Mouvement d`un tronc d`arbre A Le tronc qui glisse

Examen solide MEC24a 2e session
Mouvement d’un tronc d’arbre
juin 2015
Un bûcheron veut faire descendre un tronc d’arbre (longueur L, masse M , rayon R) le long une
pente faisant un angle α avec l’horizontale.
Dans la première partie le tronc descend la pente avec son axe parallèle à la ligne de plus grande
pente, sans rotation. Dans la seconde partie le tronc descend la pente en tournant sur lui-même, son
axe cette fois-ci orienté horizontalement (cf figure ci-dessus). Les deux parties sont indépendantes.
Soit (T0 ) = (O0 , xˆ0 , yˆ0 , zˆ0 ) un repère orthonormé direct, O0 x0 étant suivant la ligne de plus
grande pente du plan incliné, et O0 y0 normal au plan. On admet que le référentiel lié à (T0 ) est
galiléen. On note x l’abscisse du centre de gravité G du tronc dans le repère (T0 ).
On note f le coefficient de frottement entre le sol et le tronc.
A
Le tronc qui glisse
/ 7 pts
Dans cette première partie, le tronc ne tourne pas : il descend la pente en glissant, avec son
axe orienté selon la ligne de plus grande pente.
1. Le tronc a une vitesse initiale égale à zéro. Quelle est la condition sur le coefficient de
frottement pour qu’il commence à glisser quand le bûcheron le lâche ? Cette condition dépendelle de la taille de la surface de contact entre le tronc et le sol ?
2. Quelles sont les forces qui s’appliquent sur le tronc lors de son mouvement de glissement ?
Les représenter sur un schéma.
3. Appliquer le théorème de la résultante cinétique au tronc. En déduire la valeur de la résultante
de la force de contact exercée par le sol (composantes normale et tangentielle).
4. En déduire enfin l’expression de la position du centre de gravité G du tronc en fonction du
temps.
1
B
Le tronc qui roule
/ 13 pts
Dans cette partie, le bûcheron oriente le tronc horizontalement : le tronc descend alors la pente
en roulant. On note (T1 ) = (G, xˆ1 , yˆ1 , zˆ1 ) un repère orthonormé direct lié au tronc. On note θ
l’angle entre xˆ0 et xˆ1 . Le tronc roule sans glisser par rapport au sol.
1. Quelle est la relation entre θ et la distance x ? On rappelle que x est l’abscisse de G dans
(T0 ).
2. Montrer que la matrice d’inertie du tronc en G dans la base liée à (T1 ) vaut :


M R2 /4 + M L2 /12
0
0

0
M R2 /4 + M L2 /12
0
JGz = 
0
0
M R2 /2
3. Donner la valeur du moment cinétique du tronc en G.
4. Donner l’expression du torseur cinématique et du torseur cinétique du tronc en G.
5. Donner l’expression de l’énergie cinétique du tronc.
6. Appliquer le théorème de la résultante cinétique au tronc : quelles sont les inconnues dans
ces équations ?
7. Appliquer le théorème du moment cinétique au tronc.
8. En déduire l’expression de x(t) et de θ(t).
9. Que vaut le travail des forces de frottement ? Retrouver le résultat de la question 8 par
application du théorème de l’énergie cinétique.
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