3ème : ENTRAINEMENT AU BREVET DES COLLEGES Janvier

3ème :
ENTRAINEMENT AU
BREVET DES COLLEGES
Janvier 2012
Epreuve de :
MATHEMATIQUES
Durée : 2 heures
♦ L’emploi de la calculatrice est autorisé. ♦ En plus des 36 points prévus pour les 3 parties de l’épreuve, la présentation, la rédaction, le soin seront évalués sur 4 pts. Partie NUMERIQUE (sur 12 points)
Exercice n° 1 (/3 pts) :
On considère les 3 nombres suivants :
1
5 3
1 5 2 1 10 6 10
16 8
+ : =
+ × = + =
+
=
=
3
6 2 3 6 3 3 18 18 18
18 9
B = 50 45 – 3 5 + 6 125 =
50× 9× 5 – 3 5+ 6× 25× 5
= 177 5
150 5 – 3 5 + 30 5
-2
5
3
35×10
5 × 10 × 7 × 10
-4
-3
=
C=
7
7 = 17,5×10 = 1,75×10
2 × 10
2×10
A=
1 / Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une fraction la plus simple possible.
2 / Ecrire B sous la forme a 5 , où a est un nombre entier.
3 / Calculer C et donner sa notation scientifique.
Exercice n° 2 (/4 pts) :
On considère l’expression D = (2x + 3)² + (2x + 3)(7x – 2)
1 / Développer et réduire D. D = 4x² + 12x + 9
+
14x² - 4x +21x – 6
= 18x² +29x + 3
2 / Factoriser D. (2x + 3) [ (2x + 3) + (7x – 2) ] = (2x + 3)(9x + 1)
3 / Résoudre l’équation (2x + 3)(9x + 1) = 0. Signifie que 2x+3=0 ou 9x + 1=0
2x = -3
9x = -1
x = -1,5 et x = -1/9 sont solutions de l’équation.
4 / Calculer D pour x = - 4. D = (-5)² + (-5)×(-30) = 25 + 150 = 175
Exercice n° 2 (/5 pts) :
L Barème (pour éviter de jouer au LOTO !) :
.
1 point par bonne réponse.
0 point s’il n’y a pas de réponse.
- 0,5 si la réponse est fausse.
Si le total des points est négatif, l’exercice sera noté 0.
.
.
.
Question
Réponse A
Réponse B
Réponse C
(3x – 2)² =
9x² - 4
9x² - 6x + 4
9x² - 12x + 4
Pour x = 2 5,
l’expression x² + 2x + 1 vaut :
25 5
21 + 4 5
24 5 + 1
9
3 2
2 3
x<2
x>2
x < -2
18 a pour valeur exacte
Les nombres x, solutions de
l’inéquation 7x – 5 < 4x + 1 sont :
Sur la droite graduée ci-dessous, on a
colorié les valeurs de x vérifiant :
x < -3
x
> -3
x
< -3
Partie GEOMETRIQUE (sur 12 points)
Exercice n° 1 (/8 pts) :
La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur.
A et E appartiennent respectivement à [DB] et [DC]
On donne :
AB = 5,4 cm ; BC = 7,2 cm
AC = 9 cm ; AD = 2,6 cm
les droites (AE) et (BC) sont parallèles.
D
A
E
1 / Faire une figure en vraie grandeur.
(→ Attention : laissez de la place pour la question 6 / !!)
2 / Calculer AE.
On utilise le théorème de Thalès :
(AE) // (BC)
(BA) et (CE) sont sécantes en D.
DA DE AE
Donc
= =
DB DC BC
AE
2,6
=
2,6+5,4 7,2
2,6 AE
=
8 7,2
8AE=2,6×7,2 = 18,72
AE=2,34 cm
3 / Démontrer que le triangle ABC est un triangle
rectangle.
On utilise la réciproque du théorème de Pyhtagore.
D’une part,
AC²=9²=81
D’autre part, AB²+BC²=5,4²+7,2²=81
Donc ABC est rectangle en B
4 / Calculer l’angle a
ACB (valeur arrondie au degré près).
Dans ABC rectangle en B
BC
Cos(a
ACB)=
= 7,2/9 = 0,8
AC
a
ACB=cos-1(0,8)≈37°
5 / Calculer l’aire du triangle BDC.
7,2×(2,6+5.4) 7,2 × 8
ABDC =
=
= 28,8 cm²
2
2
6 / Construire la symétrie « complète » de cette figure par rapport au point B.
B
C
Exercice n° 2 (/4 pts) :
On considère la figure ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur.
Les points B, C et D sont alignés. (AC) est la hauteur du triangle ABD issue de A.
A
49°
30 cm
25 cm
B
C
D
1 / Calculer la valeur exacte de BC, puis en donner la valeur arrondie au mm.
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en C.
AB² = BC² + AC²
30² = BC² + 25²
900 = BC² + 625
BC² = 900 – 625 = 275
BC = 275 ≈ 16,6cm
2 / Calculer l’arrondi au mm de la distance BD.
Dans ACD rectangle en C
CD
tan(a
CAD)=
AC
CD
tan(49°)=
25
CD=25×tan(49°)
CD≈ 28,8 cm
BD = BC + CD = 275 + 25×tan(49°) ≈ 45,3cm
PROBLEME (sur 12 points)
PARTIE A
Le cirque « Honskry » s'est installé en ville.
Le chapiteau est constitué d'un cylindre de 20m de rayon et de hauteur 7,5m.
Ce cylindre est surmonté d'un cône de révolution de hauteur [AO] , tel que a
ABO = 10° (voir schéma).
1) Montrer que l'aire de la piste, arrondie à l’unité, est d'environ 1257 m².
A = π×20² = 400π ≈ 1257m²
2) En déduire le volume du cylindre.
V≈1257 × 7,5 = 9427,5m3
3) Démontrer que AB ≈ 20,3m ; puis que AO ≈ 3,5m.
Dans AOB rectangle en O
20
cos(10°) =
AB
AB=20 : cos(10°) ≈ 20,3m
AO
tan(10°) =
20
AO=20×tan(10°) ≈ 3,5m
4) En déduire le volume du cône.
1257×3,5
V’≈
= 1466,5 m3
3
5) Calculer alors le volume total du chapiteau.
V + V’ = 9427,5+1466,5 = 10 894m3
PARTIE B
Pour maintenir le chapiteau, on tend des câbles [EG]
et on plante des poteaux [HI].
On donne alors :
EH = 2 m ; EG = 8 m ; EI = 1 m ; EF = 4 m.
et GF = 7,5 m.
1) Démontrer que (HI) est parallèle à (GF).
Les points G,H,E et F,I et E sont alignés dans cet ordre.
D’une part, EH/EG=2/8=0,25
D’autre part, EI/EF=1/4=0,25
D’après la réciproque du théorème de Thales, les droites (HI) et (GF) sont parallèles.
2) En déduire la longueur des poteaux [HI].
On utilise le théorème de Thales :
(HG) et (IF) sont sécantes en E.
(HI) // (GF)
Donc HI/7,5 = 1/4 = 2/8 et donc HI = 7,5 :4 = 1,875m
PARTIE C
Les entrées « adultes » sont au prix de 5,2 € et les entrées « enfants » au prix de 3 €.
1) a) Calculer la somme perçue pour la vente de 45 places « adultes », puis celle de la vente
de 80 places « enfants ».
45×5,2= 234 € pour les adultes et 80×3=240€ pour les enfants.
b) Le cirque paye la location de son emplacement 100 €. Calculer alors son bénéfice total après paiement
de la location.
234+240-100=374€ de bénéfice
2) a) On appelle x le nombre de places « enfants » vendues.
Sachant qu'on a déjà vendu 60 places « adultes », exprimer, en fonction de x, le bénéfice
que va réaliser le cirque après avoir payé la location.
Le bénéfice est de 60×5,2 + 3x -100 , c'est-à-dire 212 + 3x
b) En déduire, dans ces conditions, le nombre de places « enfants » qu'il faut vendre pour
réaliser un bénéfice de 485 €.
212 + 3x = 485
3x = 485 – 212
x = 273 : 3 = 91
Il faut vendre 91 places « enfants ».