1 Fonction de deux variables 2 Représentation graphique

Géométrie dans l’espace
Lycée Henri Matisse
Terminale ES-spécialité
[ Fonction de deux variables \
Courbes de niveau et optimisation
1 Fonction de deux variables
Exemple tiré d’un sujet du baccalauréat
Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectives x et y, exprimées en tonnes.
Le coût total de production z, exprimé en milliers d’euros, est donné par la relation
z = 2x 2 − 8x + y 2 − 6y + 18 avec x ∈ I = [0 ; 6] et y ∈ J = [0 ; 8] .
Associer à tout couple (x ; y) de quantités produites, avec x ∈ [0 ; 6] et y ∈ [0 ; 8] , un unique réel z , donnant le coût de
production, revient à définir une fonction f des deux variables x et y :
f:
I×J
(x ; y)
R
z = f (x ; y) , avec f (x ; y) = 2x 2 − 8x + y 2 − 6y + 18 .
−→
7−→
Définition 1
Étant donnés deux intervalles (ou toutes autres parties de R), définir une fonction f des deux variables x ∈ I et y ∈ J , c’est
associer à tout couple (x ; y) un unique réel z = f (x ; y) .
f:
I×J
(x ; y)
R
z = f (x ; y) .
−→
7−→
Exercice n°1
1. Calculer le coût total pour une production de 4 tonnes de savons et de 5 tonnes de bougies parfumées.
2. Déterminer la part fixe de ce coût total.
3.
(a) Montrer que pour tout x ∈ [0 ; 6] et tout y ∈ [0 ; 8] : f (x ; y) = 2(x − 2)2 + (y − 3)2 + 1 .
(b) En déduire la production de savons et de bougies parfumées donnant un coût minimal. Préciser ce coût.
2 Représentation graphique - Courbe de niveau
Définition 2
#» #» #»
La représentation graphique
d’une fonction
f de deux variables dans l’espace rapporté à un repère (O; i , j , k ) est l’en¡
¢
semble des points M x ; y ; f (x ; y) lorsque les variables x et y décrivent les intervalles I et J.
Dans la pratique en classe de terminale, cette représentation graphique est une surface S d’équation y = f (x ; y) .
La section de cette surface par le plan d’équation z = k est la courbe de niveau de cote k de la fonction f .
#» #» #»
Exemple Dans l’espace rapporté à un repère (O; i , j , k ) , la fonction coût total f est représentée ci-contre par la
surface S d’équation z = 2x 2 − 8x + y 2 − 6y + 18 , avec x ∈ [0 ; 6] et y ∈ [0 ; 8].
50-60
60
50
40-50
40
30-40
z 30
20-30
E
20
b
10-20
10
0
0
1
2
3
y
4
5
6
7
8
1
0
1
2
4
3x
5
6
0-10
Géométrie dans l’espace
Lycée Henri Matisse
Terminale ES-spécialité
Les courbes de niveau de cote z = k, pour k variant de 0 à 60 par pas de 10, sont les courbes frontières entre les zones
de couleurs différentes sur la surface.
Par exemple, la frontière entre les zones de couleurs verte et jaune est la courbe de niveau z = 20 .
Les lignes bleues sont obtenues par projection du maillage du plan (xOy) sur la surface.
La projection ci-dessous de la surface S sur le plan (xOy) correspond à une « vue de dessus » :
6
50-60
5
40-50
4
x
30-40
3
20-30
2
10-20
1
0-10
0
0
1
2
3
y
4
5
6
7
8
Exercice n°2
1. Le point A(3 ; 2 ; 3) appartient-il à la surface S ? Justifier.
2. Placer sur le graphique le point B d’abscisse 5 et d’ordonnée 2 qui appartient à S .
3. Déterminer les coordonnées du point E situé sur la surface S .
4. Donner par lecture graphique le coût total pour une production de 5 tonnes de savon et de 4 tonnes de bougies
parfumées. Vérifier par le calcul.
5. Déterminer un exemple de production donnant un coût total de 10 000 (.
6. Retrouver par lecture graphique la production donnant un coût minimal.
Remarque On définit de façon analogue les courbes de niveau d’abscisse k et les courbes de niveau d’ordonnée k
comme les sections de la surface S par les plans d’équations x = k et y = k .
3 Optimisation sous contrainte
Exercice n°3
La fabrication de x tonnes de savons et de y tonnes des bougies parfumées engendre la contrainte x + y = 5.
1. Quelle est la nature de l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient l’équation x + y = 5 ?
2. Vérifier que, sous la contrainte x + y = 5 , z peut s’écrire sous la forme z = g (x) avec g (x) = 3x 2 − 12x + 13.
3. Déterminer la valeur de x pour laquelle g admet un minimum puis la valeur de y et le coût de production z qui
correspondent. On note C le point de la surface S qui correspond à ce coût minimum.
4. Quelle est la nature géométrique de la projection orthogonale sur le plan (xOy) des points dont les coordonnées
vérifient la relation x + y = 5.
5. Construire cette projection sur le graphique donnant la projection de la surface
¡ S ¢sur le plan (xOy).
Placer sur cette figure 2 le point C1 , projeté orthogonal du point C sur le plan xOy .
Propriété 1
Lorsque les variables x et y sont liées par une relation linéaire de la forme ax + by = d , équation d’un plan P parallèle
à l’axe des cotes (Oz) , l’écriture de y en fonction de x (ou inversement) permet d’écrire f (x , y) en fonction d’une seule
variable x, soit f (x , y) = g (x) .
La représentation graphique de cette fonction g : x 7−→ z est la courbe C intersection de la surface S avec le plan P .
Optimiser la fonction f sous la contrainte ax +by = d , revient à déterminer l’extremum de la fonction g , représenté par
le sommet de la courbe C .
2