dimensions_ordres_de_grandeur

Corrigé du module dimensions et unités
Unités du Système International SI
Système MKSA : Mètre Kilo Seconde Ampère, qu’il faut compléter avec le Kelvin, la mole et le candela
Kelvin
Il existe une température en dessous de laquelle on ne peut descendre, dite 0 absolu. A cette température tout est figé,
l’agitation thermique est alors nulle. On dit T= zéro degrés kelvin et on note T=0 K
L’échelle de température Celsius habituelle notée t ou si on a aussi besoin de la variable temps, échelle centésimale,
définie par le fait que la glace fond à la pression atmosphérique à 0°C et que l’eau bout à température à 100°C est liée à
l’échelle Kelvin dans laquelle la température la plus basse atteignable est 0K par la relation (°C) = T(K) + 273.15
Une augmentation de 1°C est identique à une augmentation de 1K, les deux échelles sont juste décalées, l’origine en
étant différente.
Le zéro absolu en °C a donc lieu à la température =-273.15°C
L’azote liquide est à une température de 77K l’hélium liquide à 4K, pour atteindre des froids ultimes
On plonge un cryostat à l’hélium dans un cryostat à l’azote, dans le cryostat à l’hélium on met un réfrigérateur à dilution He3 He4 et dans ce dernier on pratique une
désaimantation adiabatique nucléaire
C’est en référence à Lord Kelvin alias Thomson grand physicien anglais que le nom de l’unité a été choisi
Remarque: Les americains utilisent encore le degre Fahrenheit qui n’est pas une unite SI
degrés Fahrenheit en kelvins : K = (°F + 459,67) / 1,8
kelvins en degrés Fahrenheit : °F = K × 1,8 − 459,67
mole
Le nombre d’Avogadro qui vaut à peu près 6.02 1023 , correspond au nombre d’atomes de carbone 12 que l’on trouve
dans 1g de carbone 12 pur. On parle de 1 mole d’entités, quand on considère un nombre d’entités égal au nombre
d’Avogadro.
1 mole de d’atomes identiques à pour masse la masse molaire de l’élément considéré.
Remarque : Il est rare qu’on parle d’une mole d’entités non microscopiques par exemple la mole d’éléphant est peu usitée.
candela
Les espèces vivant à la surface de la terre ont évolué sous un soleil qui émet principalement dans le jaune et les
photorécepteurs de leur rétine sont plus efficaces dans cette couleur que dans les autres.
Les éclairagistes (fabricants d’ampoules) ont eu besoin d’une unité qui décrive plus que la puissance ou intensité (en
watts) émise par les sources qu’il fabriquaient. Il faut appliquer une pénalité aux Infrarouge et aux ultra-violets que l’œil
humain ne voit pas, un grand bonus au jaune et un bonus moindre au rouge et au bleu que l’on voit un peu moins bien.
La grandeur qui en résulte s’appelle le flux lumineux et l’unité qui la caractérise et prend en compte la sensibilité de l’œil
humain s’appelle le candela. Symbole Cd.
Remarque : Des quantités telles que la puissance émise par angle solide (angle dans l’espace généralisation de l’angle du plan) dite intensité ou la puissance émise par
m² d’émetteur dite émittance ou reçue par m² de récepteur dite éclairement sont aussi nécessaires. Elles existent en version non lumineuse ou lumineuse, dans le
deuxième cas leur unité est alors dérivée du candela.
Dimension et Unité des grandeurs observables usuelles dérivées des grandeurs
fondamentales
Force
F
ma
m
d ²x
dt ²
F
M LT
2
1 Newton 1 N
1 kg .m.s
2
Energie
Ec
B
Ec ( B) Ec ( A) W
A
F .dOM
W
F .dOM
E
W
F dOM
M L² T
2
1J
1kg .m ².s 2 Le théorème
de l’énergie cinétique montre que l’énergie est de la dimension d’un travail
M
M’
O
dOM
OM ' OM
MM ' est le déplacement élémentaire
Pression
dF
PdS avec dS
dS N
F
P
L²
M L 1T
2
1Pascal
1Pa
1kg .m 1 .s
2
Coulomb
t
dq
dt
I (t )
q(t ) q(0)
I (t )dt
0
Ainsi le coulomb c’est la charge correspondant au passage d’un courant de 1 ampère pendant 1 seconde
Champ électrique
comme F
qE
E
F
AT
MLT
AT
.
2
M LT 3 A
1
Potentiel et tension
tension U
V ( A) V ( B)
dV
dV
dx
dx
V
E L
or E = U
E
ddp différence de potentiel en fait diminution de potentiel
dV
E ( x)dx
B
A
dV
B
A
E ( x)dx
V ( B) V ( A)
B
A
E ( x)dx
U
V ( A) V ( B)
B
A
E ( x)dx
En fait
l’usage est de dire que l’unité du champ électrique est le volt/m
Champ magnétique
comme F
qv
B
B
F
qv
M LT 2
AT LT 1
M T 2A
1
( le produit vectoriel comme son nom l’indique donne comme résultat un vecteur il s’applique à deux vecteurs comme le produit scalaire et sera défini plus tard dans
l’année)
B s’exprime en Teslas ; le champ terrestre a pour valeur 5 10-5T dans ITER on monte à 20T
Résistance
U = R I permet de trouver l’unité de R dite Ohm ( )
Inductance, capacité, (plus tard dans l’année)
Ce sont les lois U
L
di
et U
dt
q
qui permettront de statuer
C
C s’exprime en Farad (F), L s’exprime en Henry (H)
Calcul aux dimensions
Problème 1
Un pendule simple est une masse ponctuelle m qui oscille dans un plan vertical au bout d’une corde inextensible de
longueur l selon une trajectoire qui est un arc de cercle.
La période qui caractérise cette trajectoire devrait s’exprimer en fonction des paramètres du problème, champ de
pesanteur g , longueur du pendule et masse du pendule m.
La seule combinaison de ces paramètres qui produise un temps est
l
ou
g
On peut donc penser que : T0
l
g
est un nombre sans dimension.
Une projection de la Relation Fondamentale de la Dynamique ou ( PFD principe...) sur la direction orthoradiale du
mouvement montre que T0
2
l
(orthoradial signifie perpendiculaire à la direction de visée)
g
On peut vérifier que plus un pendule est long, plus la mesure qu’il bat est longue.
On peut encore s’étonner de la non intervention de la masse, mais en fait c’est courant pour les problèmes non
dissipatifs. Considérons le plus simple d’entre eux la chute libre, on écrit :
ma
mg avec un axe descendant qui donne a = z =g
Masse inerte (paramètre qui décrit la difficulté qu’il y a à mettre un objet en mouvement) et masse gravitationnelle
(paramètre qui décrit la sensibilité à l’attraction gravitationnelle ou au champ de pesanteur) sont identiques et
s’éliminent. La raison est que ces deux paramètres étant toutes les deux proportionnels à la quantité de matière, on a
choisi de les considérer comme identiques.
Problème 2
L’analyse dimensionnelle a permis à G. I. Taylor d’estimer en 1950 l’énergie dégagée par l’explosion d’une bombe
atomique, alors que cette information était classée top secret. Il a observé sur un film d’explosion, que la dilatation du
champignon atomique suivait la loi expérimentale de proportionnalité : r(t) ∝ t2/5
Taylor a ensuite supposé que ce phénomène dépend au minimum du temps t, de l’énergie E dégagée par l’explosion
et de la masse volumique de l’air ρ. Déterminer à partir d’une analyse dimensionnelle l’expression de r en fonction de
ρ, E et t puis en déduire l’expression de E.
Solution du problème du champignon atomique : r
E
1/ 5
t²
Une histoire de marchand
De la même façon que le marchand refusera de mettre des cerises et des patates dans la même balance car elles ne sont
pas au même prix au kg, cela n’a pas de sens d’additionner deux quantités qui n’ont pas la même dimension ou la même
unité. En Physique la salade de fruit n’est pas un dessert appréciable.
Le calcul des dimensions sur une expression littérale finale permet de déceler bien des erreurs.
Les fonctions mangent (ont pour argument) des nombres, quantités sans dimension, et produisent
(ont pour résultat ) des nombres aussi.
Conversions, ce sont des règles de 3 :
Volume
1L=1dm3 représentez vous une boîte de craie de 10cm de coté on peut y verser un volume de 1L.
Vitesse linéaire
Athlète 10s au 100m, soit 1sec pour 10m, en 1h=3600s distance parcourue = 10*3600m=36 km soit 36km/h
Vitesse angulaire= pulsation
1500tours/min c’est 1500tours/60s=(150/6)tours/s=(50/2)tours/s=25tours/s=25Hz le tour étant un nombre sans
dimension
C’est aussi 25 * 2 radians/s 25*2*3.14rad/s=157rad/s
Le radian est une unité sans dimension 2 =circonférence du cercle/rayon du cercle=2 R/R
Convertissons 15° en radian
360 °=2 radians 1°=2 radians/360 15°=15.2 radians/360=30 radians/360=
12
radians
400kg de sable, c’est vendu en sac chez les marchands de matériaux par exemple. ça fait quel volume ?
Si c’était de l’eau ça ferait 400L (c’est à la révolution française que l’on a décidé que 1L serait le volume d’1kg d’eau pure)
Prenons pour densité du sable 3 ça fait donc trois fois moins 133L
133 est légèrement supérieur à 5*5*5=25*5=125 donc un sac cubique de 50 cm de côté à soulever avec un Fenwick
d
sabke
3
Vsable
eau
msable
sabke
msable
3 eau
400
1000
3.
1
0.133m3
133L
Chiffre significatifs :
C’est le nombre de chiffres que l’on donne pour la valeur d’une grandeur sans compter les zéro avant le premier
chiffre non nul.
Exemple : 0,16 et 0,016 sont donnés avec deux chiffres significatifs. En revanche 0,160 et 100 le sont avec trois.
Si, pour une application numérique, on dispose de données comportant un nombre différent de chiffres significatifs,
l’application numérique finale comportera le nombre de chiffres significatifs le plus bas.
Exemple : R1 = 112 Ω; R2 = 1,0 kΩ, R1 + R2 = 1, 1 kΩ. On aurait pu être tenté d’écrire R1 + R2 = 1112 Ω. . .
Quelques ordres de grandeur :
Vitesses :
- Un avion de ligne vole à 0.8 Mach c ‘est à dire à 0.8*330m/s = 260 m/s = 936 km/h
( il vole à 10 000 m d’altitude sous une incidence de 5 ° Un avion de ligne porte 600kg/m² d’aile, pour comparer un fer à repasser qui volerait pourrait peser 4kg
Son coefficient de finesse rapport de la traînée sur la portance est de 5% )
- Vitesse du son dans l’air 330m.s-1 ( pas de déplacement moyen de matière, oscillation autour d’une position d’équilibre)
- Vitesse du son dans un métal 5000 m.s-1
- Vitesse de la terre sur son orbite : 2 150 106 km/(365*24*3600) = 30 km/s
- Vitesse d’évasion de la terre depuis sa surface10km.s -1, du soleil depuis la terre 60km.s-1, de la galaxie 330 km.s-1
- Vitesse de déplacement d’ensemble des électrons dans un courant continu de l’ordre de 0.3 mm.s-1
3 ²N
- Vitesse des électrons dans un métal = vFermi =
m
V
1/ 3
, N/V étant la concentration en électrons vF = 1000 à 2000 km/s
-vitesse de la lumière dans le vide de l’ordre de 3 108m/s
- Indice de l’air : 1.000279
Indice de l’eau : 1.33
Indice des crowns :1.5-1.6
Indice des flints ( cristal oxyde de Pb):1.6-1.7
8
c=c0/n =(310 m/s )/n vitesse de la lumière ou du champ électromagnétique dans une fibre optique ou un coaxial de l’ordre de 2 10
m/s
8
Atmosphère :
Si la coquille sphérique qu’est l’atmosphère était uniforme en pression à la pression qui existe au niveau de la mer alors elle aurait
une épaisseur de 8000m
En réalité l’air étant un fluide très compressible la pression réelle à 8000m est de l’ordre de 30% Patm(z=0)
Hauteur d’eau équivalente à une atmosphère : 10m
Vitesse des vents de cyclone 180km/h ( déplacement de matière)
Puissance :
Puissance d’un laser pédagogique : 1 mW diamètre du faisceau 0.5mm
Flux d’un laser pédagogique : 4000 kW/m²
laser de découpage : 5 kW
Calculatrice, laser de lecture CD de l’ordre du mW
Lampe de poche 1W
Eclairage 100W
TV 300W
Homme en plein effort qui fait un test d’effort cardiaque de ¼ d’heure 150 à 200W
900 W - BioMed : la puissance de sortie d'un humain en bonne santé (non-athlétique) moyenne sur les 6 premières
secondes d'un sprint de 30 secondes
20-40 W - BioMed : la puissance consommée approximative du cerveau humain.
100 W - BioMed : la puissance moyenne approximative utilisée par un corps humain.
jusqu'à 2 kW - BioMed : puissance de sortie approximative sur un temps court des sprinters cyclistes professionnels.
82 W - Tech : la puissance de crête consommée d'un microprocesseur Pentium 4.
300-400 W - Tech : la puissance typique d'un PC.
Lave linge 0.5kW
Réfrigérateur 1 kW (mais fonctionne en discontinu)
Aspirateur 1.5kW
Four 3kW sèche linge 3kW
Radiateur électrique : 500W à 2kW
Chaudière 30kW
Voiture avec moteur 150 CV = 110 kW (Cheval vapeur 736 watts)
Puissance mécanique d’une automobile 50 kW=90ch*736W/ch,
consommation énergétique d’une automobile 50kW/ =50kW/0.3=160kW
Rame TGV du record Au total, la rame V150 développe une puissance de 19,6 mégawatts, soit plus de 25 000 chevaux, contre 9,3
mégawatts (12 500 chevaux) pour un TGV conventionnel. Cela représente près de deux fois la puissance développée par l’ensemble
des voitures au départ d’un grand prix de F1.
117 MW - Tech : puissance totale (propulsion et besoins divers) du paquebot Queen Mary 2 (lancé en 2004)
1 GW - Tech : la puissance thermique du four d'un haut fourneau produisant quotidiennement 6 000 tonnes de fonte6,note 1.
1 GW - Tech : la puissance électrique moyenne d'un réacteur nucléaire d'une tranche de centrale nucléaire moderne.
2,074 GW - Tech : la puissance générée par le barrage Hoover.
18,2 GW - Tech : la puissance électrique générée du barrage des Trois-Gorges en Chine.
Rayonnement :
- Au cours d’un vol spatial de 2 ans avec les techniques de protection actuelles ¼ des cellules du corps des spationautes seraient
détruites par le rayonnement cosmique.
- Flux moyen reçu par la terre venant du soleil au niveau de la face éclairée de la terre
: 1.35 kW/m2
Soit 342W.m-2( moyenne sur 1an et sur toute la surface de la terre ) 1.35 *( R² /4 R²)=0.34
- Au sol lumineux : 160 W/m² ( moyenne sur 1an et sur toute la surface de la terre )
-120 W - Tech : la puissance de sortie d'un panneau solaire photovoltaïque d'un 1 m2 en plein soleil.
-Température moyenne de la terre 15°C
-Flux géothermique moyen 60 mW.m-2
-B terrestre 2 10 - 5 teslas
B pulsé 50T
3,3-6,6 kW - Eco : la puissance de sortie moyenne de la photosynthèse pour 1 km2 d'océan4.
500 kW - Tech : puissance nominale d'une éolienne avec un rotor de 40 m de diamètre, et un vent de 43 km/h (12 m/s).
Rendement :
rendement d’une centrale nucléaire 30 %, c’est une machine à vapeur le rendement de Carnot est la valeur maximale
compte tenu de l’utilisation de l’eau à une température inférieure à 100°C et d’une source froide à 15°C
max=
1- (273+15)/(273+100)=1-3/4=0.25
rendement des moteurs thermiques 25 à 30%
rendement d’un moteur électrique 60 %
rendement d’un transformateur 99%
rendement d’une pile 90%
rendement lumineux d’une lampe à incandescence 2%
rendement lumineux d’un tube fluorescent 10%
rendement lumineux d’une diode électroluminescente 30%
Incandescence 20 lm/W
halogène 30 lm / W
Led 50 lm/W néon 80 lm/W sodium 150 lm/W
Températures de fusion, capacités calorifiques :
TFusion : N2 -209.9°C
Hg -39°C eau : 0 °C Pb : 327°C Or : 1063°C Cu : 1084°C Fe :1535°C Titane : 1800°C
Dans un réacteur d’avion de l’ordre de 1000°C soit des températures proches du fluage
Capacité calorifique massique de l’eau : 4.18 kJ.kg-1K-1
Soit 0.35 103 kJ/ kg d’énergie emmagasinée pour 85° d’écart
enthalpie de fusion ( ancienne dénomination : Chaleur latente de fusion de l’eau) :
enthalpie d’évaporation de l’eau :
0.3 103 kJ/kg
2.4 10 3 kJ/kg
Pression de vapeur saturante de l’eau CNT : 0.03 105 Pa
CP(Alu) = 24.4 J .K-1mol-1 = 1 J.K-1g-1 =
1
kJ.K-1.kg-1
CP(Cu) =
0.385 kJ.K-1.kg-1
Energie des combustibles fossiles:
29.3 103 kJ/kg
Combustion charbon :
30 ans de réserve ?
42 103 kJ/kg
Combustion pétrole :
Combustion gaz :
46 103 kJ/kg
Combustion octane (carburant):
50 103 kJ/kg
tep 50 106 kJ/tonne = 50 103 kJ/kg
Réserve hydrocarbures 50ans ?
Remarque : plus le prix de l’énergie augmente plus l’extraction des ressources profondes et peu abondantes a des chances de devenir rentable
Carburants verts : Faites une recherche sur le net concernant le concept d’énergie grise
filière
Energie brute produite par Ha et Energie nécessaire pour les engrais Energie nette produite par Ha et
par an (en tonne équivalent la culture et la distillation par Ha et par an (en tonne équivalent
pétrole)
par an (ne rentre pas en compte le pétrole)
coût énergétique de la fabrication
et de l’entretien des machines
agricoles)
Huile de colza
1.37
0.50
0.87
Huile de tournesol
1.06
0.29
0.77
Ethanol de betterave
3.98
3.22
0.76
Ethanol de blé
1.76
1.72
0.04
Energie des combustibles nucléaires :
Fission
Atome d‘uranium Sa fission libère une énergie voisine de 202,8 MeV par atome fissionné
Masse atomique 238g
Energie récupérée pour la fission de 1 kg d’uranium 235 200MeV
200 106
1.6 10- 19
6.02 1023 4 = 8 1013J/kg = 8 1010 kJ/kg
compte tenu du fait que l’Uranium 235 ne représente que 0.7% du minerai on récupèrera seulement 6 10 8 kJ/kg de
minerai
Réserve uranium 50 ans ?
la maîtrise des surrégénérateurs permettrait de multiplier par 100 le combustible fissile exploitable
Fusion : domaine de recherche ITER
suite des réactions de fusion avec le deuterium 20 Mev pour au départ 2 atomes de deutérium qui fusionnent soit 4g/mole
énergie récupérée pour la fusion de 1 kg de deutérium
20 106
1.6 10- 19
6.02 1023 250 = 5 1014J/kg = 5 1011 kJ/kg
du fait qu’on ne trouve que 30 g de deutérium par litre d’eau de mer
l’énergie récupérée par litre d’eau de mer sera seulement de 30 10-6 5 1011 kJ/kg d’eau de mer
soit 1.5 107 kJ/kg d’eau de mer. Ce qui est moins que ce que donne les procédés de fission, mais la ressource en eau est
beaucoup plus abondante que celle en uranium
Consommation énergétique
Consommation énergétique primaire par personne par an ( ie au niveau de la centrale rendement de Carnot)
Monde 1.7 tep
France 3
USA 8
1 tep =12 MWh = 43 GJ
hydraulique 5%, Nucléaire 7%, gaz 23%, charbon 26%, pétrole 39%
Préfixes du Système International MKSA)
Alphabet grec
minuscule majuscule appellation
Exa
1018
A
alpha
Péta
1015
B
bêta
Téra
1012
Giga
109
Méga
106
Kilo
103
Déci
10-1
gamma
delta
E
epsilon
Z
dzêta
Centi
10-2
H
êta
Milli
10-3
Micro
10-6
Nano
10-9
Pico
10-12
Femto
10-15
Atto
10-18
thêta
I
K
iota
kappa
lambda
M
mu
N
nu
xi
o
O
omicron
pi
P
rhô
sigma
T
tau
upsilon
phi
X
khi
psi
oméga
10
Constantes physiques (valeurs approchées)
mn = 1.67495 . 10-27 kg masse du neutron
h = 6.62618 .10-34 J.s constante de Planck
 (prononcer h barre) = h/(2 ) ≈ 10-34 J.s
0≈
1/ (4
*
9.109)
1/ (4
0)
≈ 9.109
permittivité diélectrique du vide
kB = 1.38066 . 10-23 J.K-1
0
constante de Boltzmann
= 1/ ( 0.c0²) ≈ 4
.10 -7
perméabilité magnétique du vide
= 6.02205.1023 mol-1 nombre d’Avogadro
= e²/(4
R = kB.
= 8.3144 J.K-1.mol-1
0
 c) ≈ 1 / 137,0360
constante de structure fine (sans dimension)
constante des gaz parfaits ou constante de Joule
a0 = [ /(mec)] /
= 5.292 10-11m rayon de Bohr
G = 6.672.10-11 Nm²/kg²
Constante universelle de la gravitation
- Ei = ²mec²/2 = 13.60580 eV
énergie d’ionisation de l’atome d’hydrogène
e = 1.60219 . 10
-19
C
charge du proton et opposé de la charge de
l’électron
R = -Ei /(h.c) =1.09737318.105cm-1
Constante de Rydberg
F=
. e = 96485 C.mol-1
Faraday
c0 = 2.997925.108 m.s-1
2 5 k B4
15c ² h3
5.67.10 8W .m 2 .K
4
M
T4
Constante de Stephan
vitesse de la lumière dans le vide
0
8 5 k B4
15c3h3
7.56 10
16
J .m 3 .K
4
u
T4
0
me = 9.10953 . 10-31 kg masse de l’électron
µB= 9,274 015.10-24 J.T-1 Magnéton de Bohr
mp= 1.67265 . 10-27 kg =1836.1515 me
masse du proton
u = 1,660 540.10-27 kg Unité de masse atomique
11