Cours sur la vie des étoiles

La vie des étoiles
Problème: expliquer une source d’énergie
énorme pendant des milliards d’années
Impossible à expliquer avant le XXème siècle
Energie chimique (Hypothèse 1)
Typiquement: echim ~ 1 eV
~ 10-19 J/molécule
C + 2O → CO2
Energie disponible ~ M /µ × echim
Temps de vie « chimique »:
t chim
Mechim
~
~ 10 4 ans << Age du soleil
Lµ
Energie gravitationnelle (Hypothèse 2)
Le théorème du viriel:
Très général: systèmes auto-gravitants en équilibre
Relie: énergie potentielle Epot et
énergie cinétique Ecin
Applications: étoiles, amas globulaires, amas galaxies
En moyenne:
E pot + 2 ⋅ E cin = 0
Applications: calcul de la température interne et de la
luminosité (hyp 2) d’un astre
Etot = E cin + E pot
3M
3 GM
=
kT −
2 µ
5 R
1

 E cin = − 2 E pot (viriel)

E
d’où:
 Etot = pot

2
2
1 GMµ

 T ~ 5 kR

2
3
GM
&
 L = − E& ~ −
R

10 R 2
Temps de KelvinKelvin-Helmholtz
3 GM 2 &
L~−
R
2
10 R
AN:
 L ~ 4 ×10 26 W

 M ~ 2 ×10 30 kg ⇒

5
R
~
7
×10
km

Tcentre ~ 10 7 K
 &
~ − 50 m/an
R
Si L uniquement dû à contraction gravitationnelle,
Alors durée de vie = temps de Kelvin-Helmholtz:
t KH
R
~
~ 10 7 ans
R&
Temps court… (NB: ok pour Jupiter)
Equilibre d’une étoile
Analyse dimensionnelle:
Equilibre de l’étoile:
Pgrav
Pgrav ~ Pgaz
3 GM 2
~
⋅ 4
8π R
(+ P
photons
+ PFermi )
Pression thermique
Ptherm
Or T ~
2ρ
= (n e + n p )kT = 2n p kT ~
kT
mp
GMm p
(viriel)
5kR
et
4
M = πρR 3
3
d’où:
Ptherm
3 GM 2
~
⋅ 4 ~ Pgrav !
10π R
Donc: le chauffage de l’étoile via le viriel équilibre le
poids, sur le temps de Kelvin-Helmholtz si il n’y a pas
d’autres sources d’énergie que la gravité…
Energie nucléaire (Hypothèse 3)
Equivalence masse-énergie: (Einstein)
E=mc2
Transformation hydrogène-hélium:
p+ + p+ + p+ + p+ → He
++
+ 2e + + 2γ + 2ν e
Perte de masse: mp= 1.00797 uma
mHe= 4.0026 uma
4 mp - mHe ~ 0.028 mp
∆Enuc ~ 0.007 mp c2 par proton fusionné
Energie disponible dans le Soleil:
enveloppe radiative
zone nucléaire
f ~ 0.1
E nuc ~ f × 0.007 × Mc 2
t nuc
Mc 2
~ 7 ×10
~ 1010 ans pour le Soleil
L
NB:
∆E chim ~ 1 eV
∆E nuc ~ 1 MeV
−4
Quelles conditions physique pour
des réactions thermonucléaires?
1 GMµ
Température interne: T ~ ⋅
5 kR
quand R on a T La barrière coulombienne:
rmin
Théorème de l’énergie mécanique:
2
1
1
e
E = m pv 2 +
⋅
2
4 πε r
1
1 e2
2
E ∞ = m p v∞ = E r min =
⋅
2
4πε rmin
Or:
1
3
2
m p v∞ ~ kT
2
2
d’où:
2
1
e2
T~
⋅
⋅
3k 4 πε rmin
AN:
 1
9
=
9
×
×10
uSI
 4 πε

e = 1.6 ×10−19 C

−15
~
10
m ~ 1 Fermi
r
 min

⇒ Tnuc ~ 1010 K
Trop chaud!
Première correction: Effet tunnel
Enuc
~ 1 Fermi
~1 MeV
rmin
r
☺
permet de descendre la limite de fusion à T ~ 108 K,
encore trop chaud…
Deuxième correction: distribution maxwelienne des vitesses
n
ces particules en réactions nucléaires
v
permet de descendre la limite de fusion à T ~ 107 K, bien…
NB: si noyaux plus lourds, répulsion ∝Z2:
T~107 Z2 K
Le cycle proton-proton
-
+
+
p +p →
+
+
D + e + νe
D+: deutéron
Fusion: interaction forte
Désintégration p+ → n+e+: interaction faible
p+
u
quark
n
u
u
d
d
d
u → d + e+ + ν e
Interaction forte:
D+ + p + →
3
He
++
3
+ He
++
→
3
4
He
He
++
++
+γ
+ p+ + p+
En reprenant l’équation précédente
+
+
+
+
p + p → D + e + νe
on a le bilan total du: cycle proton-proton
(ou p-p)
+
4
4 p → He
++
+
+ 2e + 2γ + 2ν e
annihilation avec e- → énergie
Les neutrinos s’échappent du Soleil en 2 sec !
Le cycle proton-proton
e
e
+
+
νe
νe
D+
= proton
3
= neutron
He 2+
γ
γ
4
He 2+
Le cycle CNO
Devient plus efficace que le cycle p-p
quand T augmente (i.e. pour des étoiles
plus massives que le Soleil)
12
H →
13
N
13
C +
14
N +
15
O
13
15
C
1
+
13
N
+
N
+
γ
→
1
H →
1
H →
→
C
14
N
15
O
15
N
+
+
+
+
e+
1
12
+
4
H →
C
+ νe
γ
γ
e+
+ νe
H
Bilan: idem cycle p-p
1
1
1
1
4
+
H + H + H + H → H e + 2γ + 2e + 2ν e
4
He
++
p+
+
p
12
νe
e
15
γ
C
13
N
N
+
15
e
νe
O
13
Le cycle CNO:
Hautes températures
(étoiles massives)
+
γ
14
N
C
γ
p
+
p+
Pression de Fermi
et
astres denses
Fermions et bosons
Fermions:
spin demi-entier (1/2 ħ, 3/2 ħ, 5/2 ħ)
↔ (neutrons,protons,e-,quark,neutrino)
obéissent au principe d'exclusion de Pauli
individualistes
Bosons:
Spin entier (0 ħ, ħ, 2 ħ) ↔ (photons, hydrogène,etc…)
pas d'exclusion
grégaires
Principe d'incertitude d'Heinsenberg
d'Heinsenberg
S'applique à toutes les particules,
relie des quantités conjuguées:
∆x. ∆px ≥ h
∆t.∆E ≥ h
etc…
h: constante de Planck ~ 6.63 × 10-34 J . sec
h: h/2π
Distribution des fermions
px
pmax
x
La pression de Fermi (ou de dégénérescence)
∆px ∆x ~ h
px ~ h /∆x
Or
∆x = n −1/ 3 (n: nombre densité)
⇒
px ~ h n
1
3
Pression:
PF = nv x p x
si gaz classique (v << c):
px = mv x
d’où:

nmu 2 
 P =

3 

2
h 5/3
PF = n
m
Pression de Fermi due à des fermions de masse m et
avec une densité de n fermions m-3
fondamental pour la stabilité des planètes,
naines blanches, étoiles a neutrons
Cas particulier d'un milieu globalement neutre contenant
des noyaux de charge Z+, de masse atomique A et des
électrons de masse me:
Formule générale:
h2 5 / 3
PF = n
m
NB: me << mp donc PF(e) >> PF(p)
Neutralité électrique:
n e = Zn noyaux
Essentiel de la masse dans nucléons:
ρ ~ Annoyaux m p
⇒ nnoyaux ~
ρ
Am p
Pression de Fermi due aux électrons:
h Z
−
PF (e ) = 2  
me  A 
2
5/3
 ρ 
 
 mp 
5/3
(NB: la pression de Fermi des électrons domine la pression
due aux protons à cause de 1/me >> 1/mp)
La masse stellaire minimum
Température centrale d’une étoile composée
d’hydrogène (viriel):
GMm p
Tcent ~
2kR
température
démarrage réactions nuc.
107 K
stade stellaire
stade proto-stellaire
temps Kelvin-Helmholtz
temps
Paradoxe: tout astre devrait devenir une
étoile pour R suffisamment petit.
- Réponse: limite à la contraction imposée
par la pression de Fermi:
h Z  ρ 
−
PF (e ) = 2    
me  A   m p 
2
5/3
5/3
Comme ρ ∝ M/R3 on obtient:
5/3
M
PF (e− ) ~ K ⋅ 5 Pa, où K = 10 6 uSI
R
avec toujours :
Ptherm
3 GM 2
~
⋅ 4
4π R
Définissons:
PF
4 πK
1
α=
=
⋅
Ptherm
3G RM 1/ 3
(Degré de dégénérescence de l’astre, si α>1 l’astre
arrête de se contracter)
En éliminant R dans:
Tcent ~
GMm p
2kR
On obtient:
4
3
Tcent ~ Cst M α
avec
 3G 2 m p
Cst = 
 8πKk





Deux possibilités:
(1) Tcent atteint ~ 15 ×106 K avant que α=1
→ une étoile est née
(2) α=1 atteint avant que Tcent ~ 15 ×106 K
→ astre dégénéré sans réactions nucléaires
Tcent
étoiles
15 ×10 6 K
astres dégénérés
M > Mstel
cas limite
M < Mstel
Cas limite: Tnuc
 3G 2 m 
4 /3
p
≈ 15 ×10 6 K = 
 M stel ×1
 8πKk 
1
α
Cas limite ⇒
M stel
 8πK kT 
~  2 ⋅ nuc 
mp 
 3G
3/4
AN: Mstel ~ 0.03 M
Calculs plus précis :
Mstel ~ 0.08 M ~ 80 MJ
En-dessous de la masse stellaire:
- 13 MJ < M < 80 MJ
Quelques réactions nucléaires (Li,D) → naine brune
- M < 13 MJ
Aucune réaction nucléaire → planète
Masse stellaire maximum
Tcent
Pcent = Pmat + Pray
En général, Pray << Pmat , sauf si…
Pray
eray 4σ
=
=
(Tcent ) 4
3
3c
(loi de Stefan volumique)
Mais:
Tcent =
GMm p
(viriel)
2kR
4σ  Gm p  M 4
Pray =

 × 4
3c  10k 
R
4
Pgrav
3G M 2
=
× 4
8π R
Donc: si M trop grand, l’étoile explose…
AN:
 9Gc 
Mmax ~ 

 32πσ 
1
2
2
 10k 

 ~ 140 M Sol
 Gm 
 p
En fait:
M max ~ 100M Soleil
100 M
0.08 M
voir atunivers.free.fr
Relation masse-luminosité
(étoiles de la séquence principale)
γ
γ
γ
réactions
nucléaires
γ
γ
γ
γ
γ
photons visibles
Montrons que: L ∝ M3
Processus de marche au hasard
l
R1
R2
 12
 R2
 R3 2


 RN 2
=
=
R2
l2
=
2
R1
2
R2
M
2
= RN −1
2
θ1
2cosθ1 ⋅ lR1
2cosθ 2 ⋅ lR2
+ l
+ l2
+
+
+ l2
+ 2cosθ N −1 ⋅ lRN −1
où l est le libre parcours moyen des photons
θ3
R3
θ2
Somme membre à membre:
N −1
RN = Nl 2 + 2l∑ cosθ i ⋅ Ri
2
1
Marche au hasard: moyenne de cos θi nulle.
Donc en moyenne:
RN = N l
(général à tout processus de diffusion)
eray
V
photon
tdiff
Energie de rayonnement: Eray=eray×V
Temps d’évacuation: tdiff
En régime stationnaire: L = eray×V / tdiff
Or: eray ∝ T4 ∝ (M/R)4 (Stefan + viriel)
Que vaut tdiff ?
L
Distance moyenne parcourue:
2
RN = Nl
Si R est le rayon de l’étoile, sortie après:
Temps du trajet:
t diff
l R2
=N =
c lc
3
Or:
1
1 R
l=
∝ ∝
σn ρ M
2
Donc:
t diff
R
M
∝
∝
l
R
2
R2
N= 2
l
pas
Finalement:
L~
eray ⋅ V
t diff
M4
R
3
∝ 4 ×R ×
R
M
Relation masse luminosité séquence principale :
L∝M
3
Durée de vie stellaire:
t vie
E nuc
M
1
~
∝ 3= 2
L
M
M
Ex:
M=40M☼ → tvie ~ 1010/402
~ 6×106 ans (court!)
M=0.08M☼ → tvie ~ 1010/(0.08)2 ~ 1500×109 ans (long!)
L/L
104
102
1
Soleil
10-2
Relation masse-luminosité:
L ∝ M α où α ~ 3
0.1
1
10