Examen du 31 août 2016, partie Probabilités

NOM
ANNEE
MATRICULE
N’oubliez surtout pas :
— de noter votre nom et matricule sur toutes les feuilles
— d’écrire lisiblement
— de justifier de manière claire et succinte tous vos raisonnements et calculs.
— que l’espace des réponses est limité au dos de cette feuille et à la feuille attachée (recto-verso).
Le brouillon hors de ces trois pages n’est pas limité, mais il ne sera pas pris en considération (il
ne sera pas lu).
Répartition des notes
Question 1
3
Question 2
1+2
Question 3
4
Total
10
UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES
Faculté des Sciences
Examen MATH-F-315, partie A : calcul de probabilités
le 31 août 2016
Enseignant : Maarten Jansen
1. Pour l’organisation de ses trajets, une compagnie de taxi a classé les rues principales
d’une ville en trois groupes : dans les rues classées importantes (A), représentant 20%
du total des rues, il passe un taxi en moyenne toutes les 2,5 minutes. Les rues classées
secondaires (B), ayant un intervalle moyen de 4 minutes, comptent pour 30% du total,
alors que les autres rues (C) sont desservies, toujours en moyenne, toutes les 6 minutes.
Evidemment les passages d’un taxi sont sujets à des fluctuations, de sorte que le temps
entre deux passages se caractérise par une perte de mémoire. Après une attente de 3
minutes dans une rue principale (A, B ou C) sans taxi, calculer la probabilité qu’un taxi
arrive dans une minute (ou moins).
2. a. Soit X une variable aléatoire mixte, et soit B la variable binaire indiquant si X
prend la valeur zéro : B = 0 quand X = 0 et B = 1 quand X 6= 0. Soit p la
valeur non nulle telle que p = P (B = 0) = P (X = 0). Pour les autres réels x, la
probabilité P (X = x) = 0. Montrer que
var(X) = [E(X|B = 1)]2 · p(1 − p) + p · var(X|B = 1)
Vous pouvez vous baser sur la règle var(X) = E[var(X|B)] + var[E(X|B)],
dans laquelle E(X|B) représente une variable aléatoire, un multiple de la variable
binaire : E(X|B) = E(X|B = 1) · B.
b. Pour les pertes économiques des embouteillages, une compagnie de transports
présume, par camion, un coût d’un euro par minute de retard. Un de ses camions
est utilisé pour un trajet quotidien (lundi jusqu’à vendredi, 200 jours ouvrables par
an), sur lequel le risque d’un embouteillage s’élève à 20%. Si un embouteillage
se présente, le retard moyen est de 12 minutes, avec un écart-type de 3 minutes.
Les embouteillages sont indépendants d’un jour à l’autre. Calculer l’espérance et
l’écart-type de la perte économique accumulée pendant une année (200 jours) pour
ce camion.
1
3. Les six graphiques ci-dessous représentent des courbes de niveaux de six lois bivariées
pour les variables (X, Y ). Les lignes diagonales représentent la droite y = x. (Evidemment, les courbes tracées ne sont qu’une sélection parmi le nombre infini de courbes de
niveaux possibles. Les courbes non représentées ont toujours le même aspect.)
a. Indiquer dans quels cas (a,b,c,d,e,f) les variables X et Y ont la même espérance.
D’où peut-on tirer cette conclusion ?
b. Indiquer dans quels cas (a,b,c,d,e,f) les variables X et Y ont la même variance.
D’où peut-on tirer cette conclusion ?
c. Indiquer dans quels cas (a,b,c,d,e,f) les variables X et Y sont indépendantes. D’où
peut-on tirer cette conclusion ?
d. Indiquer dans quels cas (a,b,c,d,e,f) la loi sous-jacente est certainement une loi
normale (gaussienne).
y
y
(a)
(b)
x
y
y
x
y
(d)
x
(c)
x
(f)
x
y
(e)
x
2
NOM
ANNEE
MATRICULE
corrigé
Question 1.
— Soient T l’événement (observé) que le temps d’attente dépasse 3 minutes, A l’événement
que la rue est classée primaire, B l’événement que la rue est secondaire, C l’événement
que la rue est tertiaire et S l’événement sous considération que le temps d’attente est plus
petit que 3+1=4 minutes.
— Loi de la probabilité totale, version a posteriori :
P (S|T ) = P (S|T, A)P (A|T ) + P (S|T, B)P (B|T ) + P (S|T, C)P (C|T ).
Alors, P (S|T, A) = P (X ≤ 4|X > 3), où X ∼ exp(λ = 1/2, 5). Donc, en utilisant la
perte de mémoire,
P (X ≤ 4|X > 3) = P (X ≤ 1) = 1 − exp(−λ1) = 1 − exp(−2/5)
De même, P (S|T, B) = 1 − exp(−4), et P (S|T, C) = 1 − exp(,
— Formule de Bayes :
P (A|T ) =
=
P (A)P (T |A)
P (A)P (T |A) + P (B)P (T |B) + P (C)P (T |C)
0, 2 · 2/5
= 0, 1245
0, 2 · 2/5 + 0, 3 · 5/8 + 0, 5 · 9/12
De même, P (B|T ) = 0, 2918 et P (C|T ) = 0, 5836.
— En mettant tout ensemble on trouve
P (S|T ) = 1/2 · 0, 1245 + 1/5 · 0, 2918 + 1/9 · 0, 5836 = 18,55% .
Question 2.
(a)
var(X) = E [var(X|B)] + var [E(X|B)]
= var(X|B = 0)P (B = 0) + var(X|B = 1)P (B = 1) + var [E(X|B = 1) · B]
= 0 + p · var(X|B = 1) + [E(X|B = 1)]2 · var(B)
= p · var(X|B = 1) + [E(X|B = 1)]2 · p(1 − p)
(b) Soit Xi la perte économique du jour i et X =
200
X
Xi .
i=1
En outre, soit B la variable binaire indiquant la présence d’un embouteillage (B = 0 s’il
n’y en a pas, et B = 1 s’il y en a un). Alors, E(Xi ) = 0, 2 · 12 euro = 12/5 euro, et
E(X) = 200 · 12/5 euro = 480 euro .
Pour la variance, var(Xi ) = E[var(Xi |B)] + var[E(Xi |B)], on se base sur le résulat de
la première partie de la question. var(Xi ) = 0, 2 · (3 euro)2 + 0, 2 · 0, 8 · (12 euro)2 =
24, 84 euro2 . Du coup, var(X) = 200 · var(Xi ) = 4968euro2 et σX = 70, 48 euro .
3
corrigé
Question 3.
(a) Les fonctions de densité étant symétriques, les espérances E(x) et E(Y ) sont les mêmes
si et seulement si le centre des courbes de niveaux (concentriques) se trouve sur l’axe
d’indentité y = x. Ceci est le cas dans les graphiques (c), (e) et (f).
(b) Les variances var(X) et var(Y ) sont les mêmes si et seulement si un des axes principaux
des ellipses coı̈ncide avec l’axe y = x. Les cas où les courbes de niveaux sont des cercles
vérifient toujours cette condition. On a donc une réponse positive pour les graphiques (a),
(d), (e) et (f).
(c) Les variables X et Y sont indépendantes si les axes principaux des ellipses sont parallèles
aux axes x = 0 et y = 0. Les cas où les courbes de niveaux sont des cercles vérifient
toujours cette condition. L’indépendance est donc vérfiée aux cas des graphiques (a), (c),
et (e).
(d) La normalité (gaussiennité) des densités n’est jamais verifiable depuis quelques courbes
de niveaux avec certitude absolue.
4