Décharge d`un condensateur dans un circuit RLC

Chapitre 4 – Exercice 5
Décharge d’un condensateur dans un circuit RLC
1. Le courant dans le circuit a pour expression :
i=
d q1
d q2
=−
dt
dt
donc
d q1
d q2
+
= 0 avec q1 + q2 = Q1
dt
dt
L’application de la loi des mailles conduit à :
u1 + L
di
− u2 + Ri = 0 soit
dt
1
d2 q1
R d q1
Q1
+
q1 =
+
d t2
L dt
LC
LC2
avec
1
1
1
=
+
C
C1
C2
En introduisant v20 = 1/(LC) , te = L/R et Q = v0 te , l’équation précédente s’écrit :
d2 q1
1 d q1
Q1
+
+ v20 q1 =
d t2
te d t
LC2
2. L’application donne :
C ≈ 68, 7 nF
v0 ≈ 17 × 103 rad.s−1
te = 125 ms
et
Q = v0 te ≈ 2, 125
Le régime libre est pseudo-périodique puisque Q > 1/2 . L’équation caractéristique s’écrit :
X2 +
X
+ v20 = 0 d’où
te
X=−
1
± jva
2te
1/2
1
avec va = v0 1 −
4Q2
La solution de l’équation différentielle est la superposition du régime libre et du régime établi :
Q1
t
C1
=
Q
et
q
(t)
=
[A
cos(v
t)
+
B
sin(v
t)]
exp
−
q1,e (t) =
1
1,l
a
a
C1 + C2
2te
LC2 v20
Les conditions initiales imposent q1 (0) = Q1 et [d q1 / d t] (0) = 0 :
A + Q1
et :
−
On trouve finalement :
q1 (t) = Q1
C1
= Q1
C1 + C2
C2
1
Q 1 + va B = 0
2te C1 + C2
soit A = Q1
soit
B = Q1
C2
C1 + C2
1
C2
2te va C1 + C2
C1
C2
1
t
+ Q1
sin(va t) exp −
cos(va t) +
C1 + C2
C1 + C2
2te va
2te
L’intensité du courant électrique s’obtient alors en dérivant q1 (t) :
i=
C2 v20
t
d q1
sin(va t) exp −
= −Q1
dt
C1 + C2 va
2te
3. Il faut augmenter R pour obtenir Q 1/2 :
−1/2
(LC)
L
1
R
2
soit
1/2
1/2
0, 05
L
=2
≈ 1700 V
R2
C
68, 7 × 10−9