représentation en dimension finie est [4849] :
x  f ( x, u )
(II.25)
Un bouclage dynamique est la donnée d’une équation différentielle de la forme :
z   ( x, z , v)
(II.26)
et un bouclage :
(II.27)
u   ( x, z , v )
Le système bouclé est alors donné par :
x  f ( x,  ( x, z , v))
(II.28)
z   ( x, z , v)
Un tel système peut avoir la propriété de non accessibilité, c’est-à-dire ne pas
pouvoir revenir du système bouclé au système d’origine par un autre bouclage
dynamique [48-49].
Définition 13 : Soit le système (, F). On appelle bouclage dynamique endogène
un bouclage dynamique de la forme :
25
Chapitre II
z   ( x, z , v)
(II.29)
u   ( x, z , v )
tel que le système bouclé soit Lie-Bäcklund (L-B) équivalent au système (M, F).
Théorème 3 : Supposons que les deux systèmes (M, F) et (N, G) définis par
x  f (x , u ) et
y  g ( y ,v ) sont L-B équivalents, alors il existe un bouclage
dynamique endogène :
z   ( x, z , v)
(II.30)
u   ( x , z; v )
tel que le système bouclé :
x  f ( x,  ( x, z , v))
(II.31)
z   ( x, z , v)
soit difféomorphe au système prolongé :
y  g ( y, w)
(II.32)
w( r 1)  v
pour un entier r assez grand. [48-49]
II.5. Systèmes commandés, commandabilité
II.5.1. Commandabilité des systèmes linéaires
La commandabilité fait partie des propriétés dites structurelles qui
caractérisent les systèmes et permettent éventuellement de les classifier par leurs
propriétés géométriques et algébriques. Elle est indispensable dans les applications
pour qu’un système puisse être convenablement commandé mais ne permet pas,
cependant, de construire des lois de commande de façon effective, sauf
éventuellement dans le cas des systèmes linéaires. Cependant, elle sert
d’introduction à de nombreuses questions d’une grande importance pratique,
comme la planification de trajectoires [48-49].
26
Chapitre II
II.5.1.1.
Critère de Kalman
Soit le système linéaire :
x  Ax  Bu
(II.33)
où xn est le vecteur d’état et um est le vecteur des entrées. La matrice A est
de taille nn et B de taille nm. [48-49]
Définition 14 : On dit que la paire (A, B) ou encore le système (II.33) est
commandable si, étant donnés un instant T 0 et deux points quelconques x0 et xT
de n , il existe une fonction du temps t  u (t ) de 0,Tdans m continue par
morceaux, telle que la solution x (t ) de (II.33) engendrée par u et ayant pour
condition initiale x (0)  x 0 vérifie x (T )  x T .
Autrement dit :
T
e AT x0   e A(T t ) Bu (t )dt  xT
(II.34)
0
Cette propriété ne dépend en fait que des matrices A et B comme le montre le
théorème suivant dû au critère de Kalman.
Théorème 4 : Une condition nécessaire et suffisante pour que le système (II.33)
soit commandable est que le rang de la matrice :
  ( B  AB  An1 B)
(II.35)
soit égal à n.
La matrice est appelée matrice de commandabilité de Kalman. Elle est de taille
nnm.
II.5.1.2.
Forme canonique de commandabilité
La notion de la forme canonique fait référence à une classification qui ellemême fait référence à une relation d’équivalence : On commence par décrire les
27
Chapitre II
systèmes qui sont équivalents entre eux, puis on détermine les représentants
(donnés par leurs forme canonique) de toutes les classes disjointes.
Définition 15: On dit que deux systèmes x  Ax  Bu et Z  Fz  Gv sont équivalents
par changement de base et bouclage s’il existe deux matrices M et L inversibles et
une matrice K, tel que si x et u satisfont : x  Ax  Bu , et si z =Mx et v =Kx+Lu,
alors z et v satisfont Z  Fz  Gv , et inversement.
M est la matrice de changement de base, inversible de taille n  n, et K et L
sont les matrices de bouclage, avec L de taille m  m inversible et K de taille m  n.
De l’inversibilité des deux matrices M et L, on déduit immédiatement que les
deux systèmes équivalents ont mêmes dimensions d’état et d’entrées. Pour
exprimer que cette équivalence ne dépend que des matrices des deux systèmes, on
dit aussi que les paires (A,B) et (F,G) sont équivalentes [48].
Théorème 5 ( Brunovsky) : Tout système linéaire commandable à n états et m
entrées correspondant à une paire (A, B) est équivalent à sa forme canonique
F  diag {F1 ,..., Fm },G  diag {g 1 ,..., g m } où chacune des paires Fi , g i est de la forme :
0
0

Fi   

0
0
0  0
1
0 

 

0 0
1
0 0
0 
0
0
;
0
0
 
gi     ,
 
0
1 
(II.36)
i=1,…,m
avec Fi de taille n i  n i et g i de taille n i 1 ; les entiers n1 ,..., n m étant les indices de
m
commandabilité de (A, B) , et vérifiant 1  ni  n et
n
i
n
i 1
Les conséquences de ce résultat sont très importantes puisqu’à l’aide de la
forme canonique on peut facilement planifier les trajectoires et concevoir des
bouclages. Pour simplifier nous donnons un exemple pour le cas mono-entrée.
28
Chapitre II
II.5.1.3.
Détermination des trajectoires de référence par la méthode
polynomiale
Soit le système commandable x  A x  bu à n états et 1 entrée. Ce système
étant équivalent à z  Fz  gv avec z = Mx , v = Kx+Lu. Si l’on veut aller d’un point
x (0)  x 0 à un point x (T )  x T , partant à l’instant 0 avec la commande u (0)  u 0 et
z (0)  Mx 0 arrivant à l’instant T avec la commande x (T )  uT , il suffit de traduire
ces conditions sur z et v :
z (0)  Mx0 , v(0)  Kx0  Lu0 , v(T )  KxT  LuT
(II.37)
puis de remarquer, qu’à partir de (II.36), que la première composante de z, que l’on
rebaptise y pour plus de clarté, vérifie [53]:
y ( i )  z (i )  zi 1

(II.38)
y (n)  z (n)  v
i=0,…,n-1
avec y (i ) 
di y
.
dt i
Ainsi, les conditions (II.37) s’interprètent comme des conditions sur les
dérivées successives de y jusqu’à l’ordre n aux instants 0 et T. Par conséquent, si
on considère une courbe n fois différentiable t  [0,T ]  y ref   , vérifiant les
conditions initiales et finales (II.37), l’ensemble des autres variables du système
s’en déduiront par simple dérivation, et sans intégrer les équations du système. En
particulier, l’entrée v sera obtenue en dérivant n fois y ref par rapport au temps et la
commande u ref se déduira par uref   LKM 1 zref  L1vref , avec zref  ( yref , y ref ,..., yref( n1) )
De même, la trajectoire de xref s’obtient par xref  M 1 zref et l’entrée uref ainsi
obtenue réalise exactement xref  Axref  buref
29
Chapitre II
Reste à trouver la courbe y ref . Or, en utilisant la théorie de l’interpolation, on
peut trouver un polynôme du temps de degré au moins égal 2n+1 tel que les n+1
conditions initiales et les n+1 finales soient vérifiées, et qui, en tant que polynôme
de degré 2n +1, sera automatiquement n fois différentiable :
2 n 1
yref (t ) 
t
ai  

T 
i0
i
(II.39)
Les coefficients a0 ,..., a2 n 1 se calculent en égalant les dérivées successives de
y ref prises aux instants 0 et T aux conditions initiales et finales respectivement :
y
(k )
ref
2 n 1
t
i (i  1)...(i  k  1)ai  

T 
i k
1
 k
T
ik
(II.40)
Soit, à t = 0 :
(k )
yref (0)  a0 , yref
(0) 
vref (0) 
k!
an ,
Tn
k  1,..., n  1,
n!
an
Tn
(II.41)
et à t =T :
2 n 1
yref (T ) 
a,y
i
(k )
ref
(T ) 
i 0
vref (T ) 
k ! 2 n 1 i !
ai k  1,..., n  1

T k i  k (i  k )!
n ! 2 n 1 i !
ai

T n i  n (i  1)!
(II.42)
(II.43)
Ce qui fait au total 2n+2 équations linéaires en les 2n+2 coefficients
a0 ,..., a2 n 1 , qui peuvent, en fait, se ramener à n+1 équations linéaires en les n+1
coefficients inconnus an 1 ,..., a2 n 1 , puisque les n +1 premières équations (2.41) sont
résolues en a0 ,..., an :
a0  yref (0), ak 
T K (k )
Tn
yref (0), k  1,..., n  1, an 
vref (0)
K!
n!
30
(II.44)
Chapitre II
Notons que le système linéaire (II.42) a toujours une solution unique car on peut
l’écrire :
n


y
(
T
)

ai
1
1
1

1



ref


i 0
 n 1



n2
2n  1   a2 n 1 




 
 (n  1)n (n  2)(n  1)
(2n  1)2n  

n
   k (k )
i!

 

T
y

a


ref
i
 
 


(
i

k
)!
i

k




(n  2)!
(2n  1)!   a2 n 1  


 (n  1)!



2
(n  1)! 

 T n vref (T )  n !an 


(II.45)
et la matrice de gauche à toutes ses colonnes indépendantes, ce qui achève la
construction de la trajectoire de référence.
II.5.1.4.
Suivi de trajectoire, placement de pôles
Il est possible aussi d’utiliser la forme canonique pour concevoir des
bouclages : soit le système canonique sous la forme :
yn  v
(II.46)
On suppose que l’état complet x est mesuré à tout instant. Si on désire suivre
la trajectoire y ref , telle que y ref( n )  v ref , qu’on vient de construire, et que le système
est soumis à des perturbations non modélisées, l’écart entre la trajectoire réelle et
sa référence est donnée par :
(II.47)
e  y  yref
et vérifie :
e( n )  v  vref
(II.48)
Notons que si l’on mesure l’état x, on est en mesure de calculer à chaque instant cet
écart et de s’en servir pour ramener cet écart à 0.
En posant :
31
Chapitre II
n 1
v  vref   K i e(i )
(II.49)
i0
ou matriciellement :
 0

 e   0

 
   
 e( n ) 

  0
 k
 0
1
0
0
1
0

0
 k1
 k2

0 
 e 
0 

e 



  
1   ( n 1) 
e

 kn 1 
(II.50)
On vérifie facilement que les gains k i sont les coefficients du polynôme
caractéristique de la matrice ainsi construite, si bien qu’on peut placer les valeurs
propres où l’on veut dans le plan complexe en choisissant convenablement les
gains. Si les gains sont choisis de sorte que toutes les racines du polynôme
caractéristique soient à partie réelle négative, la dynamique de l’écart est
exponentiellement stable [53].
II.5.2 Commandabilité des systèmes non linéaires
Considérons maintenant un système non linéaire [54]:
x  f ( x, u )
(II.51)
où l’état x appartient à un ouvert de n , et l’entrée u est de dimension m.
On peut définir plusieurs notions de commandabilité. La notion la plus proche de
ce qui précède, mais la plus restrictive, concerne la commandabilité locale autour
d’un point d’équilibre (x ,u ) , c'est-à-dire tel que f (x , u ) .
II.5.2.1.
Commandabilité au premier ordre
Définissons alors le système linéarisé tangent au point d’équilibre par [54]:
x  Ax  Bu , A 
f
f
 x,u , B   x,u 
x
u
(II.52)
32
Chapitre II
Définition 16 : On dit que le système (II.51) est commandable au premier ordre au
point d’équilibre  x ,u  si le rang de , défini par (II.33) est égal à n.
Une autre définition possible est la suivante [54]:
Définition 17 : Le système (II.51) est localement commandable au point
d’équilibre (x ,u ) si pour tout 0 il existe 0 tel que pour toute paire de points
x 1  x   , il existe une commande u
(x 0 , x 1 ) n  n vérifiant x 0  x   et
continue par morceau sur 0,telle que u (t )   , t 0,et X  (x 0 ,u )  x 1 , où
l’on a noté X  (x 0 ,u ) la solution de (II.51) à l’instant , générée à partir de x 0 à
l’instant 0 et par la commande u .
Autrement dit, le système est localement commandable au point d’équilibre (x, u)
si l’on peut aller d’un point à un autre, situés tous deux suffisamment près du point
d’équilibre, en une durée arbitrairement courte et avec une commande
suffisamment petite.
Théorème 6 : Si le système (II.51) est commandable au premier ordre au point
d’équilibre (x ,u ) , il est localement commandable en (x ,u ) .
II.5.2.2.
Commandabilité locale et crochets de Lie
Pour simplifier, on considère que le champ f de (II.51) est affine en la commande.
Autrement dit, que le système (II.51) est donné par [54]:
m
x  f 0 ( x)   ui f i ( x)
(II.53)
i 1
avec f 0 (0)  0 , de sorte que x 0 et u 0 est un point d’équilibre.
À partir des champs de vecteurs f 0 ,..., f m , on construit la suite de distributions
suivante :
(II.54)
D0  e.v{ f1 ,..., f m }, Di 1  [ f 0 , Di ]  Di , i  1
33
Chapitre II
où D i est la clôture involutive de la distribution D i .
Dans la suite, nous supposerons qu’il existe un ouvert x   n dans lequel toutes les
distributions considérées sont de rang constant.
Théorème 7 : Une condition nécessaire pour que le système (II.53), avec f 0 (0)  0 ,
soit localement commandable à l’origine est que la distribution D* construite par
la récurrence (2.54) vérifie : rang (D * (x ))  n , x U ; où U est un voisinage de
l’origine.
Remarque : La suite de distributions D i est non décroissante, c'est-à-dire
D i  D i 1 pour tout i, et il existe un entier k * et une distribution involutive D * tels
que D k  D k
*
*
r
 D * pour tout r0. En outre, D * jouit des deux propriétés
suivantes :
 e .v {f 1 , , f m }  D *
 [f 0 , D * ]  D *
Théorème 8 : Supposons les m 1 champs de vecteurs f 0 ,..., f m analytiques. Si le
Système (II.53) est localement commandable en x 0 et u 0, alors
Lie {f 0 ,..., f m }(x )  T x n , x  X
Pour plus de détails et de démonstrations voir [54], [48].
II.6. Conclusion
Dans ce chapitre nous avons rappelé les notions les plus courantes de la
géométrie différentielle : variétés, difféomorphismes, dérivées de Lie et les
distributions. Ensuite, nous avons donné une brève introduction sur la géométrie
des jets infinis ; cette introduction est nécessaire pour la définition des systèmes
plats ainsi que pour l’étude de l’équivalence et des bouclages dynamiques
endogènes. Par la suite, nous avons traité, une relation d’équivalence entre un
34
Chapitre II
système non linéaire et un système linéaire trivial, appelée équivalence de LieBacklund, dont la dimension des états n’est pas nécessairement identique. Cette
différence de dimension se traduit par l’élaboration d’un bouclage dynamique qui
nous permet de transformer le système initial vers un système trivial. Les états de
ce type de bouclage sont engendrés par l’état et un nombre fini de dérivées de la
commande du système initial. Aussi, nous avons introduit certains rappels liés à
l’équivalence comme la commandabilité linéaire et non linéaire.
35
Chapitre III
Les systèmes plats
Chapitre III
Les systèmes plats
Chapitre III
Les systèmes plats
III.1. Introduction
La notion platitude est une propriété caractérisant une classe de systèmes non
linéaires. Elle a été définie dans le cadre de l’algèbre différentielle, puis dans le
cadre de la géométrie différentielle [36], [47], [55], [48-49].
Le concept de la platitude introduit une notion d’équivalence entre un système
non linéaire et un système linéaire commandable. Cette équivalence porte le nom
d’équivalence par bouclage dynamique endogène dans le cadre de l’algèbre
différentielle et d’équivalence de Lie-Bäcklund dans le cadre de la géométrie
différentielle. Pour plus de détails se référer à [36], [47], [55], [51], [48], [49],
Le concept de la platitude a été mis en œuvre dans plusieurs domaines
d’application, comme par exemple la commande des réacteurs chimiques, la
commande des processus thermiques, la commande des moteurs, la commande de
suspension active ou semi active, le pilotage automatique des avions ou encore le
pilotage de grues [36], [55], [48], [52], [56], [57].
Il est important de noter que les systèmes plats sont une généralisation des
systèmes linéaires commandables dans le sens où tout système linéaire
commandable est plat.
Dans ce qui suit, nous rappelons la définition algébrique de la notion de
platitude. La définition de la platitude dans le cadre du formalisme géométrique est
rappelée en annexe.
36
Chapitre III
Les systèmes plats
III.2. Définition de la platitude dans le cadre de l’algèbre différentielle
Dans le contexte de l’algèbre différentielle, un système est vu comme un
champ de vecteurs généré par un ensemble de variables (états et commandes). La
caractéristique essentielle des systèmes plats est qu’il existe un vecteur de sorties
plates de dimension égale à la dimension du vecteur de commande, tel que ses
composantes soient des fonctions différentielles des variables du système, et telle
que toute variable du système (on ne fait pas de distinction entre les variables
d’état et les entrées du processus) puisse s’exprimer à partir de ces sorties et d’un
nombre fini de leurs dérivées, sans intégration d’équations différentielles [36],
[50], [55], [58], [48].
Pour définir les systèmes plats, considérons le système non linéaire régi par
l’équation différentielle suivante :
x  f ( x, u )
(III.1)
où x n est l’état, u m est l’entrée de commande et f est une fonction régulière
de classe C  de x et de u , dont le rang de la matrice Jacobienne
f
est égal à m
u
(c'est-à-dire, le système admet effectivement m commandes indépendantes). [4849]
Définition 18 : Un système non linéaire modélisé par (III.1) est dit
différentiellement plat si, et seulement si, il existe un vecteur de sorties plates
y  m différentiellement indépendantes, de dimension égale à celle du vecteur de
commande u, dépendant de x et de u et d’un nombre fini r de ses dérivées :
y   ( x, u, u,..., u ( s ) )
(III.2)
tel que :
x  0 ( y, y ,..., y ( r ) )
(III.3)
u  1 ( y, y ,..., y ( r ) , y ( r 1) )
37
Chapitre III
où  : n   m 
Les systèmes plats
s 1
 m , 0 : (m ) r 1  n 1 : (m )r  2  m fonctions régulières. r :
est le degré relatif.
Cela revient à dire que tout le comportement dynamique du système (III.1) peut
être décrit par le comportement dynamique de la sortie plate y.
A y(t) définie pour t  [0, T], les trajectoires sont de la forme :
x(t )  0 ( y, y ,..., y ( r ) )
(III.4)
u (t )  1 ( y, y ,..., y ( r ) , y ( r 1) )
où r est un entier.
Par la suite, nous utiliserons la terminologie «systèmes plats » pour nommer la
classe particulière des modèles non linéaires respectant la définition 18.
Exemple : Soit le système suivant :
 x1  x3  x2u

 x2   x2  u

 x3  x2  x1  2 x2 (u  x2 )
(III.5)
En posant :
y1  x1 
x22
2
y2  y1  ( x3  x2u )  x2 (u  x2 )
(III.6)
 x3  x22
y 3  y 2  y1  x 2  x 1  2x 2 (u  x 2 )  2x 2 (u  x 2 )
v  y3  y1(3)   x3  x2u  x2  u
  x2  x3  u (1  x2 )
Où la commande u apparaît à la 3ème dérivation. Il vient alors :
38
Chapitre III
Les systèmes plats
 y1   0 1 0  y1   0 
d  
   
y2    0 0 1  y2    0  v

dt   
   
 y3   0 0 0  y3   1 
(III.7)
y 1 joue le rôle de la sortie de Brunovsky, mais dans le cadre non linéaire on dit que
c’est une sortie plate. C’est encore un changement de variable que nous avons
effectué et y 1 permet de paramétrer toutes les trajectoires du système : autrement
dit x1 , x2 , x3 , u s’écrivent au moyen de y1 , y1 , y1 , y1(3) .
-
pour calculer x 1 on résout (x 1 ) 2  2x 1 (1  y1 )  y12  2 y 1  0 .Le discriminant est
positif si, et seulement si 1  2( y 1  y1 )  0 . Les deux solutions sont :
x 11  (1  y1 )  1  2( y 1  y1 )
x 12  (1  y1 )  1  2( y 1  y1 )
Nous choisissons la bonne solution grâce aux différents arguments : continuité
de la grandeur x 1, sens physique, … etc.
Dans ce cas, nous ne retenons que la plus grande valeur des deux solutions :
x1  (1  
y )  1  2( y1  
y1 )
-
ensuite x 2  y1  x 1
-
puis x 3  y1  y12  2x 1 y1  x 12
-
enfin u 
(III.8)
y 1(3)  y12  y1  x 1  2x 1 y1  x 12
1  x 1  y1
Ce qui montre que x 2 et u s’expriment en fonction de x 1 et d’un nombre fini de ses
dérivées. Donc, le système (3.5) est plat avec x 1 comme sortie plate.
Remarque : La transformation obtenue à partir de la sortie plate y 1 x revient à
mettre le système sous forme canonique commandable (forme de Brunovsky) qui
s’écrit ici y (4)  v .
39
Chapitre III
Les systèmes plats
III.3. Platitude et linéarisation
Les systèmes non linéaires plats ont la propriété d’être équivalents à des
systèmes linéarisables par bouclage dynamique endogène [55], [49]. Avant
d’introduire ce type de bouclage, rappelons d’abord la linéarisation par
difféomorphisme et bouclage statique.
III.3.1. Linéarisation par difféomorphisme et bouclage statique
Pour le système dynamique donné par (III.1), le problème de linéarisation par
difféomorphisme et bouclage statique consiste à trouver un changement de
coordonnées (un difféomorphisme  de classe C  ) donné par :
  ( x)
(III.9)
(0)  0
et un bouclage statique d’état de la forme :
(III.9)
u   ( x )   ( x )v
avec (0) 0, et (x) inversible. , sont de classe C  . Après bouclage et
changement de coordonnées, nous obtenons un système linéaire commandable de
la forme :
(III.10)
  A  Bv
  n est l’état associé à la nouvelle entrée de commande v du système linéaire
équivalent donné par (III.10). Il est représenté sur la figure III.2.
Figure III.1 : Système non linéaire bouclé équivalent à un système linéaire.
40
Chapitre III
Les systèmes plats
Ce bouclage est dit statique car on peut passer de l’entrée v à l’entrée u et
réciproquement sans intégrer des équations différentielles grâce aux équations
suivantes :
u   ( x )   ( x )v
(III.11)
v    1 ( x) ( x)   1 ( x)u
Des conditions nécessaires et suffisantes d’existence d’un bouclage statique
linéarisant, en termes de crochets de Lie pour un système affine en la commande,
ont été proposées par Isidori [54].
Pour les systèmes non linéaires ayant la représentation d’état suivante :
m
x  f ( x)   g i ( x)ui ,
x n
(III.12)
i 1
où f , g1 , g 2 ,..., g m sont des champs de vecteurs de classe C  vérifiant :
f (0)  0,
(III.13)
rang{g1 (0), g 2 (0),..., g m (0)}  m
les expressions de (x) et (x) de la formule (III.11) sont données par :
 ( x) 
 Lnf y
Lg L f y
(III.14)
 ( x)  ( Lg L(fn 1) y ) 1
L(f n ) y
est la dérivée nième de Lie de la sortie mesurée y suivant le champ de vecteur
f.
Lg y
est la dérivée de Lie de la sortie mesurée y suivant le champ de vecteur g
L f L g y est la dérivée de Lie de la sortie y suivant les champs de vecteurs f et g.
A partir de (3.12) on définit les distributions suivantes :
G0  span{g1 ,..., g m }
Gi  Gi 1  ad if Gi 1
pour i  1
(III.15)
41
Chapitre III
Les systèmes plats
où span correspond à l’espace engendré par les vecteurs g1 , g 2 ,..., g m , et ad fi G 0 itéré
i fois avec ad fi  [f , ad fi 1 ] pour i  1 .
Théorème 9 : Pour qu’un système non linéaire admette une linéarisation par
bouclage statique, il faut et il suffit que dans un voisinage V du point d’équilibre
(x, u) (0,0):
1.
La famille G i soit une famille involutive et de rang constant pour tout
i0,.....,n2où n est la dimension du vecteur d’état.
2.
G n 1 soit de rang n.
Notons que la seconde condition du théorème est l’extension naturelle du critère de
commandabilité dans le cas linéaire : rang (A , AB ,..., A n 1B )  n .
III.3.2.
Linéarisation par bouclage dynamique endogène
Un système dynamique donné par (III.1) est linéarisable par bouclage
dynamique s’il existe un bouclage dynamique endogène défini par :
w  a ( x, w, v)
w ( q ) , v m
(III.16)
u  b( x, w, v)
où w est l’état du compensateur et est la commande du système augmenté, et un
changement de coordonnées défini par un difféomorphisme sur l’espace d’état
étendu sur ( n q ) .
  ( x, w),   n q
(III.17)
de telle sorte que le système augmenté est donné sous la forme de la représentation
d’état suivante :
 x   f ( x, b( x, w, v) 
 

 w   a( x, w, v)

  

(III.18)
42
Chapitre III
Les systèmes plats
puisse être linéarisable par bouclage statique, c'est-à-dire qu’il puisse être
représenté sous la forme canonique de Brunovsky suivante :
y1k1  v1
y2k2  v2

(III.19)

ymkm  vm
où k i est l’indice de commandabilité associé à y i .
Corollaire 1 : Tout système plat est linéarisable par bouclage dynamique
endogène. Inversement, tout système linéarisable par bouclage dynamique
endogène est plat.
En outre, si le système admet une représentation d’état de dimension n à m entrées,
m
il existe des entiers r1 ,..., rm avec
r
i
 n tel que x et u soient donnés par :
i 1
x   0 ( y1 , y1 ,..., y1( ri ) ,..., ym , y m ,..., ym( rm ) )
(III.20)
x  1 ( y1 , y1 ,..., y1( ri 1) ,..., ym , y m ,..., ym( rm 1) )
et tel que le système bouclé est difféomorphe au système linéaire commandable
sous forme canonique :
y2( r1 1)  v1

(III.21)
ym( rm 1)  vm
Remarque : L’ensemble des difféomorphismes et bouclages statiques d’états étant
de façon évidente, un sous ensemble strict des bouclages dynamique endogènes.
Les systèmes linéarisables par difféomorphisme et bouclage statique d’état
43
Chapitre III
Les systèmes plats
(souvent appelés plus simplement linéarisables par bouclage statique) forment
donc un sous ensemble strict de l’ensemble des systèmes plats.
Dans le cas des systèmes mono-entrée (m=1) , il a été montré que la platitude
est équivalente à la propriété de la linéarisation par bouclage statique d’état. La
propriété de la platitude nous révèle donc toute sa richesse, et que dans le cas
multi-entrées ou la linéarisation par bouclage statique et par bouclage dynamique
ne sont plus équivalentes.
III.3.3. Quelques propriétés liées à la platitude
III.3.3.1.
Systèmes linéarisables par bouclage statique
Il est connu que, tout système linéarisable par bouclage statique admet une
forme normale de Brunovsky. Il est donc plat. On note qu’un système plat n’est
pas, en général, linéarisable par bouclage statique sauf pour les systèmes avec une
seule commande.
III.3.3.2. Système à une seule commande
Avec une seule commande, la linéarisation par bouclage dynamique implique
la linéarisation par bouclage statique.
III.3.3.3. Systèmes affines en commande
Un système de la forme :
n 1
x  f 0 ( x)   u j g j ( x)
;
x n
(III.22)
i 1
c’est-à-dire avec une commande de moins que l’état est plat dès qu’il est
commandable. La situation se complique très sensiblement lorsque la dépendance
en u n’est plus affine.
44
Chapitre III
III.3.3.4.
Les systèmes plats
Algorithme d’extension dynamique
Pour simplifier nous présentons 2 sorties plates, c’est-à-dire 2 commandes. La
méthode est parfaitement générale.
Nous voulons savoir si un couple ( y1 , y2 ) de sorties est un couple de sorties
plates d’un système possédant un état de dimension n. Au cours du test, nous
obtenons les bouclages linéarisants correspondants :
1. Dériver y1 jusqu’à faire apparaître une combinaison des commandes.
2. Nous notons n1 le nombre de dérivations nécessaires.
3. Dériver y2 jusqu’à faire apparaître une autre combinaison des commandes.
4. Nous notons n2 le nombre de dérivations nécessaires, y1( n )  w1
2
puis :
-
si n1  n 2  n , le système admet ( y1 , y2 ) pour sorties plates. Le bouclage
linéarisant nous est donné alors, par (w1, w2 ).
-
sinon, ( y1 , y2 ) n’est pas un couple de sorties plates pour le système.
Nous pouvons également commencer par y2 puis dériver y1 , nous obtenons
généralement un autre bouclage, mais le test n1  n 2  n est le même dans les deux
cas.
III.4. Génération des trajectoires pour les systèmes plats
Avant d’aborder le problème de génération de trajectoires, nous rappelons la
définition de base d’un système commandable. Soit le système [48-49]:
x  f ( x, u )
(III.23)
Définition 19 : Le système (III.23) est commandable en boucle ouverte, si pour
tout couple (x 0 , x f ) , il existe une fonction t u(t) mesurable, tel que le problème
de Cauchy.
45
Chapitre III
Les systèmes plats
x  f ( x(t ), u (t ))
x  t0   x0
possède une solution sur [t 0 , t f ] vérifiant
x (t f )  x f . Le temps t f est fixé ou
arbitraire suivant les conditions considérées, mais fini.
En général, il est très difficile de déterminer une trajectoire (x(t), u(t))
résolvant l’équation (III.28). Lorsque le système est commandable et linéaire, le
calcul de ces trajectoires est plus aisé [49].
D’autre part, dans le cas des systèmes plats, les trajectoires (x(t), u(t)) de
(III.28) s’expriment en fonction de la sortie plate y et d’un nombre fini de ses
dérivées c’est-à-dire :
x(t )  0 ( y (t ),..., y ( r ) (t ))
u (t )  1 ( y (t ),..., y
( r 1)
(III.24)
(t ))
Avec
y (t )  h( x(t ), u (t ),..., u ( k ) (t ))
(III.25)
Ainsi, la génération de trajectoires d’un système plat est résolue en translatant le
problème sur l’espace réduit des sorties plates, comme il est montré sur la figure
suivante :
Figure III.2 Génération de trajectoires
46
Chapitre III
Les systèmes plats
Définition 20 : La procédure de génération de trajectoires se ramène au calcul de
la valeur de la sortie plate y et un nombre fini de ses dérivées aux instants initial ti
et final t f .
Dans ce qui suit nous allons traiter le cas de génération de trajectoires sans
contraintes. Pour le cas dual, c'est-à-dire une génération avec contraintes se référer
à [48-49]
Les conditions de platitude sont équivalentes à l’existence d’une sortie plate
telle que toutes les variables du système, y compris la commande, puissent
s’exprimer en fonction de la sortie plate et d’un nombre fini de ses dérivées. Dans
ce cas, les équations différentielles du système sont vérifiées.
Il en résulte que, si l’on veut construire des trajectoires dont les conditions
initiales et finales sont spécifiées, il suffit de calculer la trajectoire de la sortie plate
correspondante à ces instants. Plus précisément, nous avons :
x(t )   0 ( y (t ),..., y ( r ) (t ))
(III.26)
u (t )  1 ( y (t ),..., y ( r 1) (t ))
Comme les valeurs initiales et finales de x et u sont données, la surjectivité de
( 0 , 1 ) permet de déterminer les valeurs initiales et finales de ( y , y ,..., y ( r 1) ) . Il
suffit ensuite de trouver une trajectoire t  y(t) au moins (r +1) fois dérivable qui
satisfait ces conditions initiales et finales. Ensuite, les trajectoires x(t) et u(t) se
déduisent directement de y(t) et de ses dérivées jusqu’à l’ordre (r +1) à partir de
(III.4).
Comme la trajectoire t  y(t) ne doit vérifier aucune équation différentielle
grâce à la propriété de l’indépendance différentielle, nous pouvons simplement la
construire par l’interpolation polynomiale, de façon analogue à la synthèse
proposée dans le cadre des systèmes linéaires.
47
Chapitre III
Les systèmes plats
III.5. Conclusion
Nous avons étudié dans ce chapitre, le problème de génération de trajectoires
pour les systèmes non linéaires plats.
En premier lieu, nous avons abordé le problème de génération de trajectoires
sans contraintes. Nous avons commencé par introduire la méthode générale qui
nous permet la génération. Ensuite, nous avons traité le cas particulier des
trajectoires dites arrêt-arrêt. Pour cette méthode, la génération de trajectoires se
réalise à partir des formes temporelles polynomiales pour les sorties plates
choisies. Le calcul des coefficients de ces polynômes s’effectue de manière à
satisfaire les conditions initiales et finales de la dynamique du système initial.
En deuxième lieu, nous nous sommes intéressés à un problème pratique qui
concerne la majorité des systèmes physiques. Ce problème est la génération de
trajectoires sous contraintes, car dans la majorité des situations pratiques les
actionneurs sont sujets à de multiples contraintes. Ce qui limite et restreint
l’ensemble des trajectoires de référence que le système peut suivre. La génération
proposée pour ce problème se base sur une reparamétrisation du temps des
trajectoires de référence des sorties plates.
48
Chapitre IV
Conception de la platitude différentielle
Chapitre IV
Chapitre IV
IV.1 Introduction
Le but de ce chapitre est d'illustrer la platitude différentielle basée sur la
conception pour la planification et le contrôle des systèmes sous-actionnés par
deux exemples simples (un robot mobile à deux roues et d’un autre robot
manipulateur à deux-liens sous-actionnés). Les équations cinématiques et
dynamiques pour ces deux systèmes sont présentées et les challenges de contrôle et
de planification derrière ce système sont mis en premier plan. Une stratégie qui
aborde les challenges en intégrant la planification et le contrôle avec la conception
des deux systèmes est présentée. L’approche consiste à concevoir deux systèmes
de la manière à exhiber la propriété de la platitude différentielle où le retour
procure une méthode systématique pour planifier et contrôler les trajectoires
possibles. Par la suite, le modèle cinématique et dynamique des deux robots
reconçus respectivement sont dérivés et la platitude différentielle de ces systèmes
est prouvée. La platitude différentielle basée sur la planification et le contrôle est
illustrée. La méthodologie est résumée dans la dernière section et il est noté qu'une
telle approche peut être appliquée aux classes plus générales des systèmes sousactionnés.
49
Chapitre IV
Figure IV.1: Robot mobile à deux-roues.
b est la moitié distance entre les deux roues du robot. a est la distance entre le
point milieu O et le centre de gravitée C le long de la direction longitudinale
positive du robot mobile.
Figure IV.2: Robot sous-actionné à 2-liens.
La première articulation d’inertie fixe est actionnée mais, la deuxième articulation
n’est pas actionnée. Les points rouges représentent les centres de masse des liens
respectifs.
50
Chapitre IV
IV.2. Robot à deux roues [46]
IV.2.1. Planification et contrôle
Les manipulateurs mobiles sont des systèmes intrinsèquement non holonomes
où la base mobile est soumise à des contraintes non holonomes qui résultent du
non glissement sur les roues.
Le modèle cinématique du système est écrit comme suit :
x  v cos 
y  v sin 
  
(IV.1)
v  z1
où : x , y ,  , v ,  et z1 sont les paramètres du système.
Les sorties plates peuvent être exprimées par :
F   F1 , F2   ( x, y )
(IV.2)
La propriété de platitude différentielle du système avec ces sorties plates peut
être démontrée en exprimant toutes les variables d'état et les variables d'entrée en
fonction des sorties plates et leurs dérivées.
Les dérivées des variables d'état sont :
 x, y   ( F1 , F2 )
v  F12  F22
 F 
  tan 1  2 
 F1 
z1  v 
(IV.3)
F1 F1  F2 F2
F 2  F 2
1
2
F F  F F
    1 22 1 2 2
F F
1
2
51
Chapitre IV
IV.2.2. Construction du difféomorphisme
Le difféomorphisme qui transforme les variables d'état de l'espace original à
l'espace de sortie plate peut être construit en dérivant les sorties plates :
F1  x
F2  y
F  v cos 
1
(IV.4)
F2  v sin 
F  z cos   v sin 
1
1
F2  z1 sin   v cos 
IV.2.3. La platitude différentielle basée sur la planification de la
trajectoire
Pour une période donnée [t0 tf], les conditions aux limites du système sont
données par :
x(t0 ), y (t0 ),  (t0 ), v(t0 )
(IV.5)
x(t f ), y (t f ),  (t f ), v(t f )
et sont transformées en :
F1 (t0 ), F1 (t0 ), F2 (t0 ), F2 (t0 )
(IV.6)
F1 (t f ), F1 (t f ), F2 (t f ), F2 (t f )
avec les trajectoires polynomiales suivantes :
F1d (t )  a3t 3  a2t 2  a1t  a0
3
(IV.7)
2
F2 d (t )  b3t  b2t  b1t  b0
En vertu de la platitude, les trajectoires F1, F2 sont des polynômes de degré 3
et les états initiaux et finaux du système peuvent être déterminés par les conditions
aux limites pour les deux sorties plates et leurs dérivées dans l'espace de sorties
plates du difféomorphisme.
52
Chapitre IV
En général, la planification d'une trajectoire désirée dans l'espace original
pour le mouvement point à point est très difficile, surtout lorsque le système est
contraint à des conditions non-holonomes, parce que toutes les trajectoires sont
réalisables. Cependant, l'un des principaux avantages de la propriété de platitude
différentielle est de choisir une trajectoire libre sur une période du temps dans
l'espace de sorties plates. La relation inverse est ensuite utilisée pour calculer
toutes les trajectoires dans l'espace d'état d'origine à partir des trajectoires prévues
des sorties plates dans l'espace de sorties plates. Il peut y avoir alors différentes
façons de générer les trajectoires désirées, telles qu'en utilisant une série de Fourier
[62], à titre illustratif. Nous avons sélectionné de simples trajectoires
polynomiales.[46]
IV.2.4. Conception de la loi de commande pour la platitude
différentielle
Une relation inversible entre les entrées et les dérivées supérieures des sorties
plates peut être construite en dérivant les sorties plates jusqu'à ce qu'une entrée
apparaît. La relation est donnée par :
 F1 
 U1 
   B 
U 
 F 
 2
 2
(IV.8)
où :
 cos 
B
 sin 
v sin  

v cos  
(IV.9)
L'équation (IV.8) peut être réécrite sous une forme d'équations linéaires :
F1  v1
(IV.10)
F2  v2
En choisissant les entrées U1 , U 2 comme :
53
Chapitre IV
 U1 
 v1 
   B 1  
U 
v 
 2
 2
(IV.11)
Donc, les lois d’asservissement v 1 , v 2 peuvent être proposées comme suit :
v1  F1d  k1 ( F1d  F1 )  k0 ( F1d  F1 )
(IV.12)
v2  F2 d  r1 ( F2 d  F2 )  r0 ( F2 d  F2 )
où F1d , F2d sont les trajectoires désirées pour les sorties plates F1, F2,
respectivement, et ki, ri sont des gains de contrôle. En substituant ces lois de
commande données par l'équation (IV.12) dans l'équation (IV.10) on détermine
l'erreur dynamique du système en boucle fermée comme suit :

e1  k1e1  k0 e1  0

e2  r1e2  r0 e2  0
(IV.13)
La boucle de régulation peut être représentée par le schéma suivant :
Figure IV.3 : Boucle de régulation pour le robot à deux roues
54
Chapitre IV
IV.2.5. Résultats de simulation
Un polynôme de troisième degré des trajectoires désirées au cours de
l'horizon [0 10s] sont générés pour les sorties plates F1(t) et F2(t) avec les
conditions aux limites suivantes :
x(0)  0, y (0)  0,  (0) 

4
, v(0)  0
x(10)  10, y (10)  10,  (10) 
(IV.14)

4
, v(10)  0
Par conséquent, les conditions aux limites correspondantes dans l'espace des
sorties plates peuvent être obtenues par le difféomorphisme construit à partir de
l'équation (IV.4) comme suit :
F1 (0)  0, F1 (0)  0, F2 (0)  0, F2 (0)  0
F1 (10)  10, F1 (10)  0, F2 (10)  10, F2 (10)  0
(IV.15)
Grâce à ces conditions aux limites, les coefficients des polynômes du
troisième degré donnés dans les équations (IV.7) peuvent être déterminés de
manière
unique.
La
trajectoire
désirée
d'orientation

du
robot
est
automatiquement obtenue à partir des trajectoires conçues pour les sorties plates F1
et F2 en utilisant l'équation (IV.3). Les valeurs des gains de commande dans
l’équation (IV.12) sont fixées à : k0  5, k1  2.5 et r0  2, r1  5 et pour minimiser
l’erreur de suivi en régime permanent, on a ajouté un intégrateur ki  4 . La
structure du planificateur intégré et le contrôleur qui est appliqué au modèle
cinématique du robot sont montrés respectivement dans la figure IV.3.
La figure (IV.4) présente les trajectoires désirées et réelles de notre robot.
55
Chapitre IV
10
trajectoire désirée
trajectoire mesurée
9
8
7
y(m)
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x(m)
6
7
8
9
10
Figure IV.4 : Les trajectoires désirées et mesurées du robot mobile à
deux roues
10
xd
xm
9
8
7
x(m)
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
temps(s)
6
7
8
9
10
(a)
10
yd
ym
9
8
7
y(m)
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
temps(s)
(b)
56
6
7
8
9
10
Chapitre IV
1.5
theta(rad)
1
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
temps(s)
6
7
8
9
(c)
Figure IV.5. : Les trajectoires désirées et mesurées de x(fig.a), y(fig.b) et
 (fig.c) du robot mobile à deux roues
Les résultats de simulation permettent la vérification et la validité de la
commande pour le modèle cinématique.
IV.3. Robot sous-actionnés à deux-liens
IV.3.1. Planification et contrôle
La planification et le contrôle de la trajectoire pour un système sous-actionné
est difficile qu'un système totalement actionné. Pour le moment, on considère le
système à deux liens montré à la figure IV.2. Il se compose de deux liens connectés
via des articulations rotoïdes. Des deux articulations, seulement la première est
actionnée et comme ça le système est sous-actionné par un seul actionneur. Les
équations du mouvement peuvent être dérivées en utilisant les méthodes d'énergies
et sont donnés par :
2
 M 11 M 12   q1   h(2q1q2  q2   1   u1 

      

  
M 21 M 22   q2  
2  0 
12

hq


  
  
M (q)
q
c ( q , q )
v(q)
u
Où : M 11  I1  I 2  m1a12  m2 (l12  a22  2l1a2 cos(q2 ))
57
(IV.16)
10
Chapitre IV
M 12  M 21  I 2  m2 (a22  l1a2 cos(q2 ))
M 22  I 2  m2 a22 , h   m2l1a2 sin(q2 ) , 1  (m1a1  m2l1 ) g cos(q1 )  m2 a2 g cos(q1  q2 )
et 2  m2 a2 g cos(q1  q2 )
Si le système a été complètement actionné avec les deux entrées disponibles
sur le côté droit de (IV.16), u  [u1 , u2 ]T , alors pour toute trajectoire désirée
qd (t )  [q1d (t ), q2 d (t )]T , nous pouvons obtenir une entrée ud (t ) capable de permettre au
système de suivre qd (t ) avec des conditions initiales appropriées. Il peut être obtenu
en remplaçant les dérivés du côté droit de (IV.16) et en résolvant pour les entrées
comme suit :
ud  M (qd )qd2  C (qd , qd )  V (qd )
(IV.17)
Du moment que le système est sous-actionné, seulement ces trajectoires
peuvent conduire à u2 = 0 dans (IV.17) et elles sont dynamiquement faisables. En
général pour les systèmes sous-actionnés, uniquement un sous-ensemble de toutes
les trajectoires possibles est dynamiquement faisable. Comme il a été mentionné
avant, dans la section I.4, pour un système général sous-actionné, une trajectoire
arbitraire peut comme elle ne peut pas être dynamiquement faisable, mais un
système sous-actionné ayant une propriété dite contrôlabilité est capable de
traverser entre un espace d’état arbitraire initial et final. Il existe des méthodes
analytiques pour savoir si le système sous-actionné est contrôlable ou non, mais en
général pour un système sous-actionné, il n'existe pas une méthode pour construire
des trajectoires entre deux états arbitraires dans une boucle fermée. Ce n’est pas
toutes les trajectoires liant les deux points sont dynamiquement faisables et pour
trouver une trajectoire faisable il faut résoudre itérativement le problème aux
valeurs limites.
58
Chapitre IV
IV.3.2. Stratégie de conception de la platitude différentielle
L'approche adoptée dans ce travail est de concevoir un système sous-actionné
pour être différentiellement plat. La platitude différentielle [23] est une propriété
des systèmes dynamiques et fournit une approche systématiquement unifiée pour
planifier dynamiquement les trajectoires faisables pour un mouvement point à
point et pour concevoir par la suite un contrôleur qui peut suivre ces trajectoires.
Dans le reste de cette section, la conception de la méthode de la platitude
différentielle est illustrée avec un simple exemple d’un système robotique à deux
liens indiqué sur la figure. IV.2.
Le modèle dynamique pour le système à deux liens de la figure. IV.2 sans
aucune modification spéciale dans la conception, est donné par l’équation (IV.16).
En utilisant les conditions de contrôlabilité pour les systèmes dynamiques [2], il
peut facilement être démontré que ce système est contrôlable. Par ailleurs, en
utilisant une des méthodes existantes [2], on ne peut pas démontrer qu’il est
différentiellement plat. Dans le but de le concevoir différentiellement plat, nous
proposons les deux conceptions suivantes:
- Redistribution d'inertie de la seconde liaison comme son centre de masse
s’étend sur la deuxième articulation. Cela peut être fait en ajoutant le centre de
masse à la deuxième articulation.
- Placement du ressort de torsion du couple dans la deuxième articulation
(nous supposons que sa position d'équilibre coïncide avec la position zéro du
deuxième angle de l'articulation).
Ces modifications dans la conception sont mises en premier plan dans la figure
IV.6. Dans les prochains paragraphes, le modèle dynamique du système reconçu
est analysé et sa propriété de la platitude différentielle est établie.
59
Chapitre IV
Figure IV.6 : Système reconçu du robot sous-actionné à 2-liens.
Le robot sous-actionné à 2-liens de la figure IV.2 est redessiné tels que le centre
de masse (COM) de la deuxième liaison se trouve au second axe d'articulation. Les
points rouges représentent les centres de masse des liens respectifs. Un ressort de
torsion avec contraction k2 est également fixé à la deuxième articulation de telle
sorte que la position de son équilibre est à q2  0 .
IV.3.3. Modèle dynamique
Les équations du mouvement pour ce système peuvent être dérivées de
l’équation (IV.16) en substituant la localisation du centre de masse pour le
deuxième lien a2  0 et en ajoutant le terme potentiel k2 q2 du au couple ajouté du
ressort dans la seconde équation. Le nouveau
modèle dynamique est donné
comme suit :
 M 11 M 22   q1   1   u1 

       
M 22 M 22   q2   2   0 


  
M (q)
q
v(q)
(IV.18)
u
60
Chapitre IV
Où : M 11  I1  I 2  m1a12  m2l12 , M 22  I 2 , 1  (m1a1  m2l1 ) g cos(q1 ) et 2  k2 q2
Il faut noter qu’à cause de la redistribution d'inertie, la nouvelle matrice
d'inertie est une constante et les termes de Coriolis et centripète ont disparu. Ceci
est cohérent avec le fait que les termes de Coriolis et centripète dépendent des
dérivées d'éléments de la matrice d'inertie.
IV.3.4 Sorties plates, difféomorphisme et entrées de transformations
Comme il a été mentionné précédemment dans la définition I.5.2, un système
est différentiellement plat si et seulement s’il existe un ensemble de sorties,
nommées sorties plates, égales en nombre aux entrées, de telle sorte que tous les
états et les entrées peuvent être algébriquement exprimés en fonction de terme des
sorties et d’un nombre fini de leurs dérivées [23].
Le système décrit par l’équation (IV.18) a un nombre n = 4 états et m = 1
entrée. Ainsi, pour montrer qu'il peut être différentiellement plat, nous devons
avoir une sortie plate m = 1 avec un degré relatif n= 4 égal au nombre d'états et
encore il démontre l'existence du difféomorphisme et des états d’entrées de la
transformation. Ce degré relatif d'une sortie peut être trouvé en différenciant avec
succès l'expression de sortie en fonction des états originaux du système. Dans
chaque différenciation, les expressions, les dérivées supérieures d’états peuvent
être substitués à partir des équations dynamiques. Le degré relatif sera de l'ordre de
la dérivée de la sortie dont l'entrée apparaît pour la première fois dans l'expression
dérivée.
Prenons la fonction de sortie donnée par :
(IV.19)
y  q1  q2
Sa dérivée première est donnée par :
y  q1  q2
(IV.20)
61
Chapitre IV
Il ne dispose pas d'entrée, donc nous différencions une deuxième fois :

y  q1  q2
(IV.21)
Ensuite, nous substituons q1  q2 de la seconde équation dans (IV.18) pour obtenir :

y
k 2 q2
M 22
(IV.22)
L'entrée n’apparue pas encore donc nous différencions une autre fois, on obtient:
k2 q2
M 22

y 
(IV.23)
Différencions une fois de plus nous obtenons :

y 
k2 q2
M 22
(IV.24)
En utilisant (IV.18), q2 peut être trouvé comme :
q2 
[ M 22u1  M 22 (m1a1  m2l1 ) g cos q1  M 11k2 q2 ]
M 22 ( M 11  M 22 )
(IV.25)
En substituant q2 dans (IV.24), nous obtenons

y 
k2 [ M 22u1  M 22 (m1a1  m2l1 ) g cos q1  M 11k2 q2 ]
2
M 22
( M 11  M 22 )
(IV.26)
L'entrée est apparue dans la quatrième dérivée de y, donc le degré relatif est 4.
Depuis ce degré relatif qui est aussi égal au nombre d'états, y est une sortie plate
valide pour le système. Pour compléter la démonstration de la platitude, nous
avons à montrer :
62
Chapitre IV
- L'existence de l'état inversible de la transformation (difféomorphisme) entre
les états originaux du système X  [q1 , q2 , q1 , q2 ]T et les sorties plates et leurs dérivées
(espace de sortie plate) Y  [ y, y , y, 
y ]T
-
La transformation d'entrée qui peut transformer le système non linéaire
dans une forme linéaire contrôlable canoniquement (chaîne d'intégrateurs).
Les équations (IV.19), (IV.20), (IV.22) et (IV.23) donnent les expressions des
états de sorties plates en termes des états originaux du système. Ceux-ci peuvent
être mis dans la matrice comme suit :
(IV.27)
Y  TX
1
1

0
0
où : T  
 0 k2 / M 22

0
0
0
0


1
1


0
0

0  k2 / M 22 
(IV.28)
Pour que cette transformation soit un difféomorphisme, T doit être inversible.
Pour ce simple cas d’une transformation linéaire 4 × 4, il est clair que T est
largement inversible du moment que k2  0 . Mais pour des transformations non
linéaires qui peuvent être
déterminées plus tard, nous pouvons établir
l’inversibilité par le renversement des expressions pour les dérivés de sorties plates
comme (IV.19), (IV.20), (IV.22) et (IV.23). Dans le but de la démonstration, nous
montrons également l’inversion en utilisant les mêmes équations. Les équations
(IV.22) et (IV.23) peuvent être facilement inversées pour avoir les expressions de
q2 et q2 comme suit :
q2  
M 22 
y
k2
(IV.29)
q2  
M 22
y
k2
(IV.30)
63
Chapitre IV
q2 et q2 peuvent être substitués dans (IV.19) et (IV.20) pour avoir les
expressions de q1 et q1
q1  y 
M 22 
y
k2
(IV.31)
q1  y 
M 22
y
k2
(IV.32)
Cette inversion montre bien que le difféomorphisme existe.
Pour l’entrée de la transformation, nous définissons une nouvelle entrée
comme suit :
v  
y
(IV.33)
En substituant cette nouvelle entrée dans (IV.26), nous pouvons résoudre la
première entrée comme suit :
u1 
2
[ M 22
( M 11  M 22 )v  k2 M 22 (m1a1  m2l1 ) g cos q1  M 11k22 q2 ]
k2 M 22
(IV.34)
Le système dynamique (IV.18) peut être transformé en forme canonique
contrôlable en fonction de la sortie plate Y et de la nouvelle entrée v est comme
suit :
Y  AY  bv
0

0
A 
0

0
1
0
0
0
(IV.35)
0
1
0
0
0
0 

 
0
0
, b=  
0 
1

 
0
 1
(IV.36)
Nous avons démontré que le système reconçu de la figure IV.6 est
différentiellement plat en vérifiant
toutes les conditions pour la platitude
différentielle données dans la définition. I.5.2.
64
Chapitre IV
IV.3.5 La platitude différentielle basée sur la planification de la
trajectoire
Dans le but de planifier dynamiquement des trajectoires faisables pour le
mouvement point-à -point pour un système sous-actionné, le problème de valeur
limite doit être résolu. Du moment que le système est différentiellement plat, les
trajectoires dynamiquement faisables pour le mouvement point à point peuvent être
planifiées analytiquement dans une forme fermée en termes de sorties et de
difféomorphisme. Les trajectoires d'état correspondantes à la sortie plate arbitraire,
par définition, satisfont déjà les équations dynamiques. Ainsi, le système peut
suivre toutes les trajectoires de la sortie plate. Cette propriété avec le
difféomorphisme, et la transformation de sortie nous permet de planifier la
trajectoire de notre système.
En absence de platitude, il faudrait intégrer la sortie plate afin de trouver les
trajectoires dynamiquement possibles. Ceci est illustré dans la figure IV.7 dans le
cas où le but est de ramener le système de l’état initial qi à l'instant ti vers l’état
final q f à l’instant t f . Après, nous démontrons cette procédure de planification avec
la liaison de 2 degrés de libertés sous-actionnée.
65
Chapitre IV
Figure IV.7: La planification des trajectoires en utilisant le difféomorphisme.
La planification des trajectoires est obtenue entre l’état initial qi à l'instant ti et l’état
final q f à l’instant t f . Dans l'état du système original, toutes les trajectoires d'état
de connexion qi et q f ne sont pas dynamiquement possibles. Les états initiaux et
finaux peuvent être convertis en des états de sortie plates correspondantes en
utilisant le difféomorphisme. Les trajectoires passant par ces états de sortie plates
pourraient être construites. Les trajectoires dynamiquement possibles de l'état
original et les entrées correspondantes pourraient être obtenues à partir de ces
trajectoires de sortie plate en utilisant respectivement le difféomorphisme et la
transformation d'entrée. Les trajectoires de sorties plates peuvent être modulées
pour aussi bien satisfaire les contraintes de mouvement supplémentaires.
Pour une période donnée [t0, tf], les conditions aux limites du système sont
données par :
q1 (t0 ), q2 (t0 ), q1 (t0 ), q2 (t0 ), q1 (t0 ), q2 (t0 )
(IV.37)
q1 (t f ), q2 (t f ), q1 (t f ), q2 (t f ), q1 (t f ), q2 (t f )
66
Chapitre IV
et sont transformées en :
y (t0 ), y (t0 ), 
y (t0 ), 
y (t0 )
(IV.38)
y (t f ), y (t f ), 
y (t f ), 
y (t f )
avec les trajectoires polynomiales suivantes :
yd (t )  a5t 5  a4t 4  a3t 3  a2t 2  a1t  a0
(IV.39)
Figure IV.8: Les trajectoires planifiées de sortie plate pour le robot sousactionné à 2-liens.
Figure IV.9: Les trajectoires planifiées de l'état original du système pour le
robot sous-actionné à 2- liens.
67
Chapitre IV
Dans l’étape suivante, nous concevons un contrôleur pour suivre ces
trajectoires.
IV.3.6 Conception de la loi de commande pour la platitude
différentielle
Une fois que la trajectoire est trouvée pour un système sous-actionné, la
conception d’un contrôleur qui permet de suivre les trajectoires de références n'est
pas un problème résolu pour un système sous-actionné. Si le système est
différentiellement plat, il peut être linéairement commandable en utilisant une
transformation d'entrée. Dans la section IV.3.1, la dynamique du robot à deux liens
sous-actionné donné par (IV.18) est transformée en une forme de chaîne
d'intégrateurs (IV.36) utilisant l’entrée de transformation (IV.35). Dans le reste de
cette section, un contrôleur de retour d'état est conçu dans le domaine de sortie
plate pour suivre les trajectoires planifiées en présence d'erreurs initiales. Le
système transformé est donnée par :

y v
(IV.40)
Où v est la nouvelle entrée. Il peut être représenté sous la forme d'espace d'état
comme il est indiqué au-dessous :
Y  AY  bv
(IV.41)
T
y
ou : Y   y, y , y, 
0

0
et : A  
0

0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0

 
0
0
,b   
0
1

 
0
1
(IV.42)
L'erreur peut être définie comme suit : ey  y  yd , où yd désigne la trajectoire de la
sortie plate prévue. De même, les états d’erreur peuvent être définis comme:
eY  Y  Yd . La dynamique d'erreur peut être construite en soustrayant 
yd des deux
côtés de (IV.26) pour obtenir :
68
Chapitre IV

ey  v  
yd
(IV.43)
Cela peut être écrit sous la forme d'espace d'état comme suit :
eY  AeY  b(v  
yd )
(IV.44)
Où A et b sont donnés en (IV.42). L’entrée v peut être choisie pour être une
réaction linéaire de l'état complet:
v  
yd  k13
e  k12 yeu  k11eu  k10 eu
(IV.45)
Où kli sont les gains de commande. En notation matricielle la loi de commande
peut être écrite comme suit :
v  
yd  KeY
(IV.46)
Où K est la matrice de gain donnée par :
K   k10
k11
k12
k13 
(IV.47)
En substituant (IV.46) dans (IV.43), nous obtenons :
eY  ( A  bK )eY  AeY
(IV.48)
Où K peut être choisi de telle sorte que A est Hurwitz [63] c.à.d. l'ensemble de ses
valeurs propres sont situées dans la moitié gauche du plan complexe. La stabilité
du contrôleur peut être démontrée avec la fonction de Lyapunov [64] :
V  eYT PeY
(IV.49)
Où P est la matrice définie positive et unique, répondant à l'équation de
Lyapunov :
AT P  PA  Q  0
(IV.50)
69
Chapitre IV
Pour la matrice définie positive donnée par Q . La dérivée de la fonction de
Lyapunov est donnée par :
V  eYT PeY  eY PeYT
 eYT ( AT P  PA)eY
(IV.51)
 eYT QeY  0
Ce qui implique que le dispositif de commande est exponentiellement stable.
La boucle de régulation peut être représentée par le schéma suivant :




 q1  t0  
 q t  
 2 0 
 q1  t0  


 q2 (t0 ) 




q
t
 1 f 


 q2  t f  


 q1  t f  


 q2 (t f ) 
Planificateur
Plat
Contrôleur
plat
u1  f (v, q1, q2 )
v







y
y
m
m
y m
y m


 









u1
Modèle
dynamique
q

1 m

q 2m 
q 1 m 

q 2 m 
Figure IV.10 : Boucle de régulation pour le robot sous-actionné à 2- liens.
L’objectif de la commande est d’atteindre une trajectoire mesurée confondue
avec la trajectoire désirée mentionnée dans (IV.39) suivant les étapes suivantes :
1- Pour introduire la notion de platitude dans un système, il faut tout d’abord
prouver que le système est plat, pour démontrer cela on doit
avoir une
sortie plate qui doit contenir tous les paramètres du système en fonction de
cette sortie plate et d’un nombre fini de ses dérivées.
70
Chapitre IV
2- Une fois la sortie plate obtenue, on peut appliquer le difféomorphisme
qui permet de transformer les variables d’états de l’espace original en un
ensemble d’états de sorties plates.
3- Pour la conception de la loi de commande nous avons une entrée v qui
peut être choisie pour être une réaction linéaire de l'état complet exprimée
par l’état de l’équation (IV.45) qui nous permet de trouver la commande
u1  f (v, q1, q2)
d’où on peut tirer ainsi les variables q1 et q2 qui représentent
les états mesurés de notre système.
IV.3.7. Résultats de simulation
Un polynôme de cinquième degré des trajectoires désirées au cours de
l'horizon [0 4s] sont générés pour la sortie plate y avec les conditions aux limites
suivantes :
q1 (0)   / 2, q2 (0)  0, q1 (0)  0, q2 (0)  0
(IV.52)
q1 (4)   /12, q2 (4)  0, q1 (4)  0, q2 (4)  0
Par conséquent, les conditions aux limites correspondantes dans l'espace de sortie
plate peuvent être obtenues par le difféomorphisme construit comme suit :
y (0)   / 2, y (0)  0, 
y (0)  0, 
y (0)  0
(IV.53)
y (4)   / 12, y (4)  0, 
y (4)  0, 
y (4)  0
Grâce à ces conditions aux limites, les coefficients des polynômes du
cinquième degré donnés dans les équations (IV.39) peuvent être déterminés de
manière unique. Les valeurs des gains de commande dans l’équation (IV.47) sont
fixées à : k10  6, k11  6, k12  4, k13  3 . La structure du planificateur intégré et le
contrôleur qui est appliqué au modèle dynamique du robot sous-actionné à 2-liens
sont montrés respectivement dans la figure IV.10.
71
Chapitre IV
(a)
(b)
72
Chapitre IV
(c)
(d)
Figure IV.11. Les résultats de simulation pour le suivi des trajectoires
désirées et mesurées de sortie plate y (t ) (a), dy (t ) / dt (b), d 2 y / dt 2 (c) et
d 3 y / dt 3 (d) du robot sous-actionné à 2- liens.
Les courbes rouges sont les trajectoires de sorties plates mesurées. Les courbes
noires sont les trajectoires désirées du robot avec quelques erreurs.
Figure IV.12: L’entrée nominale correspondante aux trajectoires planifiées
pour le robot sous-actionné à 2-liens.
73
Chapitre IV
La figure IV.11 présente les résultats de simulations pour le suivi des trajectoires
du robot à 2-liens avec les trajectoires planifiées dans la section précédente.
On constate que les sorties plates et leurs dérivées sont nécessaires pour
mettre en œuvre ce contrôleur. Cependant, nous n’avons pas besoin de différencier
les sorties afin d'obtenir toutes les dérivées requises. Elles peuvent être obtenues
par la mesure de tous les états du système, puis en utilisant le difféomorphisme
entre les états du système, les sorties et leurs dérivées.
IV.4 Conclusion
La planification et le suivi des trajectoires pour les systèmes sous-actionnés
est un domaine de recherche actif. En général, pour ces systèmes les trajectoires ne
sont pas dynamiquement faisables. S’il est aussi non linéaire, il n’est pas possible
de caractériser analytiquement ces trajectoires faisables dans l’espace d'états.
La méthode conventionnelle pour trouver ces trajectoires est de résoudre le
problème aux limites en employant les techniques itératives. Une fois la trajectoire
désirée trouvée, la conception d'un contrôleur pour un système est également une
tâche difficile. Une solution utilisée dans cette thèse est d’étudier des robots sousactionnés de telle sorte qu'ils présentent la propriété de la platitude différentielle
[59,23,60]. La platitude différentielle fournit une méthode d'analyse systématique à
l'intention des trajectoires désirées dynamiquement et à concevoir un contrôleur
qui permet de suivre les trajectoires. Un système est différentiellement plat s’il
existe un ensemble de sorties, appelées sorties plates, en nombre égal au nombre
d'entrées, de sorte que tous les états et les entrées peuvent être exprimées en termes
algébriques par ces sorties et un nombre fini de leurs dérivées [23]. En outre, pour
un système plat, il existe une entrée inversible et des transformations d’état
(difféomorphisme) qui peuvent aussi transformer le système non linéaire en un
système linéaire canoniquement contrôlable, comme il est montré dans la figure
74
Chapitre IV
IV.13, et toutes les trajectoires arbitraires correspondantes aux sorties plates
possèdent (via la transformation de l'état) dynamiquement les trajectoires possibles
de l'état du système original. Cela rend la planification possible dans le domaine de
la sortie plate.
Figure IV.13. La transformation d'un système différentiellement plat non
linéaire en un système linéaire après une entrée et une transformation de
l'état.
Une utilisation pratique (voir fig. IV.14) est la conception des trajectoires du
mouvement point-à-point des systèmes sous-actionnés. Ici, le but est de permettre
aux systèmes de suivre une trajectoire libre. En utilisant le difféomorphisme, ces
trajectoires de sorties plates peuvent se transformer en état initial à leur espace
d’origine pour avoir des trajectoires possibles. Les cycles limites par les deux
robots peuvent être planifiés en concevant des trajectoires libres avec les points
initiaux et finaux identiques. Aussi, le contrôleur linéaire de retour peut être conçu
par le domaine linéaire de sortie plate en fermant la boucle sur les erreurs dans les
sorties plates et leurs dérivées [23]. Cette méthode de planification et de contrôle
du mouvement point-à-point du robot est représentée schématiquement à la figure
IV.14. Cependant, la platitude différentielle nous procure avec la forme fermée de
la solution pour les trajectoires faisables connectées à l'espace d'états des points. Le
difféomorphisme est généralement non linéaire, mais il peut être résolu par
l’application des valeurs limites du problème très rapidement. La conception de la
platitude différentielle est donc une technique générale qui peut potentiellement
être appliquée pour les classes générales des systèmes sous-actionnés.
75
Chapitre IV
Figure IV.14. La planification basée sur la platitude et la méthodologie de
contrôle du mouvement point-à-point d'un robot sous-actionné à 2-liens.
76
Conclusion Générale
Conclusion générale
La platitude trouve tout son intérêt dans le cadre de la génération et la
poursuite de trajectoires. En effet, dans un système plat, l’état et la commande se
déduisent directement de la sortie plate. Ainsi, un choix judicieux de la forme
temporelle de la sortie plate nous fournit sans intégration les trajectoires de
référence.
La planification et le contrôle de la trajectoire des systèmes non linéaires
sous-actionnés restent toujours un problème ouvert avec plusieurs applications.
Les systèmes sous-actionnés ayant les liens série interconnectés comme une
caractéristique commune pour les bras manipulateurs à chaîne ouverte par
exemple qui a été choisi comme élément de cette thèse. Une approche qui
intègre la planification et le contrôle des systèmes sous-actionnés avec leur
conception mécanique a été présentée. L’effet de certaines non-idéalités sur le
modèle idéal de contrôle de platitude de base est également étudié.
Cette thèse a démontré avec succès une méthodologie pour concevoir une
classe d’un système sous-actionné pour être differentiellement plat et permettre
la planification et le contrôle des trajectoires possibles systématique et
analytique. Par la refonte du système, nous avons essentiellement modifié les
raccords entre les systèmes dynamiques sous-actionnés et les systèmes actionnés
avec des degrés de liberté dans une forme plus utilisable. Spécifiquement, pour
le système étudié, les dispositifs d’origine de couplage dus aux centripète,
Coriolis et les conditions de gravité ont été remplacés par des termes linéaires
découlant de l’effet de l'énergie potentielle. Ces nouveaux raccords rendent la
dynamique du système général differentiellement plat, et les résultats de
77
simulations montrent bien que les erreurs entre les trajectoires des sorties plates
désirées et les trajectoires mesurées des sorties plates tendent vers zéro.
Nous estimons que cette approche basée sur la modification des couplages
dynamiques via une modulation soignée des paramètres du système libre puisse
être appliquée à d'autres classes de système non linéaire sous-actionné.
78
REFERENCES
[1].
Fliess, M., Lévine, J., Martin, P., Rouchon, P. Sur les systèmes non linéaires
différentiellement plats. C. R. Acad. Sciences, vol. 315, série 1, pp. 619–24, 1992.
[2].
A. Isidori. Nonlinear Control Systems. Springer, Berlin, Germany, third edition,
1995.
[3].
T. McGeer. Passive dynamic walking. The International Journal of Robotics
Research, 9(2):62–82, 1990.
[4].
S. H. Collins, M. Wisse, and A. Ruina. A three-dimensional passive dynamic
walking robot with two legs and knees. International Journal of Robotics
Research, 20(7):607–615, 2001.
[5].
K. Hirai, M. Hirose, Y. Haikawa, and T. Takenaka. The development of the honda
humanoid robot. In IEEE International Conference on Robotics and Automation,
pages 1321–1326, Leuven, Belgium, May 1998.
[6].
H. Inoue, S. Tachi, Y. Nakamura, N. Ohyu, S. Hirai, K. Tanie, K. Yokoi, and
H.Hirukawa. Overview of humanoid robotics project of meti. In The 32nd
International Symposium on Robotics, Seoul, Korea, April 2001.
[7].
H. Hirukawa, F. Kanehiro, K. Kaneko, S. Kajita, K. Fujiwara, Y. Kawai,F. Tomita,
S. Hirai, K. Tanie, T. Isozumi, K. Akachi, T. Kawasaki, S. Ota, K. Yokoyama, H.
Handa, Y. Fukase, J. Maeda, Y. Nakamura, S. Tachi, and H. Inoue. Humanoid
robotics platforms developed in hrp. Robotics and Autonomous Systems,
48(4):165 – 175, 2004.
[8].
E. T. Esfahani and M. H. Elahinia. Stable walking pattern for an sma-actuated
biped. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 12(5):534–541, 2007.
[9].
I. Park, J. Kim, J. Lee, and J. Oh. Online free walking trajectory generation for
biped humanoid robot khr-3(hubo). In IEEE International Conference on Robotics
and Automation, volume 2006, pages 1231 – 1236, Orlando, FL, United states,
2006.
[10].
M. Vukobratovic, B. Borovac, D. Surla, and D. Stokic. Biped Locomotion:
Dynamics, Stability, Control & Application. Springer-Verlag, Berlin, Germany,
first edition, 1990.
[11].
M. H. Raibert. Legged Robots That Balance. The MIT Press, Massachusetts, USA,
first edition, 1986.
[12].
J. W. Grizzle, G. Abba, and F. Plestan. Asymptotically stable walking for biped
robots: Analysis via systems with impulse effect. IEEE Transactions on Automatic
control, 46(1):51–64, 2001.
79
[13].
C. Chevallereau, E. R. Westervelt, and J. W. Grizzle. Asymptotically stable
running for a five-link, four-actuator, planar bipedal robot. International
Journal of Robotics Research, 24(6):431 – 464, 2005.
[14].
K. Ono, R. Takahashi, and T. Shimada. Self-excited walking of a biped
mechanism. International Journal of Robotics Research, 20(12):953–966, 2001.
[15].
K. Ono, T. Furuichi, and R. Takahashi. Self-excited walking of a biped mechanism
with feet. International Journal of Robotics Research, 23(1):55 – 68, 2004.
[16].
C. Chevallereau and Y. Aoustin. Optimal reference trajectories for walking and
running of a biped robot. Robotica, 19(5):557 – 569, 2001.
[17].
C. Chevallereau. Time-scaling control for an underactuated biped robot. IEEE
Transactions on Robotics and Automation, 19(2):362 – 368, 2003.
[18].
L. Cambrini, C. Chevallereau, C. H. Moog, and R. Stojic. Stable trajectory
tracking for biped robots. In IEEE Conference on Decision and Control, pages
4815–4820, Sydney, Australia, Dec 2000.
[19]. A. Chemori and A. Loria. Control of a planar underactuated biped on a complete
walking cycle. IEEE Transactions on Automatic Control, 49(5):838– 842, 2004.
[20].
H. Arai, K. Tanie, and N. Shiroma. Nonholonomic control of a three-dof planar
under-actuated manipulator. IEEE Transactions on Robotics and Automation,
14(5):681–695, Oct 1998.
[21].
A. De Luca, R. Mattone, and G. Oriolo. Stabilization of an underactuated planar 2r
manipulator. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 10(4):181 –
198, 2000.
[22].
J. W. Grizzle, C. H. Moog, and C. Chevallereau. Nonlinear control of mechanical
systems with an unactuated cyclic variable. IEEE Transactions on Automatic
Control, 50(5):559–576, May 2005.
[23].
H. Sira-Ramirez and S. K. Agrawal. Differentially Flat Systems. Marcel Dekker,
Inc., New York, USA, first edition, 2004.
[24].
Y. Nakamura, T. Suzuki, and M. Koinuma. Nonlinear behavior and control of
a nonholonomic free-joint manipulator. IEEE Transactions on Robotics and
Automation, 13(6):853 – 862, 1997.
[25].
T. Suzuki, M. Koinuma, and Y. Nakamura. Chaos and nonlinear control of a
nonholonomic free-joint manipulator. In IEEE International Conference on
Robotics and Automation, pages 2668–2675, 1996.
[26].
T. Suzuki and Y. Nakamura. Nonlinear control of a nonholonomic free joint
manipulator with the averaging method. In IEEE International Conference on
Decision and Control, pages 1694–1699, 1996.
80
[27].
M. W. Spong. The swing up control problem for the acrobot. I EEE Control
Systems, 15(1):49–55, 1995.
[28].
A. De Luca and G. Oriolo. Stabilization of the acrobot via iterative state steering.
In IEEE International Conference on Robotics and Automation, pages 3581–3587,
1998.
[29].
A. De Luca and G. Oriolo. Motion planning and trajectory control of an
underactuated three-link robot via dynamic feedback lineariation. In IEEE
International Conference on Robotics and Automation, pages 2789–2795, 2000.
[30].
A. De Luca and G. Oriolo. Motion planning under gravity for underactuated
three-link robots. In IEEE /RSJ International Conference on Intelligent Robots
and Systems, pages 139–144, 2000.
[31].
M. W. Spong. The pendubot: A mechatronic system for control research and
education. In IEEE Conference on Decision and Control, pages 555–557, 1995.
[32].
J. Imura, K. Kobayashi, and T. Yoshikawa. Nonholonomic control of 3 link planar
manipulator with a free joint. In Proceedings of the IEEE Conference on Decision
and Control, volume 2, pages 1435 – 1436, Kobe, Japan, 1996.
[33].
K. Kobayashi and T. Yoshikawa. Controllability of under-actuated planar
manipulators with one unactuated joint. The International Journal of Robotics
Research, 21(5-6):555–561, 2002.
[34].
A. D. Mahindrakar, R. N. Banavar, and M. Reyhanoglu. Controllability and pointto-point control of 3-dof planar horizontal underactuated manipulators.
International Journal of Control, 78(1):1–13, Jan 2005.
[35].
M. Fliess, J. Levine, P. Martin, and P. Rouchon. Flatness and defect of nonlinear
systems: Introductory theory and examples. International Journal of Control,
61(6):1327–1361, Jun 1995.
[36].
M. Fliess, J. Levine, P. Martin, and P. Rouchon. A lie-backlund approach to
equivalence and flatness of nonlinear systems. IEEE Transactions on Automatic
Control, 44(5):922–937, May 1999.
[37].
J. Franch, S. K. Agrawal, A. Fattah, and S. Oh.
Design of differentially
flat planar space robots: A step forward in their planning and control. In
Proceedings IEEE International Conference on Intelligent Robots and Systems
(IROS’03), pages 3053–3058, Las Vegas, NV, United States, Oct 2003.
[38]. S. K. Agrawal, K. Pathak, J. Franch, R. Lampariello, and G. Hirzinger. Design
of a differentially flat open-chain space robot with arbitrarily oriented joints
and two momentum wheels. In Proceedings IEEE International Conference on
Robotics and Automation (ICRA’06), pages 3867–3872, Orlando, FL, USA,
May 2006.
81
[39].
K. Ogata. Modern Control Engineering. Prentice Hall, New Jersey, USA, third
edition, 1997.
[40]. A. De Luca and G. Oriolo. Trajectory planning and control for planar robots
with passive last joint. The International Journal of Robotics Research,
21(56):575–590,2002.
[41].
H. Sira-Ramirez and C. A. Ibanez. On the control of the hovercraft system.
Dynamics and Control, 10(2):151–163, Apr 2000.
[42].
H. Sira-Ramirez, R. Castro-Linares, and E. Liceaga-Castro. Liouvillian systems
approach for the trajectory planning-based control of helicopter models.
International Journal of Robust and Nonlinear Control, 10(4):301–320, 2000.
[43].
P. Martin, R. M. Murray, and P. Rouchon. Flat systems, equivalence and trajectory
generation. Technical report, California Institute of Technology, April 2003.
[44].
P. Martin and P. Rouchon. Feedback linearization and driftless systems.
Mathematics of Control, Signals, and Systems, 7(3):235–254, 1994.
[45].
R. M. Murray, M. R., and W. Sluis. Differential flatness of mechanical control
systems: A catalog of prototype systems. In ASME International Mechanical
Engineering Congress and Exposition, 1995.
[46].
F. Srairi. Platitude et planification de trajectoires en robotique. Mémoire de
magister, université de Batna. 2012.
[47].
Philippe Martin, Pièrre Rouchon, Systèmes plats : Planification et suivi de
Trajectoires, Ecole des Mines de Paris, Centre Automatique et Systèmes Journées
X-UPS, Mai 1999.
[48].
B. Laroche, Ph. Martin, N. Petit, Commande par platitude : Equations
différentielles ordinaires et aux dérivées partielles, Cours B7-4 du module
Automatique Avancée, Ecole Nationale Supérieure De Techniques Avancées.
2005-2006 .
[49]. J. Levine . Analyse et Commande des Systèmes Non Linéaires. Centre Automatique
et Systèmes, Ecole des Mines de Paris, Mars 2004.
[50]. Philippe Martin, R. M. Murray, Pièrre Rouchon. Flat systems, equivalence
andtrajectory generation. Technical report, Avril 2003.
[51].
Henk Nijmeijer, Arjan Van der Schaft. Nonlinear Dynamical Control Systems. 3rd
Edition 1996.
[52].
Manfredi Maggiore, Kevin Passino. Pratical Internal Models for Output Feedback
tracking in Nonlinear Systems. Department of Electrical Engineering, The Ohio
State, University 2015 Neil Avenue, Columbus, OH 43210-1272
82
[53].
H. Nijmeijer, et A. V. D. Schaft, (1991). Nonlinear Dynamical Control Systems.
Springer-Verlag.
[54].
Alberto Isidori. Nonlinear Systems. Second edition,1989.
[55].
Philippe Martin. Contribution à l’étude des systèmes différentiellement plats.
Thèse, Ecole des Mines de Paris, Décembre 1992.
[56].
Philippe Martin, Santosh Devasia, Brad Paden. Adifferent Look at Output Traking
of VTOL Aircraft. Center for Control Engineering and computation. ECE
Department, University of California Santa Barbara.
[57].
Sépanta Sékhavat, Thierry Fraichard. Planification de trajectoires sous Contraintes
cinématiques.
[58].
Muruhan Rathinam. Differentially Flat Nonlinear Control Systems. Thèse,
California Institute of Technology, Pasadena, California, April1997.
[59].
P. Tsiotras and J. Luo. Control of under actuated spacecraft with bounded inputs.
Automatica, 36(8):1153–1169, Aug 2000.
[60].
N. Faiz, S. K. Agrawal, and R. M. Murray. Trajectory planning of differentially flat
systems with dynamics and inequalities. AIAA Journal of Guidance, Control, and
Dynamics, 24(2):219–227, 2001.
[61].
T. Veeraklaew and S. K. Agrawal. A new computation framework for optimization
of higher-order dynamic systems. AIAA Journal of Guidance, Control and
Dynamics, 24(2):228–236, 2001.
[62]. O. Brock, et O. Khatib. Mobile manipulation :collision free pathmodification and
motion coordination. Dans International Conference on Computational
Engineering in Systems Applications(1998).
[63].
B.Taconet,S. Kebairi, A. Djematene, P. Mercy. Marge de stabilité des systèmes
linéaires : une extension du critère de Routh-Hurwitz. 1997.
[64].
BCHEKROUN Abdennasser. Fonction de Lyapunov et stabilité globale pour un
modèle de Kermack-McKendrick avec l’âge d’infection. 2012.
83
ANNEXE
1. Nomenclature :
m : la masse du robot mobile.
b : la moitié de la distance entre les deux roues du robot mobile.
m1 : la masse de la première liaison du bras.
m2 : la masse de la seconde liaison du bras.
I1 : moment d'inertie de la première liaison du bras.
I2: moment d'inertie de la seconde liaison du bras.
a1 : la distance entre la première articulation et le centre de masse de la première
liaison du bras.
a2 : la distance entre la seconde articulation et le centre de masse de la seconde
liaison du bras.
K2: contraction du ressort de torsion.
2. Les paramètres du système :
Lien(i) mi(kg)
li(m)
ai(m) Ii(kgm2) Ki(kgm2/s2)
1
1
0.5
0.25
0.0208
0
2
0.5
0.5
0
0.0208
0.1
84
.
: ‫ﻣﻠﺨﺺ‬
‫ ﻓﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻷﻧظﻣﺔ اﻟﺗﺣرﯾك اﻟﻧﺎﻗص ﺑﺻﻔﺔ‬،‫إن ﻣراﻗﺑﺔ اﻧظﻣﺔ اﻟﺗﺣرﯾك اﻟﻧﺎﻗص اﻟﻼﺧطﯾﺔ ھو ﻣﺟﺎل ﻻ ﯾزال اﻟﺑﺣث ﻓﯾﮫ ﺟﺎرﯾﺎ‬
‫ وﻣن اﻟﺻﻌب ﺗﺣدﯾد ﺧﺻﺎﺋص اﻟﻣﺳﺎرات اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن اﻟﻧﺎﺣﯾﺔ‬،‫ﻋﺎﻣﺔ ﺟﻣﯾﻊ ﻣﺳﺎرات اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن اﻟﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟدﯾﻧﺎﻣﯾﻛﯾﺔ‬
‫ إن اﻟﺗﺳطﯾﺢ اﻟﺗﻔﺎﺿﻠﻲ‬،‫ ﺣﺗﻰ وﻟو ﺗم اﯾﺟﺎد ﻣﺳﺎر ﻣﻣﻛن ﻓﺎن ﺗﺻﻣﯾم ﺟﮭﺎز ﺗﺣﻛم ﻟﻠﻧظﺎم ﯾﺑﻘﻰ اﯾﺿﺎ ﻣﮭﻣﺔ ﺻﻌﺑﺔ‬،‫اﻟﺗﺣﻠﯾﻠﯾﺔ‬
‫ﯾوﻓر أﺳﻠوب ﻣﻧﮭﺟﻲ ﻣوﺣد ﯾﺳﻣﺢ ﺑوﺿﻊ ﺗﺧطﯾط ﻟﻠﻣﺳﺎرات اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﺑﺷﻛل دﯾﻧﺎﻣﯾﻛﻲ وﺗﺻﻣﯾم وﺣدة ﺗﺣﻛم ﺗﺳﻣﺢ ﺑﺗﻌﻘب ھذه‬
‫اﻟﻣﺳﺎرات ﻏﯾر أن ﻧظﺎم اﻟﺗﺣرﯾك اﻟﻧﺎﻗص اﻟﻼﺧطﻲ ﻗد ﻻ ﯾﻛون ﻣﺳطﺢ ﺗﻔﺎﺿﻠﯾﺎ‬. ‫ھذا اﻟﻌﻣل ﯾﻌرض طرﯾﻘﺔ ﺗﻌﺎﻟﺞ اﻧظﻣﺔ‬
‫اﻟﺗﺣرﯾك اﻟﻧﺎﻗص واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن أن ﺗﻛون ﻣﺻﻣﻣﺔ ﻟﺗﻛون ﻣﺳطﺣﺔ ﺑﺷﻛل ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺑﺣﯾث ﺗﺳﻣﺢ ﺑﺗﺧطﯾط وﻣراﻗﺑﺔ اﻟﻣﺳﺎر‬
‫ وﻗد ﺗم ﺗﺻﻣﯾم وﺣدة ﺗﺣﻛم‬،‫ ﺻﻣﻣت اﻟﻣﺳﺎرات اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﺑﺎﺳﺗﻌﻣﺎل ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﺎﺗﻼب‬.2 ‫اﻟﻣﻧﮭﺟﻲ ﻟرﺑوت ذو درﺟﺔ اﻟﺣرﯾﺔ‬
‫ وﻋرض ﻧﺗﺎﺋﺞ ﺗﺧطﯾط اﻟﺣرﻛﺔ واﻟﻣﺣﺎﻛﺎة‬.‫ﺧطﯾﺔ ﻟﻠﺣﺎﻟﺔ اﻟﻣرﺗدة ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟﺧرج اﻟﻣﺳطﺢ ﻟﺗﺗﺑﻊ اﻟﻣﺳﺎرات اﻟﻣطﻠوﺑﺔ‬
‫اﻟدﯾﻧﺎﻣﯾﻛﯾﺔ ﻟﻠﺗﺳطﺢ اﻟذي ﯾﺳﺗﻧد ﻋﻠﻰ ﻣﺗﺎﺑﻌﺔ اﻟﻣﺳﺎرات‬.
‫ اﻟﺨﺮج اﻟﻤﺴﻄﺢ‬،‫ اﻟﺘﺴﻄﯿﺢ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻲ‬،‫ أﻧﻈﻤﺔ اﻟﺘﺤﺮﯾﻚ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬،‫ روﺑﻮت‬: ‫ﻛﻠﻤﺎت ﻣﻔﺘﺎﺣﯿﺔ‬
Résumé:
Le contrôle des systèmes non linéaires sous-actionnés est un domaine de recherche en cours.
En général, pour un système sous-actionné, toutes les trajectoires d'état sont dynamiquement
possibles et il est difficile de caractériser les trajectoires possibles analytiquement. Même si
une trajectoire possible est trouvée, la conception d'un dispositif de commande pour un
système sous-actionné est également une tâche difficile. La platitude différentielle, fournit
une approche systématique unifiée qui permet de planifier dynamiquement les trajectoires
possibles et de concevoir un contrôleur qui permet de suivre ces trajectoires. Cependant, un
système non linéaire sous-actionné peut ne pas être différentiellement plat. Ce travail présente
une approche traitant des systèmes sous-actionnés qui peuvent être conçus pour être
différentiellements plats permettant la planification et le contrôle de trajectoire systématique
pour un robot à 2DDL sous actionné. Les trajectoires possibles sont construites en utilisant
MATLAB. Un contrôleur linéaire de retour d'état est conçu dans le domaine de sortie plate
pour suivre les trajectoires désirées. Les résultats de la planification de mouvement et des
simulations dynamiques de la platitude basée sur le suivi de trajectoires sont présentés.
Mots clés : robots, systèmes sous-actionnés, platitude différentielle, systèmes plats.
Abstract :
Control of underactuated nonlinear systems is an ongoing area of research. In general, for an
underatuated system, all state trajectories are dynamically feasible and it is difficult to
characterize these trajectories analytically. If these trajectories are found, the design of a
control device for an underactuated system is also a difficult task. Differential flatness,
provides a unified systematic approach to dynamically plan the possible trajectories and
design a controller that tracks these trajectories. However, a nonlinear system under-actuated
may not be differentially flat. This work presents an approach for underactuated systems that
can be designed to be differentially flat for planning and control of systematic trajectory for a
robot of 2DOF. The feasible trajectories are constructed using MATLAB. A linear state
feedback controller is designed in the flat output to track the desired trajectories. The results
of the planning movement and dynamic simulations of flatness based tracking trajectories are
presented.
Key words: robots, underactuated systems, differential flatness, flat systems.

Commande des robots par platitude

Transcription

Documents pareils

Trajectoires Lignes d`horizon - association autrement

Je ne veux pas me marier

bois de parcoUrs raZr Fit™ - Callaway Media Productions

Diagnostic de pannes pour les systèmes différentiellement plats

programme du stage de pilotage

Lyon, le 27 avril 2012 Hélène Croce

Consignes dossier 2012-2013