Connaissances attendues Savoirs

Mathématiques - A. ZORIC
ECE1 Lycée Claude Monet 2016 - 2017
Programme de colle n◦ 2:
Semaines 3 et 4
Connaissances attendues
Chapitre 1 : Le langage mathématique
Se reporter au programme de colle n˚1.
Chapitre 2 : Calculs dans R
Se reporter au programme de colle n˚1.
Chapitre 3 : Généralités sur les fonctions réelles
• Généralités sur les fonctions : ensemble de définition, composée de deux fonctions réelles, monotonie, représentation graphique, caractère majoré, minoré, parité, extrema globaux et locaux, notion
intuitive de limite d’une fonction en un point/ en ±∞ ;
• Fonctions usuelles : fonction affine, fonction trinôme du second degré, fonction cube, fonction
racine carrée, fonction inverse, fonction exponentielle, fonction logarithme népérien, fonction puissance entière, fonction puissance un réel quelconque, fonction valeur absolue, fonction partie entière,
fonction polynomiale réelle, fonction rationnelle réelle.
Chapitre 4 : Généralités sur les suites réelles
• Généralités sur les suites réelles : définition d’une suite réelle, différentes manières de générer les
termes d’une suite et donc de définir une suite réelle, caractère borné, majoré, minoré d’une suite
réelle, monotonie d’une suite réelle (rappels de lycée)
• Rappels de lycée concernant les suites arithmétiques et géométriques.
Savoirs-faire attendus
• Tous les savoirs-faire précisés dans le programme de colle précédent sont encore au programme.
• Les élèves doivent être capables de déterminer les ensembles de définition des fonctions construites à
l’aide des fonctions usuelles (affine, trinôme du second degré, exponentielle, logarithme népérien, valeur absolue, racine carrée et fonction inverse), en résolvant minutieusement les équations/inéquations
associées.
• Les élèves doivent être capables de déterminer le sens de variation de fonctions simples construites
à partir des fonction précitées, en utilisant, au choix, l’une des trois méthodes vues en classe :
(i) Reconnaı̂tre une composée ou une somme de fonction monotones
(ii) Utiliser directement la définition d’une fonction croissante/décroissante et manipuler des
inégalités
(iii) Dériver la fonction (en justifiant son caractère dérivable sur l’intervalle considéré) et étudier
le signe de la dérivée.
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Mathématiques - A. ZORIC
ECE1 Lycée Claude Monet 2016 - 2017
• Les élèves doivent être capable de tracer très rapidement les courbes représentatives des fonctions
usuelles et donner leur tableau de variations complet, ainsi que les courbes représentatives des
fonctions de la forme x 7→ f(x − a) + b où a et b sont deux réels, et f une fonction usuelle.
• Les élèves doivent être capable de montrer le caractère (non) borné/ majoré/ minoré/ pair/ impair
de fonctions réelles à valeurs simples, construites à l’aide des fonctions usuelles.
• Les élèves doivent être capables d’étudier les variations de suites réelles simples, définie de manière
explicite, ou définie à l’aide d’une relation de récurrence.
Remarques générales
• Les élèves doivent faire preuve d’une connaissance précise et parfaite de toutes les définitions/propositions
contenues dans les chapitres 1, 2 et 3. La colle débutera par une ou deux questions de cours à réponse
rapide. Dans le cas où l’élève ne répond pas correctement à ces questions de cours, on
attribuera à l’élève une note inférieure ou égale à 08/20, quelque soit le déroulement
ultérieur de la colle.
• On pourra demander aux élèves de mobiliser leurs connaissances afin de créer/reproduire des
exemples simples illustrant les points fondamentaux du cours.
• On évitera de faire résoudre aux élèves des exercices où la prise d’initiative est conséquente : les
exercices proposés devront être de niveau modeste.
• On attachera de l’importance à la rigueur de la démonstration, aussi minime soit cette démonstration.
Toutes les variables apparaissant au cours des raisonnements devront être proprement introduites,
chaque étape des raisonnements devra être proprement justifiée.
• Toute confusion concernant les notions élémentaires relatives aux ensembles (ensembles de nombres
usuels, union, intersection, partie, appartenance, inclusion) sera lourdement sanctionnée.
Connaissances non exigibles
• Aucune connaissance ”poussée” concernant la dérivation des fonctions réelles ne sera attendue (par
exemple, pas de formule de dérivation d’une fonction composée, pas d’étude de la dérivabilité à droite
et à gauche,...) A ce sujet, on se contentera d’interroger les élèves sur le programme du secondaire,
et notamment les formules de dérivation usuelles et l’équation de la tangente en a d’une fonction
dérivable en a.
• Les notions usuelles concernant les applications (image réciproque, injectivité, surjectivité) n’ont
pas été abordées en cours.
• En ce qui concerne les fonctions polynomiales et rationnelles réelles, seules les définitions et quelques
exemples simples ont été abordés, ainsi que la définition d’une racine réelle d’une fonction polynomiale réelle.
• Les suites dites arithmético-géométrique et vérifiant une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 à
coefficients réels constants ne sont pas au programme de ces deux semaines de colle.
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