Couche limite atmosphérique

Transcription

Camille Aumont
Julie Marcille
Laurie Pothin
Couche limite
atmosphérique
Application à la spirale d'Ekman
Couche limite Atmosphérique
Aumont - Marcille - Pothin
1
Table des matières
I. Synthèse du cours........................................................................................................ 3
1. Couche limite atmosphérique......................................................................................3
a) Définition.......................................................................................................... 3
b) Importance de la couche limite atmosphérique.............................................................4
2. Onde et instabilités thermiques...................................................................................4
a) Équations.......................................................................................................... 4
b) Rotation........................................................................................................... 4
c) Stratification...................................................................................................... 6
3. Modélisation de la turbulence......................................................................................... 7
II. Article 1 : Flux et dispersion dans le milieu urbain.................................................................8
1. A l'échelle de la ville et la région..................................................................................8
a) Influence du cisaillement et du vent..........................................................................8
b) La turbulence urbaine......................................................................................... 10
c) Caractéristiques de la dispersion en milieu urbain........................................................10
2. A l'échelle du quartier............................................................................................. 10
a) Caractéristiques de l'écoulement............................................................................10
b) Intensités turbulentes......................................................................................... 11
c) Caractéristiques de la dispersion.............................................................................12
3. A l'échelle de la rue................................................................................................ 13
4. Ouverture............................................................................................................ 13
III. Article 2 : Turbulence dans les canopées..........................................................................14
1. Introduction......................................................................................................... 14
2. Partie analytique................................................................................................... 14
3. Caractéristiques de la turbulence dans les canopées.........................................................15
4. Tourbillons dans les canopées....................................................................................16
5. Hypothèses dans la couche de mélange.........................................................................17
6. Petites structures de la turbulence..............................................................................18
7. Modèle TKE.......................................................................................................... 18
IV. Article internet : Ondes orographiques et vents descendants..................................................19
1. Généralités.......................................................................................................... 19
a) Les ondes atmosphériques....................................................................................19
b) Les ondes orographiques......................................................................................19
c) Phénomènes climatologiques associés aux ondes orographiques........................................20
c) Climatologie..................................................................................................... 21
2. Les vents descendants.............................................................................................21
a) Caractéristiques................................................................................................ 21
b) Effet de Foehn.................................................................................................. 21
3. Les ondes orographiques.......................................................................................... 21
a) atmosphère stable..............................................................................................21
c) Oscillation des ondes orographiques.........................................................................22
d) Nombre de Froude.............................................................................................. 22
e) Flux uniforme................................................................................................... 22
f) Flux complexe................................................................................................... 23
4. Prévision............................................................................................................. 23
a) Models NWP..................................................................................................... 23
b) Méthodes de prévision sur courte durée....................................................................23
V. Application à la spirale d'Ekman (programme informatique)....................................................24
1. Position du problème et hypothèses.............................................................................24
2. Étude du problème dans la couche limite atmosphérique...................................................25
3. Autre cas d'application : les feuilles de thé....................................................................26
Références................................................................................................................. 27
2
I. Synthèse du cours
1. Couche limite atmosphérique
a) Définition
La couche limite atmosphérique est la partie de la troposphère influencée par la surface
terrestre. Son épaisseur est d'environ 1000 mètres et elle est composées de différentes sous
couches :
- La couche rugueuse : de quelques centimètres à une dizaine de mètres. Son épaisseur varie en
fonction du terrain considéré, c'est la zone constituée de tous les obstacles que le vent peut
rencontrer (végétations, habitations...). Les échanges d'energie et les frottements y sont très
important.
- La couche de surface : de quelques dizaines de mètres à une centaine de mètres. Dans cette
zone, la journée, la température diminue rapidement avec l'altitude. La force de Coriolis est
négligeable face aux forces de frottement.
- La couche limite d'Ekman : De la centaine de mètres au kilomètre. Dans cette couche de
mélange, l'intensité des forces de Coriolis est du même ordre de grandeur que les forces de
frottements. Au sommet de cette couche, le vent est assimilable au vent géostrophique
Au dessus de la couche limite atmosphérique (CLAT), on trouve l'atmosphère libre.
Illustration 1: Sous couches de la couche limite atmosphérique
3
b) Importance de la couche limite atmosphérique
C'est dans la couche limite qu'ont lieu tous les échanges de chaleur et d'humidité entre la
surface et l'atmosphère. De plus, l'énergie cinétique dû à des mouvements créés à cause du
réchauffement solaire est dissipée dans la couche limite.
De nombreuses applications sont directement liées à la couche limite atmosphérique :
•
Énergie éolienne (choix d’implantation, exploitation..).
•
Dispersion atmosphérique (pollution).
•
Aéronautique (approche des aéroports, vols près des reliefs..)
•
Météorologie urbaine (vent, thermique des bâtiments)
•
Météorologie rurale (arrosage, forets...)
2. Onde et instabilités thermiques
a) Équations
Équations de couche limite avec rotation :
∂u
⃗ u− fv= −1
+ u.
⃗∇
ρ0
∂t
∂v
⃗ v− fu= −1
+ u.
⃗∇
ρ0
∂t
∂p
∂²u
+ν
∂x
∂ z²
∂p
∂²v
+ν
∂y
∂ z²
1 ∂p
ρ
approximation de Boussinesq :0= ρ
−g ρ
0 ∂z
0
(f est la force de Coriolis)
b) Rotation
- Nombres sans dimension :
•
Nombre de Rossby temporel :
•
Nombre de Rossby :
•
Nombre d'Ekman :
RoT =
1
ΩT
U
ΩL
Ek = ν
Ω H²
Ro=
- Le vent géostrophique :
Le vent géostrophique peut être défini comme l'équilibre entre la force de Coriolis et les
forces de pression atmosphérique. Dans l'atmosphère, il est parallèle aux isobares.
4
Illustration 2: Diagramme montrant comment les vents sont
déviés pour donner une circulation anti horaire dans
l'hémisphère nord, autour d'une dépression
On peut utiliser les hypothèses suivantes afin de simplifier les équations : régime
stationnaire, fluide incompressible, Re>>1 et rotation rapide.
On a donc : ρ=0 et pas d'effet visqueux. Ro<<1 , RoT <<1 et Ek << 1
On obtient ainsi les équations suivantes :
−1 ∂ p
− fv= ρ
0 ∂x
−1 ∂ p
+ fu= ρ
0 ∂y
On a de plus:
∂u ∂ v
= =0
∂z ∂ z
5
- Les ondes de Rossby :
On introduit le tourbillon relatif ζ et le tourbillon potentiel πs tel que :
Πs =
ζ+ f
h
(f est la
force de Coriolis et h la hauteur de la colonne d'air).
L'onde de Rossby conserve le tourbillon potentiel, ainsi :
constant.
D Πs D ζ + f
= (
)=0 . Пs est donc
Dt
Dt h
Dans l'atmosphère, lorsque l'air passe au dessus d'un obstacle, il doit s'écouler dans une couche
atmosphérique plus fine ce qui accélère la rotation dans le flux ( ζ). Il faut donc que f diminue
pour qu'il y ai conservation du tourbillon potentiel. Lorsque l'air redescend de l'autre coté de
l'obstacle, il est forcé vers de plus fortes latitudes ce qui induit une ondulation de la circulation
atmosphérique. On a donc des particules qui oscillent autour de la latitude d'équilibre (ondes de
Rossby).
c) Stratification
- Stabilité de la couche limite :
Une couche limite est stable si le gradient de température est positif selon la verticale.
Illustration 3: Stabilité de la couche limite
- Nombre de Brunt Väisälä :
On peut introduire la fréquence de Brunt Väisälä N. Pour un fluide stratifiés, on peut
expliquer les oscillations comme une particule dont la densité augmenterait avec la profondeur.
Lorsque cette particule est déplacée verticalement en dehors de sa position d'équilibre, sa
densité change et une force (pesanteur ou Poussée d'Archimède), apparaît et tend à la ramener
vers sa position d'équilibre.
Ce phénomène déclenche une oscillation de fréquence N telle que :
−g d ρ0
N² = ρ
0 dz
On a une oscillation si et seulement si N² > 0. Dans le cas où N = 0, la stabilité est neutre (pas de
variation de densité.
Dans l'atmosphère, la densité est reliée à la température. Ainsi, on a donc :
N² =
g dθ
θ dz
6
- Couche limite avec stratification :
La stratification concerne essentiellement les moyennes échelles en densité et en température.
On modélise le lien entre densité et température par la relation :
ρ−ρr
θ−θ r
ρr ≈ θr
On peut aussi appliquer la loi des gazs parfaits : PV =nRT pour obtenir les équations
permettant de modéliser les circulations atmosphériques :
∇ .U =0 ;
θ+θ r
D U −1
= ρ grad P + g (
−1)e z ;
r
θr
Dt
Dθ
=0
Dt
3. Modélisation de la turbulence
Uh
Re = ν . Dans la couche limite
On définit le nombre de Reynolds comme
9
atmosphérique, Re est de l'ordre de 10 . Nous sommes donc en écoulement turbulent.
- Principales caractéristiques d'un écoulement turbulent :
•
Aléatoire : On peut déterminer de manière statistique la turbulence ; cependant,
certains effets de la turbulence restent assez chaotiques et difficiles à déterminer.
•
Tridimensionnel : Bien que la plupart la vitesse moyenne d'un écoulement a souvent2
composantes, la turbulence à une structure en trois dimension.
•
Vorticité : Un écoulement turbulent est tourbillonnaire et à grand nombre de Reynolds.
•
Forte diffusion.
•
Non linéarité : Le terme non linéaire d'advection dans les équations de Navier Stokes est
dû à la turbulence.
•
Forte dissipation d'énergie.
Pour modéliser la couche limite atmosphérique, on utilise les équations de Boussinesq et de
Reynolds.
7
II. Article 1 : Flux et dispersion dans le milieu
urbain
La population ne cesse d'augmenter et pose des problèmes sur l'urbanisme des villes et
leur développement. La prédiction de la météo nécessite une paramétrisation des bâtiments des
villes. Les bâtiments affectent l'écoulement de l'atmosphère qui joue un rôle sur le
développement durable et la qualité de vie des habitants. Il existe 4 échelles :
• échelle régionale : 100 à 200 km
• échelle de la ville : 10 à 20 km
• échelle du quartier : 1 à 2 km
• échelle de la rue : moins de 100-200 m
1. A l'échelle de la ville et la région
L'échelle régionale contient la zone urbaine. Cette zone représente des perturbations qui
diminuent et déforment l'écoulement. L'échelle de la ville représente le diamètre moyen d'une
zone urbaine. Les écoulements dans les quartiers au milieu des bâtiments sont moyennés. A
l'échelle du quartier, les bâtiments peuvent être traités par une approche statistique. Nous
cherchons à avoir des informations sur l'écoulement sans canopée. A l'échelle de la rue, la
turbulence et l'émission des gaz des voitures affectent le confort des piétons.
a) Influence du cisaillement et du vent
Les bâtiments représentent des obstacles pour l'écoulement et produisent une force de
traînée. Nous notons Hr la hauteur moyenne des bâtiments dans une zone urbaine. Sur la figure
1, nous observons les trois principales sous-couches : la sous-couche de canopée urbaine, la
sous-couche visqueuse et la sous-couche inertielle. La sous-couche inertielle peut être étudier à
l'aide des formules de couche limite atmosphérique standards. Dans la sous-couche de canopée
urbaine, l'écoulement d'un point précis est directement affecté par les obstacles locaux. Dans la
sous-couche visqueuse, l'écoulement s'ajuste aux effets des nombreux obstacles.
8
Hr
Illustration 4: Schéma de l'écoulement dans une zone urbaine (Grimmond et Oke,
2002)
Nous supposons que la vitesse du vent au sommet de la couche limite est égal à la vitesse
du vent en régime stationnaire. La vitesse de frottement u ¤ est utilisée pour décrire la
déformation du vent et les profils de turbulence. Selon la théorie de similitude de MoninObukhov, la vitesse de frottement est l'échelle de vitesse caractéristique et la longueur L est
l'échelle de longueur caractéristique décrit par :
−u 3¤ C p ρT
L= κ
g Hs
où g est la gravité, Cp la chaleur spécifique de l'air à pression constante, ρ la masse volumique
de l'air, T la température de l'air et κ=0,40 est la constante de Von Karman. Hs est positive
en journée et négative la nuit.
D'après la théorie de Monin-Obukhov, le profil de vitesse du vent est définir par la
u¤
z−d
z
formule suivante : u= κ [ln
+ ψ( )]
z0
L
où z0 est la longueur des viscosités, d la longueur de déplacement et ψ une fonction
adimensionnelle nulle dans les conditions adiabatiques ou neutres (ie si L = infini ou z/L = 0).
Nous pouvons simplifier cette formule par :
u
z−d
u= κ¤ ln(
) .
z
0
La paramétrisation de z0 et d donne de nombreux résultats suivant la méthode utilisée.
9
b) La turbulence urbaine
Le taux de dispersion d'un polluant est proportionnel aux composantes de la vitesse
turbulente. Celle-ci est donc très importante et est très étudiée par des spécialistes et
chercheurs. Selon Clarke et al., la turbulence durant la nuit dans les zones commerciales et
résidentielles est environ deux fois plus importante que dans une zone rurale. Dans la journée,
la différence est de 20 à 30 %. Ces différences entre le jour et la nuit s'explique par le fait que
durant la nuit les obstacles génèrent de la turbulence mais aussi de l'instabilité dans
l'atmosphère. De plus, la nuit l'activité humaine donne de la chaleur à l'atmosphère.
c) Caractéristiques de la dispersion en milieu urbain
Le panache urbain s'étend dans le sens du vent dans la zone urbaine à l'échelle régionale.
Le panache urbain grandit à un taux de 0,5 m/s environ et peut aller jusqu'à 1000m de hauteur.
La nuit, la couche de surface proche est relativement pure et stable dans les surfaces rurales
alors que l'air au dessus peut être bien mélangé et pollué. Les observations par satellites
montrent que le panache urbain peut être détecté à plusieurs centaines de kilomètres de la
zone urbaine (dans le sens du vent) et avoir une largeur de 100 à 200 km.
A l'échelle urbaine, nous supposons que le panache de polluant s'étend verticalement sur
une couche d'épaisseur au moins égale à 2Hr. Nous ne tenons pas compte des effets autour des
bâtiments individuellement. La dispersion est donc calculée par des approches standards de
couche limite. Plus la surface rugueuse est importante, plus z0 est grand et entraîne une plus
meilleure dilution du panache et réduit les concentrations dans le sens du vent.
2. A l'échelle du quartier
a) Caractéristiques de l'écoulement
Les expériences en laboratoire permettent de mieux comprendre le phénomène à
l'échelle du quartier. De plus, les mesures sur le terrain sont coûteuses et difficiles à réaliser. Il y
a une différence entre l'écoulement dans une canopée urbaine et dans une canopée végétale.
Il faut tenir compte de la sous-couche visqueuse à cause de l'inhomogénéité horizontale
de l'écoulement due aux bâtiments (cf figure ci-contre). Le profil de vitesse est moyenné
spatialement horizontalement.
10
Illustration 5: Profil de vitesse moyenné spatialement dans une zone urbaine
Le profil de vitesse au-dessus de la canopée est logarithmique. Cependant, au niveau des
bâtiments les profils de vitesse ne sont pas homogènes. La présence d'une ville influence
grandement la couche limite atmosphérique.
Nous pouvons aussi définir une vitesse caractéristique moyennée spatialement et
temporellement sans considérer la canopée urbaine. Selon Bentham & Britter, nous avons :
−1/ 2
U c C DB
=(
)
u¤
2
où
−1 /2
λf
C DB est le coefficient de traînée moyen du aux bâtiments.
En comparant les résultats aux données de laboratoire, nous obtenons une bonne
corrélation même si le modèle est trop simpliste et il est peu probable que λ f soit le seul
paramètre qui décrit la canopée urbaine.
b) Intensités turbulentes
Au dessus de la hauteur moyenne des bâtiments, l'échelle d'intensité turbulente locale
est proportionnelle à la racine carrée de la contrainte cinématique locale de Reynolds. La
contrainte de Reynolds locale n'est pas la même que la contrainte de surface où la vitesse de
frottement est déterminée. Cependant, elles sont comparables au niveau du haut des bâtiments
ou au sommet de la surface rugueuse. Approximer la contrainte de cisaillement de surface et la
vitesse de frottement de surface peut être plus approprié.
Les niveaux de turbulence peuvent être supposés uniformes à travers la canopée. S'ils
sont échelonnés en u ¤ , ils sont plus faibles en dessous de la canopée. Ils diminuent lorsque
λ f augmente. Les niveaux de turbulence sans la canopée peuvent être estimés en utilisant
l'équilibre production-dissipation.
11
Nous avons précédemment supposé que l'écoulement au sein de la canopée générait la
turbulence mais cette hypothèse est beaucoup moins valable lorsque λ f ou λ p sont grands.
Dans ce cas-ci, c'est l'interaction de l'écoulement à grande vitesse près du sommet de la canopée
urbaine qui produit de la turbulence.
c) Caractéristiques de la dispersion
Une augmentation de la surface rugueuse produit une augmentation de la turbulence. Ce
qui entraîne une diminution de la concentration de polluants lorsque la hauteur du nuage de
polluants est beaucoup plus grande que la hauteur des obstacles. Nous ne pouvons pas faire la
même déduction lorsque le nuage de polluants est plus petit ou de hauteur comparable à celle
des obstacles.
Les expériences en laboratoire nous montre qu'un panache de forme Gaussienne (cf figure
ci-dessous) est un bon modèle pour résoudre le problème. L'augmentation des niveaux de
turbulence sans la canopée urbaine produit une plus large dispersion ce qui réduit la
concentration du polluant. Cependant, cela entraîne la diminution de la vitesse d'advection ce
qui augmente la concentration. Les ordres de grandeurs relatifs de ces effets opposés
permettent de déterminer si les obstacles augmentent ou diminuent la concentration lorsque la
rugosité augmente.
Illustration 6: Modèle de panache en forme de Gaussienne
Les expériences de terrain sur la dispersion d'un polluant en position basse dans une vraie
ville sont rares.
De nombreux modèles à l'échelle du quartier ont été étudiés. Des techniques de
simulation ont gagnées en complexité en prenant en compte les grands tourbillons. Mais ce n'est
seulement maintenant que les chercheurs ont accès aux données qui permettent de conclure sur
la validité des modèles.
12
3. A l'échelle de la rue
L'échelle de la rue est particulièrement étudiée dans le domaine de la qualité de l'air
urbain. En effet, la pollution est maximale en ville notamment à cause de l'émission des gaz
d'échappement. L'écoulement et la dispersion sont perturbés près des intersections. En effet,
lorsque les voitures accélèrent après l'intersection, il y a une plus grande émission de gaz et la
qualité de l'air est faible.
L'écoulement dans une rue est plus compliqué à modéliser. Il est très sensible aux
conditions limites ainsi qu'à la géométrie de la rue. Si le vent est perpendiculaire à la rue, il crée
une zone de recirculation dans la rue.
Lorsque la vitesse du vent est faible, la qualité de l'air urbain est faible. Cependant, les
modèles simulant la qualité de l'air ne sont pas très performants dans ces conditions.
4. Ouverture
L'écoulement et la dispersion de la couche limite atmosphérique se retrouvent dans de
nombreux domaines comme la météorologie, l'ingénierie, la géographie et autres. La
modélisation du phénomène est rendu difficile par l'implémentation des variables initiales. En
effet, des données sont manquantes et particulièrement des données mesurées sur le terrain.
Pour les études de dispersion, les échelles ne sont pas suffisamment bien adaptées au problème.
13
III. Article 2 : Turbulence dans les canopées
1. Introduction
La canopée est l'étage supérieur de la forêt, directement influencée par le rayonnement
solaire. L'étude de la turbulence dans les canopées est apparue il y a presque 35 ans grâce à une
étude de Raupach & Thom en 1981. Dans cette étude, il est expliqué que les écoulements
turbulents dans les canopées sont dû en très grandes parties aux grandes structures cohérentes.
Désormais, nous sommes capables de décrire ces structures et leur mécanisme ; l'attention des
chercheurs est donc plus concentrée sur l'étude des canopées dans les endroits où la végétations
est irrégulière (sur des collines ou dans des lisières de forêt par exemple) et leur rôle dans le
réchauffement climatique.
Etant donné la difficulté d'effectuer des essais dans des cas non homogènes et non
stationnaires, la recherche se fait depuis plus de vingt ans sur des cas simples. Ce document est
donc la conclusion de ces travaux.
2. Partie analytique
Du fait de sa complexité, il est impossible de représenter explicitement le flux d'air de
l'espace aérien au sein d'une canopée. Ainsi, les scientifiques se sont donc basés sur les
équations de Navier Stokes moyennées sur l'espace, c'est à dire les équations de Reynolds où l'on
a ajouté ensuite un terme source ou de traînée. La fonction obtenue était régulière dans
l'espace ; cependant, cela pose problème au second ordre. En effet, la traînée rajoute dans les
équations un terme d'amortissement visqueux (non newtonien). Les équations de Reynolds ne
donnent donc pas des résultats cohérents dans le cas d'une rugosité élevée (c'est le cas pour la
couche limite atmosphérique au dessus d'une ville ou d'une forêt). Il y a aussi des termes
supplémentaires de flux de dispersion à rajouter dans les équations du mouvement.
On utilise le système de coordonnées cartésien et on note :
ā (t)=
1 t +T /2
a( t ' )dt '
T ∫t −T /2
•
Moyenne temporelle :
•
Fluctuation par rapport à la moyenne temporelle :
•
Moyenne volumique :
•
On peut donc décomposer le flux Φj en un flux moyen et une fluctuation :
〈Φ j 〉 ( x , t)=
u i=ūi +u i ' où ūi '=0
1
3
Φ ( x + r , t)d r où V est le volume moyen.
V ∭V j
Φ j=〈 Φ j 〉+Φ j ' ' où 〈 Φ j ' ' (x ,t )〉=0
La dérivée et la moyenne volumique ne sont pas commutatives ; cependant, on peut prouver
que :
〈 〉
∂Φ j
∂〈 Φ j 〉 −1
=
= ∬S Φ j ni dS
∂ xi
∂ xi
V
où la surface S est la somme de toutes les surfaces
∂Φj
∂ 〈Φ j 〉 −1
=
= ∬S Φ j v i ni dS
∂t
∂t
V
〈 〉
solides comprises dans le volume V, ni le vecteur normal sortant de S et entrant dans V et vi la
vitesse en un point de S.
14
Pour obtenir l'équation de vitesse, il faut reprendre les équations de Reynolds et décomposer
chaques termes en moyennes et fluctuations puis appliquer les formules précédentes. Pour un
écoulement adiabatique, on obtient :
∂〈 ūi 〉
∂〈 ūi 〉 −∂〈 ̄p 〉 ∂ τi j
+ 〈 ūj 〉
=
+
+ f Fi + f Vi
∂t
∂xj
∂ xi
∂xj
où :
τ=−〈 u i '̄u j ' 〉−〈 ui ' '̄u j ' ' 〉+ν
∂ 〈 ūi 〉
∂xj
f Fi =
1
∬ ̄p n i dS
V S
f Vi=
−1 ∬S ∂ ūi
dS
V
∂n
- p est la pression cinématique
- ν est la viscosité cinématique
- τij est le tenseur des moments cinématiques
- fFi et fVi sont des forces de pression et de frottements
La même procédure peut être utilisée pour déterminer l'équation de quantité de
mouvement au second degré, cependant de nombreux termes en plus apparaissent (représentant
les corrélations entre les moyennes spatiales et les variations locales autour des moyennes).
3. Caractéristiques de la turbulence dans les canopées
- Vitesse :
Illustration 7: Profils de vitesse dans les canopées
On remarque sur les profils des différentes vitesses (vitesses moyennes, frottement, flux
turbulent..) en fonction de la hauteur un point d’inflexion en z=h où h est la hauteur de la
canopée.
15
On peut désormais tracer deux nouvelles échelles de longueur obtenues en intégrant les
vitesses par rapport au temps en suivant les hypothèses de Taylor :
u
Lu= σ̄
∞
∫0 u 1 ' (t ) u1 ' (t+ τ )d τ
u²
u
Lw= σ̄
∞
∫0 u 3 ' (t )u 3 ' (t + τ ) d τ
u²
et
avec Lu=h et Lw= h/3 en haut de la canopée.
-Diffusivité des tourbillons :
On note respectivement Km et Kh la diffusivité des moments et de la chaleur.
K m=
−u ' w '
−w ' θ
; K h=
∂ ū /∂ z
∂Θ/∂ z '
•
Dans la couche de surface largement au dessus de la canopée, la théorie de MoninObukhov nous donne : K m=K h=κν u∗(z−d ) avec κ ν la constante de Von Karman.
•
Juste au dessus de la canopée (h>z>3h), Km et Kh ont des valeurs supérieures à celles
dans la couche de surface. En haut de la canopée (z=h), Km augmente d'un facteur
compris entre 1,1 et 1,5 et Kh d'un facteur 2 à 3.
•
Le nombre de Prandlt :
Km
décroit d'une valeur proche de 1 dans la couche de
Kh
surface à 0,5 au sommet de la canopée.
4. Tourbillons dans les canopées
Pour obtenir les informations sur la structure spatiale des tourbillons, il est nécessaire de
réaliser plusieurs mesures ponctuelles. Pour un écoulement stationnaire horizontal et homogène,
on peut définir un coefficient de corrélation rij à deux pour d'espace et de temps différents :
r ij (x , y , z , τ , z ' )=
ui (x , y , z ,t + τ)u j (0,0, z ' , t)
(ui ' ²( z ))(1 /2) (u j ' ²( z ' ))(1/ 2)
On peut séparer la contrainte de cisaillement de Reynolds u'w' en 4 zones différentes
en fonction du signe de u' et w'.
u'
rafales
Interaction
intérieure
Interaction
extérieur
w'
éjections
Illustration 8: Contrainte de cisaillement
16
5. Hypothèses dans la couche de mélange
Lorsqu'on trouve deux écoulements de vitesses différentes, initialement séparés,
fusionnent ; une couche plane de mélange se forme. On trouve ce genre d'écoulement dans de
nombreuses applications d'ingénierie. Sur la figure suivante, on trouve de nombreuses propriétés
de la couche de mélange :
Illustration 9: Couche de mélange + variables normalisées en fonction de l'épaisseur du tourbillon
On peut aussi introduire la longueur Ls qui est une longueur caractéristique du cisaillement :
u (h)
1
1 Δu
L s= ̄
≈ λ w=
∂u
2
2 ∂ ̄u
( ̄)
( )
∂ z z=h
∂ z max
avec λw la longueur de mélange (et dans ce cas l'épaisseur des tourbillons.
17
6. Petites structures de la turbulence
On peut faire apparaître dans l'équation de quantité de mouvement la force volumique
aérodynamique Fi telle que : F i ( ⃗x )= f Fi + f Vi (forces de pression + forces visqueuses).
On écrit par convention :
F i (x )=−C d (x ) a ( x )〈 ūi 〉∣〈 ̄
u 〉∣ où ∣〈 ̄
u 〉∣=√ 〈 ūi 〉 〈 ūi 〉
〈 ̄u 〉 L
Re = ν
Les coefficients de traînées dépendent du nombre de Reynolds
où L est une
longueur caractéristique. Les valeurs du nombre de Reynolds varient de 10e5 dans la partie
supérieure à 10e2 en bas de la canopées.
7. Modèle TKE
Une grande partie de ce que nous venons de voir peut être expliqué en considérant
l'étude de l'énergie cinétique turbulente (= turbulent kinetic energy : TKE) modélisée par
l'équation suivante :
〈
〉
∂ 〈 ūi 〉
∂ ūi ' '
1
g
( ∂ +〈 ūj 〉 ∂ ) 〈ui ' u i ' 〉 =−〈 ui ' u j ' 〉
− ui ' u j ' ' '
+ 〈 ū3 θ ' 〉
∂t
∂xj 2
∂xj
∂ xj
T0
A
−
Ps
Pb
Pw
〈
〉
∂ 〈 ūj ' ' u i ' u i ' ' ' /2〉 ∂〈ui ' u i ' u j ' 〉/ 2 ∂ 〈 p ' u j ' 〉
∂ 〈u i ' ui ' 〉 /2
∂ ui ' ∂u i '
−
−
+ν
−ν
+ termes d ' agitation
∂xj
∂xj
∂xj
∂ x j ∂ xj
∂ xj ∂xj
Td
Tt
Tp
Tv
ϵ
Illustration 10: termes de l'équation du modèle TKE
18
IV. Article internet : Ondes orographiques et vents
descendants
1. Généralités
a) Les ondes atmosphériques
L’atmosphère, bien que constituée de gaz, se comporte comme un fluide. Les
perturbations se comportent comme des vagues et sont dues à plusieurs forces : la force de
Coriolis, la force de gravité et la friction.
Les différents types d’ondes atmosphériques
On retrouve ces « vagues » ou ondes atmosphériques à différentes échelles.
-
les ondes synoptiques à échelle planétaire pour lesquelles les mouvements horizontaux
sont prépondérants
-
des ondes atmosphériques plus petites où le mouvement vertical est plus important
-
les ondes de gravité, comparables aux vagues dans l’océan. Ce sont celles qui nous
intéressent au niveau des chaines montagneuses
-
les ondes stationnaires, contrairement aux vagues océaniques qui bougent alors que le
fluide est stationnaire
b) Les ondes orographiques
Une onde orographique est une forme d’onde de
gravité atmosphérique qui se produit lorsqu’une
masse d’air est forcée en altitude par un relief
(montagneux). Elle se forme au-dessus et au niveau
de la pente descendante des reliefs lorsque des
vents forts soufflent perpendiculairement à une
barrière naturelle.
Le travail du météorologue sera d’anticiper la
formation de ces systèmes d’ondes montagneuses,
d’estimer leur force et surtout de déterminer la
possibilité de turbulences au-dessus des reliefs ou
près de la surface.
19
c) Phénomènes climatologiques associés aux ondes orographiques
Nuages de sommet (en capuchon)
Les nuages de sommet peuvent indiquer la présence d’ondes orographiques. Ils apparaissent en
général au sommet des montagnes quand l’air s’élève audessus.
Si le flux ascendant est suffisamment humide, la vapeur va
se condenser en un nuage qui suit le contour de la
montagne. En redescendant, le nuage s’évapore. Attention
toutefois, l’absence de nuage en capuchon ne signifie pas
qu’il n’y a pas l’absence d’ondes orographiques. Dans des
conditions plus sèches, il peut y avoir des ondes de
montagnes sans formation d’un capuchon au sommet.
Souvent, de fortes pluies ont lieu en amont du versant au
vent, surtout si celui-ci est situé près de la mer.
Propagation verticale des ondes de gravité
Ces ondes se propagent verticalement au-dessus du versant sous le vent de la montagne.
Elles s’amplifient de plus en plus avec la hauteur et ont tendance à s’incliner. Elles sont à
l’origine de fortes turbulences à de très hautes altitudes comme de la turbulence en air clair
près de la tropopause. Certaines ondes ont même été documentées à 70 km et plus.
« Déferlement »/ « cassure » des ondes verticale
Les ondes à propagation verticale d’amplitude suffisante peuvent parfois « déferler »
dans la troposphère ou la basse stratosphère. Le déferlement de la « vague » induit des
turbulences extrêmes dans la zone de déferlement et aux alentours (une dizaine de kilomètres).
Vents descendants
Parfois, de forts vents descendants peuvent apparaître après la barrière montagne
montagneuse. Ils sont souvent associés à de forts flux transverses par rapport à une chaîne
montagneuse, au déferlement en altitude d’une onde verticale et à une inversion près du
sommet de la chaîne.
Dans les cas extrêmes comme les Alpes, ces vents peuvent atteindre 100 nœuds (2 ou 3
fois la vitesse du vent au sommet). Ils sont à l’origine d’un fort cisaillement et turbulence qui
peuvent engendrer des dégâts considérables pour les avions.
Les tempêtes de vents descendants s’arrêtent généralement au niveau du saut même si
on peut retrouver de la turbulence résiduelle en aval. La zone de saut peut s’étendre jusqu’à 3
km.
Rotors
Les rotors font partie de zone de turbulence de basse altitude associée au système
d’ondes orographiques en zone montagneuse. Ce sont des rouleaux tourbillonnaires présents
sous la crête des ondes présentes à l’aval de la chaîne de montagne et de la zone de saut. C’est
une région de forte turbulence potentielle à hauteur du sommet et environ 20 miles nautiques
après le relief.
Les rotors peuvent être identifiés si l’humidité dans l’air est suffisante pour
qu’apparaisse un nuage au sommet du rotor. Ils sont synonyme de forte turbulence et sont
souvent situés sous des nuages lenticulaires de plus haute altitude.
20
Ondes orographies stationnaires
Les ondes stationnaires ou ondes de Lee sont dites piégées. En effet, à cause du
cisaillement ou de l’instabilité, l’énergie ne se propage pas verticalement. On les trouve
quelques kilomètres au-dessus de la crête. Un forte turbulence peut se développer entre les
nuages lenticulaires (crête des ondes) et le sol.
Les nuages se forment quand l’air monte (la vapeur se condense) et s’évaporent quand il
redescend. Étant donné que l’air passe au travers alors que le nuage ne bouge pas, on les
appelle les lenticulaires stationnaires.
c) Climatologie
Ces phénomènes peuvent avoir lieu dès qu’un vent fort dans un environnement stable
rencontre une barrière topographique. Ceci est vrai quelle que soit la location ou l’orientation
de la montagne.
On retrouve plus fréquemment les tempêtes de vents descendants en hiver. Bien qu’elles
puissent avoir lieu à n’importe quelle heure, elles ont plutôt lieu la nuit, quand l’atmosphère est
plus table. Les vents descendants sont en général forts, chauds et secs.
2. Les vents descendants
a) Caractéristiques
De forts vents descendants des barrières de montagnes peuvent être associés au phénomène
d’ondes orographiques. Dans certains cas particuliers, les vents peuvent être très violents et
engendrer des dégâts considérables.
Lorsque le vent accélère en descendant de la montagne, il peut soulever des nuages de
poussière dans la vallée qui s’élève au niveau de la région de saut, sous les rotors.
Les vents les plus puissants se trouvent dans les 300 premiers mètres. Il y a donc un fort taux de
cisaillement au-dessus de cette frontière. Ce sont souvent des vents peut stables et en rafales.
b) Effet de Foehn
Ces vents peuvent être chauds ou froids selon le type de la masse d’air présente en
amont du versant au vent.
L’effet de Foehn est l’effet de réchauffement de la masse d’air en aval de la barrière.
L’air descendant se réchauffe en suivant une transformation sèche adiabatique avec un taux de
10°C/km.
3. Les ondes orographiques
a) Atmosphère stable
Prenons l’exemple d’une particule d’air en équilibre avec son environnement. La
particule considérée a la même densité que les particules voisines et, par conséquent, elle est à
l’équilibre.
Si l’on élève maintenant cette particule, il peut se passer 3 choses différentes :
-
la particule devient plus chaude et moins dense que son environnement créant ainsi une
force de flottabilité dirigée vers le haut qui entraîne la particule. On dit que
l’atmosphère est instable.
21
-
la particule reste à la même température et a la même densité que son nouvel
environnement, elle reste donc à l’altitude à laquelle elle a été placée. C’est un
environnement neutre.
-
la particule devient plus froide et plus dense que son environnement. On a alors une
force dirigée vers le bas qui ramène la particule à son altitude initiale. C’est le cas pour
une atmosphère stable.
Dans une atmosphère stable, le gradient thermique (variation de la température de l’air
avec l’altitude) doit donc être inférieur à 10°C/km (gradient thermique adiabatique). Ainsi, si
l’on élève une particule de 1km de façon adiabatique, elle refroidira de 10°C. Si l’air est
seulement 5°C plus froid qu’à la position initiale, la particule va redescendre.
Le gradient thermique standard de la troposphère est de 6.5°C.
c) Oscillation des ondes orographiques
Le retour à la position initiale se fait avec des oscillations. Si on lève une particule par
rapport à sa position d’équilibre, elle devient plus froide que son environnement. Une fois
libérée, celle-ci se met à redescendre car elle est plus dense que les particules alentour. En
arrivant à son niveau d’équilibre initial, entraînée par la force de gravité, elle le dépasse et
devient plus chaude que son environnement. Elle oscille ainsi quelques temps avant de se
stabiliser.
Quand une masse d’air est poussée au-dessus d’une montagne, les particules sont mises
hors de leur état d’équilibre. Le passage de la montagne va entraîner l’oscillation des particules
qui vont chercher à retrouver leur état d’équilibre. L’air étant advecté en même temps,
l’oscillation aura lieu sur la distance, comme une vague.
On notera que plus l’atmosphère est stable, plus la force qui ramène la particule à sa
position d’équilibre est forte et donc l’oscillation rapide. Des vents plus forts induisent une plus
grande longueur d’onde. Quand l’onde suit le relief, l’onde a tendance à s’amplifier.
d) Nombre de Froude
Nous avons vu précédemment que la stabilité de l’atmosphère, le vent et la topologie
sont les trois paramètres qui entrent régissent la formation des ondes orographiques.
Le nombre de Froude est un nombre adimensionnel qui résume l’influence de ces
paramètres.
Fr = vitesse du vent (énergie cinétique) / stabilité*hauteur (énergie potentielle)
Si Fr~1 : posibilité d’ondes orographiques
Si Fr << 1 : le flux est bloqué par la montagne
Si Fr >> 1 : la masse d’air passe au-dessus de la montagne sans ondes
e) Flux uniforme
On considère une chaîne montagneuse 2D de 1000m de haut. On suppose que
l’atmosphère est sec avec un gradient thermique de 6.5°C/km et que le vent est uniforme sur la
hauteur de la simulation (Froude uniforme sur la verticale)
Fr = 1.5 : on observe des ondes qui se propagent verticalement avec un déferlement. Apparition
d’une zone critique (vent horizontal négatif)
Fr = 3 pas d’ondes
Fr = 1 : la zone critique est plus basse que précédemment et contribue à la force des vents
descendants.
22
f) Flux complexe
Souvent, l’atmosphère n’est pas uniforme mais stratifié. C’est-à-dire que le vent ou la
température par exemple ne sont pas les même sur toute la hauteur.
Niveau critique
On a un niveau dit critique lorsque l’on a un fort cisaillement dû à un changement de
direction ou de vitesse du flux au-dessus. Ces niveaux critiques empêchent la propagation des
ondes verticales. En effet, l’énergie est renvoyée vers le bas et peut contribuer au
développement des tempêtes de montagne.
Inversion
Une inversion de température peut également empêcher la propagation des ondes. On
remarque qu’il y a souvent une inversion au sommet des montagnes dans les tempêtes.
4. Prévision
Prévoir l’existence, le type et la force des phénomènes météorologiques liés à la
présence des montagnes est très difficile du fait de la petite échelle de ces phénomènes. Il est
tout particulièrement important pour les météorologues de montagnes de combiner leur
connaissance des logiciels de prévision avec leur expérience de la climatologie de la région et de
la topographie.
a) Models NWP
Les modèles de prévision météorologique numérique (NWP) sont les seuls qui permettent
une prévision au-delà de 12 heures dans les zones montagneuses. Ils n’ont malheureusement pas
la résolution suffisante pour décrire correctement les phénomènes mis en jeu.
Le modèle possédant la meilleure résolution pour décrire les phénomènes en zone
montagneuse reste le modèle COAMPS à une résolution de 9km. Les autres modèles sont imprécis
ou plus incertain dans l’échelle de temps. On peut néanmoins combiner ce modèle au modèle
ETA à une résolution de 1km (imprécis dans le temps).
b) Méthodes de prévision sur courte durée
En plus des modèles NWP, les plateformes d’observation sont primordiales dans la
détection et prévision de phénomènes montagneux sur 12 heures. Ces observations se font
surtout par imagerie satellite, ballon-sonde et le rapport des pilotes.
23
V. Application à la spirale d'Ekman (programme
informatique)
Nous allons dans un premier temps étudier la spirale d'Ekman et réaliser une modélisation
à l'aide de Matlab.
Nous appliquerons ensuite l'étude de la spirale d'Ekman au cas particulier du mouvement
des feuilles de thé.
1. Position du problème et hypothèses
Nous considérons les équations suivantes qui modélisent une couche limite idéalisée en
présence de rotation :
∂u
1 ∂p ∂
∂u
−fv= ρ
+ (K
)
∂t
∂x ∂z
∂z
∂v
−1 ∂ p ∂
∂v
+fu= ρ
+ (K
)
∂t
∂ y ∂z
∂z
où u et v sont les vitesses du fluide (dans notre cas le fluide est de l'eau). Nous supposons
qu'elles ne dépendent uniquement de l'altitude z. Nous nous trouvons dans le cas de
l'approximation hydrostatique donc la vitesse verticale peut être négligée. Nous ne tenons pas
compte de la stratification.
Nous supposons que la masse volumique de l'air est constante avec
ρ=1,2 kg/m
3
.
∂p
∂p
=−ρ G y avec Gx et Gy des constantes.
=−ρG x et
De plus, nous considérons le cas où
∂x
∂y
f représente la force de Coriolis : f =2Ω sin Φ . Nous supposons que cette force est constante.
∂u ∂ u
= =0 .
Nous nous intéressons aux solutions stationnaires :
∂t ∂t
•
Dans un premier temps, nous supposons que la viscosité K est constante et G x = 0. Le
frottement est paramétré par la viscosité, elle peut être moléculaire ou turbulente
Sur le sol, la vitesse s'annule sous l'effet du frottement à z=0, nous avons u=v=0.
Nous notons
~
u =u−u g et ~
v =v −v g
les vitesses des vents agéostrophiques.
A=~
u +i ~
v et nous en déduisons l'équation suivante qui définit le système :
∂² A
f
=2 i γ ² A où γ est une constante et γ=
>0 .
∂z²
2K
Nous posons
√
24
En résolvant l'équation, nous obtenons les expressions des vitesses :
u(z )=u g [1−e−γ z cos (γ z)] et v (z )=u g e−γ z sin(γ z)
La contrainte de cisaillement exercée par le vent sur le sol est donnée par :
τ x 0=ρ K
donc
∂u
(0) et
∂z
τ y0 =ρ K
τ x 0=τ y 0=ρ K ug et
∂v
(0)
∂z
τ̄=ρ K γ ug ( ē x + ē y )
L'épaisseur de la couche limite d'Ekman est définie par :
rotation est Ω, on a
f =2Ω et donc
√
δ=γ−1= 2
√
K
δ=
Ω .
K
. Comme la vitesse de
f
2. Étude du problème dans la couche limite
atmosphérique
Nous prenons une valeur du vent géostrophique ug = 4 m/s et nous obtenons les graphes
suivants :
Nous observons que la couche limite atmosphérique est située du sol jusqu'à 2-3 m d'altitude.
Nous notons un maximum atteint pour
3
z= π γ
4
et
um =4,25 m/s . De plus, la vitesse à
grande altitude est constante égale à la vitesse du vent géostrophique.
Dans le profil de la vitesse v, cette vitesse est nulle sauf dans la couche limite atmosphérique où
elle est maximale en
1
z= π γ . Le maximum de v est atteint pour
4
v m =1,3 m/s , la vitesse v
est plus faible que u ce qui est physiquement logique.
25
Nous traçons l'hodographe des vitesses :
Nous observons une spirale qui se termine au point (ug,0).
La contrainte de cisaillement exercée par le vent fait un angle de 45° avec le sol.
•
Nous supposons dans cette partie que f = 0 et G x =G y =0 . La viscosité turbulente est
modélisée par K (z)=k ( z−d) u¤ où k = 0,41 est la constante de Von Karman et
u¤= ρτ
√
est la vitesse de frottement supposée connue et la contrainte de
∂u
.
∂z
De plus, nous supposons que u(d + z 0 )=0 .
cisaillement :
τ̄=ρ K ( d+ z 0 )
Pour cette couche limite turbulente, nous obtenons :
conditions limites sont :
rugosités du sol.
u
z−d
u( z )= κ¤ ln(
) . Les
z0
u(∞)=u g et u(0)=z 0 , z0 représente la hauteur des
3. Autre cas d'application : les feuilles de thé
Le phénomène de la spirale d'Ekman peut se retrouver dans des phénomènes de la vie
courante comme le cas des feuilles de thé. Lorsque nous mélangeons notre thé, les feuilles de
thé présentes dans l'eau se rassemblent au milieu. C'est le phénomène de la spirale d'Ekmn qui
est mis en jeu.
Cette fois-ci, le frottement est généré par les parois de la tasse qui ralentissent le fluide
et la contrainte de cisaillement est exercée par l'eau sur le fond de la tasse. La force de Coriolis
ne s'exerce plus dans une tasse de thé, c'est la force centrifuge qui joue le même rôle dans les
équations.
26
Références
•
R. E. Britter and S. R. Hanna, Flow and dispersion in urban areas, Annu. Rev. Fluid Mech.
2003. 35:469–96
•
John Finnigan, Turbulence in plant canopies, Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. 32:519–571
•
https://www.meted.ucar.edu/
•
http://hmf.enseeiht.fr/travaux/CD0001/travaux/optemf/bei_eol/pa_22.htm
•
http://www.meteobell.com/__glossaire_c.php
27

Couche limite atmosphérique

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