Les vecteurs

Vecteurs du plan
1. Définitions et généralités
Définition. Un vecteur est une « flèche », caractérisée par sa longueur, sa
direction et son sens.1
Exemple. Sur la figure ci-contre, on a représenté le vecteur
u = AB , d’origine A et d’extrémité B.
La longueur du vecteur AB est celle du segment [ AB ] ,
sa direction est celle de la droite (AB ) et son sens est
celui de A vers B.
Attention. Un vecteur n’est pas un ensemble de points ! Il ne faut donc pas
confondre le vecteur AB avec le segment [ AB ] .
Définition. Le vecteur nul, noté 0 , est un vecteur dont la longueur est 0.
Sa direction et son sens ne sont pas définis. On le représente par un point.
Par exemple, AA = 0 et plus généralement, MM = 0 pour tout point M.
Définition. La longueur d’un vecteur u est encore appelée norme. On note
u la norme du vecteur u .
Définition. Deux vecteurs u et v ayant même direction sont dits
colinéaires ou parallèles. On note alors : u v .
Exemples.
u v 0
et
AB CD EF 0
Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.
1
Attention : il ne faut pas confondre direction et sens : par exemple le mouvement d’un
ascenseur a une direction, la verticale, et deux sens : la montée et la descente.
Définition. Deux vecteurs u et v sont égaux si et seulement si ils ont
même longueur, même direction et même sens. On dit alors que u est
un représentant de v .
Exemple.
Sur
la
figure
ci-contre,
u = AB = CD . AB et CD sont des
représentants du vecteur u .
Attention. AB = CD , mais [ AB ] ≠ [CD ] .
Remarque. Tout vecteur u admet une infinité de représentants, mais
un seul représentant d’origine ou d’extrémité donnée. Par exemple, CD est
l’unique représentant de u d’origine C et AB est l’unique représentant de u
d’extrémité B.
Conditions pour l’égalité entre deux vecteurs.
AB = CD
⇔ ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati)
⇔ mil [ AD ] = mil [ BC ]
Les deux cas de figure possibles sont représentés ci-dessous.
ABDC est un parallélogramme aplati
M = mil [ AD ] = mil [ BC ]
ABDC est un (vrai) parallélogramme
M = mil [ AD ] = mil [ BC ]
Conséquences.
• AB = CD ⇔ BA = DC : si deux vecteurs sont égaux, leurs opposés
•
(voir définition suivante) sont aussi égaux.
AB = CD ⇔ AC = BD : si deux vecteurs sont égaux, les vecteurs
obtenus en échangeant l’origine de l’un avec l’extrémité de l’autre
sont aussi égaux.
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Définition. Deux vecteurs u et v sont opposés si et seulement si ils ont
même longueur et même direction, mais des sens opposés. On note :
u = −v .
Exemples :
CD
AB
AB
CD
= −AB
= −CD
= −BA
= −DC
Rappel. Etant donné un vecteur u du plan, la translation de vecteur u ,
notée tu , est l’application du plan dans lui-même qui associe à tout point M le
point M ' tel que MM ' = u . Le point M ' est appelé image de M par tu .
Exemple.
tu ( A ) = A ' ⇔ AA ' = u
tu (C ) = C ' ⇔ CC ' = u
2. Addition et soustraction des vecteurs
L’ensemble des vecteurs du plan est noté V . On définit sur V
une
addition de la manière suivante :
1er cas : u et v sont deux vecteurs consécutifs, c.-à-d. l’extrémité de u et
l’origine de v sont confondus ; par exemple, u = AB et v = BC . Dans ce
cas on définit : u + v = AB + BC = AC .
L’égalité AB + BC = AC , vraie pour tous les points A, B et C du plan est
appelée relation de Chasles.
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2e cas : u et v sont ne sont pas consécutifs. Dans ce cas, on choisit deux
représentants qui sont consécutifs et on applique à nouveau la relation de
Chasles.
u + v = AB + CD
= AB + BE
= AE
Remarque. Cette définition de l’addition des vecteurs a un sens : le vecteur
u + v ne dépend pas du choix des représentants de u et v , comme le
montre la figure suivante :
AB et A ' B ' sont des représentants de u
BC et B 'C ' sont des représentants de v
AC et A 'C ' sont des représentants du même vecteur ; ce vecteur est par
définition u + v .
Cas particulier important :
Règle du parallélogramme. Lorsque u = AB et v = AC sont deux
vecteurs ayant la même origine, alors u + v est le vecteur AD , où D est
l’unique point tel que ABDC est un parallélogramme.
4
En effet :
u + v = AB + AC
= AB + BD
= AD
Propriétés de l’addition des vecteurs
a) L’addition des vecteurs est commutative, c.-à-d.
( ∀u , v ∈ V ) u + v = v + u
En effet :
 u + v = AB + BC = AC

  v + u = AD + DC = AC

b) L’addition des vecteurs est associative, c.-à-d.
( ∀u , v , w ∈ V ) ( u + v ) + w = u + ( v + w )
En effet :
 ( u + v ) + w = ( AB + BC ) + CD


= AC + CD



= AD


 u + ( v + w ) = AB + ( BC + CD )


= AB + BD



=
AD

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c) L’addition des vecteurs admet 0 comme élément neutre, c.-à-d.
( ∀u ∈ V ) u + 0 = 0 + u = u
En effet :
u + 0 = AB + BB = AB = u
d) L’addition des vecteurs est symétrique, c.-à-d.
( ∀u ∈ V ) u + ( −u ) = ( −u ) + u = 0
En effet :
u + ( −u ) = AB + BA = AA = 0
Définition. Soit u et v deux vecteurs du plan. La différence des vecteurs
u et v , notée u − v , est par définition la somme de u et de l’opposé de v ,
c.-à-d. :
u − v = u + ( −v )
Cas particulier important :
Lorsque u = AB et v = AC sont deux vecteurs ayant la même origine,
alors :
u − v = AB − AC
= AB + CA
= CA + AB
= CB
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On pourra vérifier à l’aide de figures que la soustraction n’est ni
commutative, ni associative.
Cependant, la soustraction possède la
propriété importante suivante :
( ∀u , v ∈ V ) u − v = − ( v − u )
En d’autres termes, les vecteurs u − v et v − u sont opposés.
3. Multiplication d’un vecteur par un réel
Définition. Soit u un vecteur du plan et k un réel. On appelle produit du
vecteur u par le réel k et on note k ⋅ u ou ku le vecteur
• de longueur k ⋅ u ,
• de direction celle de u ,
• de sens celui de u si k > 0 et opposé à celui de u si k < 0 .
Exemples.
A ' B ' = 2AB ;
A '' B '' = −2AB ;
EF = 21 CD ;
GF = − 12 CD ;
AE = − 43 AB .
Remarques.
•
•
•
•
Les vecteurs ku et u sont toujours colinéaires.
Si k = 0 alors ku = 0 ⋅ u = 0 .
Si k = 1 alors ku = 1 ⋅ u = u .
Si k = −1 alors ku = −1 ⋅ u = −u .
Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un réel
( ∀u , v ∈ V ) ( ∀k , k ' ∈ R )
a) Distributivité par rapport à l’addition dans V : k ( u + v ) = ku + kv
b) Distributivité par rapport à l’addition dans R : ( k + k ' ) u = ku + k ' u
c) Associativité mixte : k ( k ' u ) = ( kk ' ) u
d) Règle du produit nul : ku = 0 ⇔ k = 0 ou u = 0
Démonstration. A l’aide de figures (exemples) en exercice.
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Exemples.
(1) 3 ( u + v ) = 3u + 3v d’après a).
(2) 2AB + 2BC = 2 ( AB + BC ) = 2AC d’après b) et la relation de Chasles.
(3) −2 ( 4w ) = −8w d’après c).
4. Vecteurs colinéaires
On a déjà vu la définition de la colinéarité :
Définition. Deux vecteurs u et v sont colinéaires (parallèles) et on note
u v si et seulement si u et v ont la même direction ou bien l’un des
deux est le vecteur nul.
AB et CD sont colinéaires
AB et DC sont colinéaires
et de même sens
et de sens opposés
Théorème. Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan. Alors u v si et
seulement si il existe un réel k tel que v = ku .
Démonstration.
" ⇐ " Si v = ku alors, par définition, u v .
" ⇒ " Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan tels que u v .
• Si u et v ont même sens alors on prend
v
k = .
u
Comme k > 0 , le vecteur ku a même direction et même sens que u et
donc même direction et même sens que v . Il a également même
longueur que v car sa longueur est égale à :
v
k ⋅ u = . u = v .
u
Donc ku = v .
• Si u et v ont des sens opposés alors on prend
v
k =− .
u
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Comme k < 0 , le vecteur ku a même direction que u mais le sens
opposé à celui de u . Il a donc même direction et même sens que v . Il a
également même longueur que v car sa longueur est égale à :
v
k ⋅ u = . u = v .
u
Donc ku = v .
Remarques.
• Une relation du type v = ku est appelée relation de colinéarité
•
•
entre deux vecteurs.
Si u et v sont deux vecteurs non nuls alors k ≠ 0 et :
v = ku ⇔ u = k1 v .
La relation de colinéarité entre un vecteur quelconque u et le vecteur
nul 0 est : 0 = 0 ⋅ u , mais si u ≠ 0 il n’existe pas de relation du type
u = k ⋅ 0.
Les propositions suivantes sont évidentes mais d’une utilité considérable dans
les exercices.
Condition d’alignement de 3 points. Trois points A, B et C du plan sont
alignés si et seulement les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
On peut reformuler cette propriété de la manière suivante :
Condition d’appartenance d’un point à une droite. Etant donnée une
droite (AB ) du plan, on a :
M ∈ ( AB ) ⇔ AM AB
Condition de parallélisme de deux droites. Deux droites (AB ) et (CD )
du plan sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont
colinéaires.
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5. Formulation vectorielle du théorème de Thalès
Théorème de Thalès (Cas du triangle). Supposons que AB ' = kAB et
AC ' = k ' AC , où k et k’ sont deux réels. Alors :
( B 'C ' ) ( BC ) ⇔ k
= k '.
Dans le cas où k = k ' , on a aussi B 'C ' = kBC .
Figure avec k = k ' =
1
2
Figure avec k = k ' =
3
2
Démonstration. Par hypothèse :
B 'C ' = B ' A + AC '
= kBA + k ' AC
= kBA + kAC + ( k '− k ) AC
= k ( BA + AC ) + ( k '− k ) AC
= kBC + ( k '− k ) AC (∗)
Figure avec k = k ' = − 12
Figure avec k ≠ k ' :
( BC ) ( B ' C ' )
Donc :
B 'C ' BC
⇔ B ' C ' = rBC
⇔ kBC + ( k '− k ) AC = rBC
⇔ ( k '− k ) AC = rBC − kBC
⇔ ( k '− k ) AC = ( r − k ) BC
Or, ABC est un triangle, donc les vecteurs AC et BC ne sont pas
colinéaires. La dernière égalité a donc lieu si et seulement si les deux membres
sont égaux au vecteur nul, c.-à-d. ssi k ' = k et r = k .
Lorsque k ' = k , on a d’après (∗) : B 'C ' = kBC .
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Théorème de Thalès (Cas du trapèze). Soit ABB ' A ' un trapèze de
bases parallèles [ AA ' ] et [ BB ' ] , C ∈ ( AB ) et C ' ∈ ( AB ) . Soit k et k ' tels
que AC = kAB et A ' C ' = k ' AB . Alors :
( BB ' ) (CC ' ) ⇔ k
Figure avec k = k ' = 2
= k '.
Figure avec k = k ' = −1
Figure avec k ≠ k ' : BB ' CC '
Démonstration. Admise.
6. Caractérisation vectorielle du milieu d’un segment
Proposition. Soit [ AB ] un segment et I un point du plan. Les propriétés
suivantes sont équivalentes :
(1)
(2)
(3)
(4)
I = mil [ AB ]
IA + IB = 0
AI = 12 AB
Pour tout point M : MI =
1
2
( MA + MB ) ou MA + MB = 2MI
Démonstration.
(1) ⇔ (2) : I = mil [ AB ] ⇔ AI = IB ⇔ IA + IB = 0 .
(2) ⇔ (3) : IA + IB = 0
⇔ IA + IA + AB = 0
11
⇔ 2IA + AB = 0
⇔ 2IA = −AB
⇔ 2AI = AB
⇔ AI = 21 AB
(3) ⇔ (4) : Soit M un point quelconque du plan.
AI = 12 AB
⇔ AM + MI = 12 ( AM + MB )
⇔ MI = − 12 AM + 12 MB
⇔ MI = 12 MA + 21 MB
⇔ MI = 12 ( MA + MB )
7. Caractérisation vectorielle du centre de gravité d’un triangle
Proposition. Soit ABC un triangle quelconque, A ' = mil [ BC ] , B ' = mil [ AC ] ,
et C ' = mil [ AB ] . Soit G un point du plan. Les propriétés suivantes sont
équivalentes :
(1)
(2)
(3)
(4)
G est le point d’intersection des médianes BB ' et CC '
GA + GB + GC = 0
AG = 23 AA ' , BG = 23 BB ' , CG = 23 CC '
Pour tout point M : MG = 13 ( MA + MB + MC )
ou MA + MB + MC = 3MG
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Remarque. Si le point G vérifie l’une des 4 propriétés équivalentes de la
proposition ci-dessus, il appartient aussi à la 3e médiane AA ' . Cela découle
directement de la propriété (3) : AG = 23 AA ' , qui implique que A, G et A '
sont alignés. Retenons ce résultat bien connu :
Corollaire. Les trois médianes d’un triangle ABC sont concourantes en un
point G, appelé centre de gravité du triangle ABC.
Démonstration du théorème.
(1) ⇒ (2) : Soit G le point d’intersection des médianes BB ' et CC ' .
En
appliquant
la
propriété (4) du milieu à
C ' = mil [ AB ] , on a : GA + GB + GC = 2GC ' + GC , qui
est colinéaire à CC ' puisque C, G et C ' sont alignés.
De même, en appliquant la propriété (4) du milieu à
B ' = mil [ AC ] , on a : GA + GB + GC = 2GB ' + GB , qui
est colinéaire à BB ' puisque B, G et B ' sont alignés.
Par conséquent GA + GB + GC est le vecteur nul, car il est
colinéaire à deux vecteurs non colinéaires.
(2) ⇔ (3) : GA + GB + GC = 0
⇔ GA + (GA + AB ) + (GA + AC ) = 0
⇔ 3GA + ( AB + AC ) = 0
⇔ 3GA + 2AA ' = 0 car A ' = mil [ BC ]
⇔ 2AA ' = 3AG ⇔ AG = 23 AA '
On prouve de façon analogue les deux égalités.
(2) ⇔ (4) : Soit M un point quelconque du plan.
GA + GB + GC = 0
⇔ GM + MA + GM + MB + GM + MC = 0
⇔ 3GM + MA + MB + MC = 0
⇔ MA + MB + MC = 3MG
⇔ MG = 13 ( MA + MB + MC )
(3) ⇒ (1) : BG = 23 BB ' ⇒ G ∈ BB '
CG = 23 CC ' ⇒ G ∈ CC '
Donc {G } = BB ' ∩CC ' .
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8. L’utilité des vecteurs en physique
Beaucoup de grandeurs en physique ne peuvent être complètement définies
par un seul nombre, comme par exemple une vitesse ou une force. Ces
grandeurs sont modélisées par des vecteurs.
a) Lorsqu’un point mobile M se déplace sur une courbe, sa vitesse est
représentée par le vecteur vitesse v , dont les caractéristiques sont :
–
point d’application (origine du vecteur) : le point M
–
longueur : la vitesse en m/s ou km/h
–
direction : celle de la tangente en M à la courbe
–
sens : celui du mouvement du solide
b) Par définition, une force est toute cause capable de modifier le mouvement
d’un corps ou de déformer un corps. La force qui s’exerce sur un solide est
représenté par le vecteur force. Un exemple est le poids P dont les
caractéristiques sont :
–
point d’application : le centre de gravité du solide
–
longueur : l’intensité du poids en N (Newton), qui vaut m ⋅ g ,
où m est la masse en kg du corps et g est l’accélération de la
pesanteur, c.-à-d. 9, 81 m/ s2 .
–
direction : verticale
– sens : vers le centre de la terre
Lorsque plusieurs forces s’exercent sur un solide, la force totale qui en résulte
(ou résultante) est la somme vectorielle des différentes forces.
Un système est dit en équilibre (mécanique) lorsque la
somme des forces qui s’exercent sur lui est le vecteur 0
(voir figure ci-contre).
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