Travaux dirigés.

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Filière : GE
Prof : B. HAJJI
Niveau 4ème année
Année 2014-2015
TD1 : Électronique & Systèmes
Questions de cours
1. Pour quoi module t-on les signaux ?
2. Quelle diérence existe-t-il entre une transmission d'un signal en bande
de base et une transmission d'un signal modulé.
3. Soit le signal AM SAM (t) :
SAM (t) = 10cos(106 t) + 3.5cos(103 t)cos(106 t).
(a) Quelle est la fréquence de porteuse ?
(b) Quelle est la fréquence modulante ?
(c) Quelle est le taux de modulation ?
Exercice 1.
Figure 1 Spectre du signal AM
Un analyseur de spectre permet d'obtenir la représentation d'un spectre
sur un écran. Un signal AM branché à un analyseur de spectre est représenté
à la gure 1.
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1. Quelle est la fréquence de porteuse ?
2. Quelle est la fréquence de l'onde modulante ?
3. Quelle est la bande de fréquence occupée par le signal AM ?
4. Quelle est le taux de modulation ?
Exercice 2.
On souhaite transmettre un signal m(t) composé de trois fréquences : 440
Hz d'amplitude 1 volts, 560 Hz d'amplitude 2 volts et 680 Hz d'amplitude
1 volt. Il s'agit du signal d'information. Ce signal sera modulé autour d'une
porteuse pour être transmise via une antenne 1/4 onde de longueur 30 cm.
1. Écrire l'équation mathématique temporelle du signal modulant.
2. Représenter par une gure le spectre du signal modulant.
3. Calculer la fréquence porteuse adaptée à l'antenne.
4. On va supposer que la fréquence porteuse est fp . La porteuse s'écrit :
v(t) = Vp sin(2πfp t)
5. Écrire l'équation mathématique temporelle du signal modulé (on donnera l'expression mathématique développée de s(t), signal modulé).
6. Tracer le spectre du signal modulé.
7. Calculer la puissance en Watt du signal (on supposera R=1 Ohm). On
prendra Vp =3.
8. Calculer la puissance en dB.
Exercice 3.
Le schéma bloc de la gure 2 représente un modulateur d'amplitude où
p(t) = Acos(2πf0 t) représente la porteuse et m(t) = bx(t) le signal modulant
avec | x(t) |≼ 1 . Le circuit non linéaire est caractérisé par l'équation vs = ave3
où vs désigne sa sortie et ve son entrée.
Figure 2 Schéma du modulateur d'amplitude
3
1. Donner l'expression des signaux ve (t) et vs (t).
2. Développer l'expression de vs (t) an d'obtenir toutes ses composantes
fréquentielles
3. Quelle est la condition sur le ltre passe bande pour obtenir un signal
AM DBAP en sortie ? donner alors l'expression de s(t).
4. Déterminer l'indice de modulation k du signal AM si A = 1, a = 2 et
b = 0.2.
5. Donner la représentation temporelle puis spectrale de s(t).
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Niveau 4ème année
Année 2014-2015
TD2 : Électronique & Systèmes
Exercice 1.
Une onde porteuse vp (t) = Vp sinωp t de haute fréquence fp est modulée
en amplitude par un signal y(t) de fréquence très inférieur à fp . On note m
l'indice de modulation :0 ≺ m ≺ 1.
1. Donner l'expression générale de l'onde modulée s(t).
2. Le signal modulant est sinusoïdale de pulsation ωm = 2πfm ; y(t) =
Y sinωm t.
(a) Exprimer s(t)
(b) Représenter temporellement s(t) pour m ≺ 1. Préciser les limites
d'amplitude.
(c) Quels sont les harmoniques contenus dans le signal s(t) ?
(d) Établir l'expression de la puissance moyenne de chaque harmonique déni en 2.c.
(e) Soit P0 la puissance de l'onde porteuse seule. Donner l'expression
de la puissance moyenne P de l'onde modulée en fonction de P0 .
Quelle conclusion peut-on en tirer sur la transmission d'une onde
modulée en amplitude ?
3. Le signal à transmettre y(t) contient une multitude d'harmonique de
fréquences comprises entre deux limites F1 et F2 , conformément au
schéma de la gure 1.
(a) Tracer le spectre du signal modulé.
(b) Quelle est la largeur de la bande nécessaire à la transmission ?
4. Modulation en bande latérale double (BLD) :
Le signal modulé BLU s'écrit vp (t) = e(t)cosωp t ; le signal modulant
est sinusoïdal : e(t) = Ecosωm t de fréquence ω2πm .
(a) Représenter vp (t)
2
(b) Calculer et représenter le spectre en amplitude V(f) de vp (t)
AN : E = 2V ; fm = 1kHz ; fp = 200kHz
(c) Calculer la puissance transportée par vp (t).
Figure 1 Spectre de y(t)
Exercice 2.
Le signal v(t) modulé AM s'écrit : v(t) = [A + e(t)cosωp t], où e(t) est
un signal carré de valeur crête ±E , de fréquence fm = T1m = ω2πm . Pour les
applications numériques : A = 2V ; E = 1V ; fm = 1kHz et fp = 200kHz .
1. Représenter v(t)
2. Calculer la série de Fourier E(F) de e(t)
3. La transmission d'un signal rectangulaire ne nécessite pas la présence
tous les harmoniques de ce signal. Pour la reconstruction de e(t) à la réception, sa limitation aux harmoniques dont l'amplitude est supérieure
à 1/10 de son fondamental, est susante. Dans ces conditions, tracer
le spectre en amplitude E(f) de la partie de e(t) transmise.
4. Déterminer le spectre en amplitude V(f) du signal ainsi modulé. En
déduire la valeur numérique de la bande de fréquence nécessaire au
canal de transmission.
5. On note P0 la puissance de la porteuse seule.
(a) Déterminer l'expression de P0 et calculer sa valeur numérique.
(b) Déterminer l'expression de la puissance P totale transportée par
le signal modulé dans les conditions décrites en 3
(c) Déduire des questions précédentes, le taux de modulation global
m.
6. Le signal modulant e(t) n'est connu que sa transformée de Fourier E(f)
dont le spectre an amplitude est tracé sur la gure 2.
3
(a) Établir l'expression de la transformée de Fourier V(f) de v(t) en
fonction de E(f). Représenter V(f)
(b) Quelle bande de fréquence est nécessaire à la transmission de v(t) ?
(c) Une station radio émet en grandes ondes en modulation d'amplitude, sur la longueur d'onde 1640m. la fréquence maximale du
spectre des signaux transmis est 9kHz. Calculer le fréquence de la
porteuse et la largeur du canal de transmission.
Figure 2 Spectre de e(t)
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Niveau 4ème année
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TD3 : Électronique & Systèmes
Questions de cours
1. Rappeler le principe de la détection synchrone
2. Citer deux applications de la boucle à verrouillage de phase PLL
Exercice 1.
Le signal composite stéréophonique c(t) possède le spectre représenté par
le schéma de la gure 1 :
Figure 1 Spectre du signal stéréophonique .
Il contient les voies droite d(t) et gauche g(t) par multiplexage fréquentiel.
La somme g(t) + d(t) est transmise en bande de base, la diérence g(t) −
d(t) est transmise en modulation DBSP à la fréquence f0 = 38kHz . On
ajoute en plus une sous-porteuse (fréquence pilote) à 19 kHz pour faciliter la
synchronisation du démodulateur à la réception.
1. Justier le choix du signal composite utilisé.
2. Donner l'expression du signal composite c(t).
3. Proposer un schéma de décodeur stéréophonique permettant d'obtenir séparément les signaux g(t) et d(t). On utilisera une démodulation
cohérente et des ltres.
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Exercice 2.
Le signal m(t) = cos(2πt) + 2cos(12πt) doit être transmis en utilisant la
modulation d'angle avec une porteuse d'amplitude Ac = 10V et de fréquence
fc = 200Hz .
1. Écrivez l'expression du signal transmis, SF M (t), si on utilise la modulation de fréquence FM avec Kf = 36π rad/s
en indiquant les valeurs
V
numériques.
2. Déterminez la fréquence instantanée fi (t).
3. Déterminez la déviation maximale de fréquence δfmax .
4. Quel est l'indice de modulation FM, βF M ? s'agit-il d'un signal modulé
en fréquence à largeur bande ou à bande étroite ? justiez votre réponse.
5. A l'aide de la règle empirique de Carson, estimez la largeur de bande
eective de transmission, BT , du signal modulé FM, SF M (t).
Exercice 3.
Un signal sinusoïdal porteur p(t) de fréquence f0 et d'amplitude P est
modulé en fréquence par un signal sinusoïdal m(t) de fréquence fm et d'amplitude A. Le modulateur ajoute à f0 une fréquence instantanée proportionnelle à m(t). On note km la constante de proportionnalité, qui s'exprime en
Hz/V.
1. Établir l'expression du signal modulé pm (t), en fonction de P, A, km,
f0 et fm .
2. Dénir l'indice de modulation δ . Donner son expression.
3. Quel est l'encombrement en fréquence Bu de pm (t) ?
4. A.N. : On a km = 0, 5kHz/mV , A = 30 mV et fm = 1kHz . Calculer
numériquement δ et Bu .
Le signal pm (t) est transmis par voie hertzienne, reçu par une antenne,
amplié et enn transformé en un signal en créneau d'amplitude crête
VDD par un comparateur à 0 (VDD est la tension d'alimentation du
VCO et du XOR évoqués par la suite). Le signal rm (t) obtenu est alors
appliqué à l'entrée e1 d'une boucle à verrouillage de phase décrite g.2
an de récupérer m(t). Le comparateur de phase est un comparateur
à "ou exclusif" (XOR), le ltre passe-bas F2 est un ltre du premier
ordre (pente de 20 dB/déc en dehors de sa bande passante) de gain
1 dans sa bande passante délimitée par une fréquence de coupure fc =
1/(2πτ ). Le VCO délivre une tension en créneau e2 dont la fréquence
fondamentale est de la forme fmin + kv vm . kv s'exprime en Hz/V.
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Figure 2 Boucle de verrouillage de phase .
5. Dans le cas où e1 et e2 sont deux signaux de même fréquence déphasés
d'un angle θ,
tracer la caractéristique vm en fonction de θ du comparateur de phase
suivi du ltre F2 (supposé ne laisser passer que la valeur moyenne de
vD ).
6. La boucle à verrouillage de phase étant accrochée, on linéarise pour
les petites variations le montage. Donner alors un schéma bloc avec
en entrée la phase θ1 de e1 et en sortie celle θ2 de e2 . En déduire une
fonction de transfert en boucle fermée H(f) correspondant à ce schéma.
7. Le signal rm (t) étant appliqué en e1 , expliquer qualitativement en quel
point de la boucle à verrouillage de phase on récupère un signal proportionnel à m(t). Donner la relation qui relie la tension en ce point et
la fréquence de rm .
8. Comment doit-on choisir fc (fréquence de coupure de F2 ) par rapport
à la fréquence fm du signal modulant ?
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TD4 : Électronique & Systèmes
Questions de cours
1. Rappeler le principe de la détection synchrone
2. Citer deux applications de la boucle à verrouillage de phase PLL
Exercice 1.
Le schéma fonctionnel simplié du récepteur étudié est donné à la gure
1, il s'agit d'un schéma de type "super-hétérodyne". L'antenne large bande
reçoit tout signal RF inclus dans une bande de largeur totale B, plus importante que celle occupée par le signal s(t). PA est un bloc pré-amplicateur
ayant également B pour bande passante. OL est un oscillateur local délivrant
un signal sinusoïdal du type AOL cos(2πfOL t). Le bloc X est un mélangeur,
délivrant en sortie le produit ku(t)pOL (t) noté v(t) (k est une constante en
V −1 ). AF I et ABF sont des amplicateurs fonctionnant, respectivement, dans
des domaines de fréquences intermédiaires (FI) et de basses fréquences (BF).
AF I inclut une fonction de ltrage passe-bande dans le domaine FI.
Figure 1 Schéma du Récepteur Super-hétérodyne .
Supposons dans un premier temps que s(t) se réduise à la porteuse et
qu'en sortie de PA on ait u(t) = A1 cos(2πf0 t). On note de plus Fi =| f0 −
fOL |. Cette fréquence Fi est une constante xée, égale numériquement à
455 kHz en AM et 10,7 MHz en FM. C'est également le centre de la bande
passante de AF I .
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1. Exprimer le signal v(t) en fonction, entre autres, de f0 et fOL .
2. Représenter le spectre unilatéral de v(t).
3. Quelles sont les deux expressions possibles de f0L en fonction de f0 et
Fi ?
4. Montrer inversement qu'à une valeur donnée f0L de la fréquence délivrée par l'oscillateur local correspondent deux valeurs possibles (posi′
tives) de fréquence porteuse, f0 et f0 , cette dernière étant appelée la
fréquence image de f0 .
On se place désormais dans le cas d'une modulation AM d'un signal informatif x(t) dont le spectre (d'allure triangulaire par exemple) couvre
le domaine [Fmin ; Fmax ] (pour f > 0), avec Fmax << f0 et Fmax << B .
5. Quelle doit être la bande passante deltaF de l'amplicateur AF I pour
que sa sortie w(t) contienne l'information correspondant à x(t) ?
6. Représenter l'allure du spectre unilatéral de w(t) pour une réception
d'un signal émis en AM à double bande latérale et à porteuse conservée.
Exercice 2.
Nous allons étudier la démodulation du signal FM Sr (t). Pour cela, ce
signal est placé à l'entrée d'une boucle à verrouillage de phase PLL (Phase
Locked Loop) schématisée sur la gure 2.
Figure 2 Boucle à verrouillage de phase PLL .
La fréquence instantanée fe (t) du signal de sortie du l'oscillateur contrôlé
en tension VCO (Voltage Controlled Oscillator) est contrôlée par la tension
Vm (t) de sortie du ltre passe bas inclus dans la boucle. Quand la PLL est
accrochée de façon stable, on supposera que fe varie linéairement avec Vm(t)
et on notera KV CO la dérivée de fe par rapport à Vm (t). La caractéristique
fV CO (vm) est en outre centrée en fr , fréquence porteuse du signal Sr (t).
On supposera de plus dans le cas d'accrochage de la PLL que le comparateur de phase fournit à sa sortie VD (t) un signal proportionnel à la diérence
de phase entre Sr (t) et le signal e(t) produit par le VCO. On notera KΦ la
3
constante de proportionnalité (sensibilité du comparateur). Le ltre passe
bas a pour fonction de transfert F(p).
1. Quand la boucle est accrochée, que vaut fe ?
2. En quel point de la boucle recueille-t-on alors un signal proportionnel
au modulant m(t) ? Justier votre réponse.
3. Quelle doit-être la plage minimale de linéarité du VCO ?
4. Le comparateur est un circuit "ou exclusif". Etablir sa caractéristique
(avant d'être appliqués sur le comparateur, Sr (t) et e(t) sont mis sous
forme de signaux logiques en créneau compatibles avec la tension d'alimentation du "ou exclusif", de 0 V à VDD ).
5. Mettre la PLL sous forme de schéma bloc quand elle est accrochée et
qu'on prend comme entrée la transformée de Laplace ΦSr (p) de la phase
instantanée de Sr (t).
6. Calculer alors la fonction de transfert en boucle fermée T(p) liant la
transformée de Laplace de la sortie choisie à la question 2 à la transformée de Laplace Fr (p) de la fréquence instantanée du signal d'entrée.
Exercice 3.
On s'intéresse à une PLL numérique (gure 3) de structure classique
utilisant un OU exclusif comme comparateur de phase et un VCO couvrant
la plage allant de f1 à f2 :
Figure 3 Schéma du PLL numérique .
1. Ce comparateur de phase accepte un signal d'entrée carré ou sinusoïdal ?
2. Le ltre passe-bas R3 C2 sert à ltrer les petits parasites aectants le
signal ?
3. La boucle ne peut pas fonctionner en dehors de la plage allant de f1 à
f2 ?
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4. Si la fréquence à l'entrée est entre f1 et f2 la boucle peut se verrouiller ?
On s'intéresse à la forme des signaux, le siganl repéré A est le signal de
sortie produit par le VCO ( voir gure 4 ci-dessous)
Figure 4 chronogramme des signaux .
5. Le signal B est le signal d'entrée ?
6. Le signal C est le signal en sortie du comparateur de phase ?
7. La valeur moyenne du signal C est d'environ 1.2 V ?
8. Si on augmente la fréquence du signal d'entrée, la tension D diminue ?
9. Si on augmente la fréquence du signal d'entrée, la tension d'entrée du
VCO augmente.