Chapitre 11. Gravitation universelle

CHAPITRE 11.
UNIVERSELLE
LA
GRAVITATION
1. Caractère universel de la gravitation.
La légende de la pomme de Newton dit que c'est en
voyant tomber une pomme que Newton eut l'idée de
la « gravitation universelle ». Au VIIe siècle, le mot
gravité signifie « peser », « être lourd ». A cette
époque, on considère que seuls les objets terrestres
(situés à la surface de la Terre) ont cette propriété
de peser, d'être attirés par la Terre.
Contrairement à ceux-ci, les objets célestes tels que
la Lune ou les planètes semblent échapper à cette
gravité, car en apparence ils ne tombent pas. Le
raisonnement tenu par Newton le mène à affirmer
que les objets célestes sont également pesants. La
gravité est donc universelle, car elle agit sur les
objets célestes et les objets terrestres.
Selon Newton, la Lune, tout comme la pomme, tombe
sur la Terre (figure 11.1). Sous l'effet de la gravité
une pomme lâchée à la surface de la Terre s'en
approche: la distance entre la Terre et la pomme
diminue. Qu'en est-il de la Lune? Si l'on se réfère
au principe d'inertie, le mouvement naturel d'un
corps en l'absence de force exercée consiste à
poursuivre son mouvement rectiligne uniforme.
Ainsi, la Lune passant à proximité de la Terre devrait
poursuivre une trajectoire rectiligne et donc s'en
écarter. Or, nous observons que la Lune reste à la
même distance de la Terre. Elle est donc «tombée»
comme le montre la figure (11.1).
Figure. 11.2. Chute de la Lune et de la pomme sur la Terre.
2. Mouvement d'une planète autour du Soleil.
Considérons une planète de masse m tournant
autour du Soleil. L'excentricité de l'orbite de celleci étant relativement faible (voir lois de Kepler),
nous pouvons supposer avec une bonne approximation
que le mouvement de celle-ci est un mouvement
circulaire de rayon R parcouru avec une vitesse
d'intensité constante v . La planète animée d'un tel
mouvement subit une accélération centripète ac
causée par une force centripète
Newton est la force de gravitation
Fc qui selon
Fg .
Figure. 11.3 mouvement d'une planète autour du Soleil.
La loi fondamentale de la dynamique nous permet
d'écrire
Figure. 11.1 Chute de la Lune et de la pomme sur la Terre.
D'autre part, lancée avec une vitesse suffisante, une
pomme aura le même mouvement que celui de la Lune.
Si nous lançons un objet à la surface de la terre avec
une vitesse de plus en plus grande, l'objet parcourt
une distance de plus en plus grande avant de toucher
la surface de la Terre. Si la vitesse est suffisante,
la surface courbe de la Terre se dérobe aussi
rapidement que l'objet tombe.
F g =F c =m⋅a c
(11.1)
En se référant aux relations de la cinématique du
mouvement circulaire uniforme (
v=2 R/ T ) , il vient
2
a c =v / R et
Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 – Page 1/7
 
2
2 R
m
2
2
T
4 m R (11.2)
m⋅v
F g=
=
=
R
R
T2
universelle égale à 6,67 10-11 N kg-2 m2.
Or selon la troisième loi de Kepler, le carré de la
période de révolution est proportionnel au cube du
rayon moyen de l'orbite. Ce qui s'écrit
2
T
2
3
=cst ⇔ T = cst⋅R
3
R
(11.3)
En introduisant l'expression (11.3) dans (11.2), on
obtient
2
F g=
4 m R
T
2
2
=
4 m R
cst R
3
= cst '
m
(11.4)
2
R
2
4  / cst étant une constante, notons
la simplement cst ' . Dès lors,
Le quotient de
F g =cst '
mp
R
2
(11.5)
Cette dernière relation montre que la force
d'attraction entre une planète et le Soleil est
proportionnelle à la masse de la planète et
inversement proportionnelle au carré de la distance
séparant la planète du Soleil.
4. Loi de la gravitation universelle.
Entre deux corps matériels quels qu'ils soient, il
s'exerce une force attractive dont l'intensité est
proportionnelle au produit des masses des deux
corps et inversement proportionnelle au carré de la
distance séparant les deux corps.
Figure. 11.4. Loi de la gravitation.
Cette force d'attraction
• est universelle: s'exerce partout dans
l'univers;
• a une portée illimitée : elle s'exerce toujours
même si les objets sont très éloignés;
• décroit rapidement avec la distance : si la
distance double, l'intensité de la force est
divisée par quatre;
• est de faible intensité: pour que la force ait
un effet observable, il faut qu'une des deux
masses au moins soit très grande;
• est indépendante du milieu: la nature du
milieu dans lequel sont les corps (air, vide,
eau, ...) n'a pas d'effet sur l'intensité de la
force.
5. Constante de la gravitation universelle.
En 1798, le physicien Cavendish a conçu un dispositif
permettant de mesurer la constante de la gravitation
universelle.
Le système est appelé pendule de
torsion et est illustré ci-dessous.
Autrement dit
F g =G
m 1⋅m 2
d
2
(11.6)
où
•
•
•
•
Fg est l'intensité de la force
gravitationnelle exprimée en N,
m 1 , m 2 sont les masses des deux corps
exprimées en Kg,
d est la distance séparant les deux corps
exprimée en m
G est la constante de la gravitation
Figure. 11.5. Pendule de torsion de Cavendish.
Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 – Page 2/7
Deux petites sphères sont accrochées aux deux
extrémités d'une barre rigide suspendue en son
centre à un fil de quartz. Lorsque deux grosses
sphères sont approchées des petites sphères, la
barre tourne sous l'effet de la force de gravitation.
Or l'angle de torsion du fil est proportionnel à
l'intensité de la force exercée.
Connaissant les
propriétés du fil, on peut déterminer l'intensité de
la force en mesurant l'angle de torsion. Cavendish a
obtenu G = 6,75 10-11 N m2 kg-2, résultat très proche
de la valeur actuellement admise.
4. Applications.
4.1. Mesure de la masse de la Terre.
Ayant déterminé la valeur de la constante G de la
gravitation universelle, Cavendish put calculer la
masse M de la Terre. En effet, considérons un
objet de masse m à la surface de la Terre. La force
de gravitation Fg exercée sur cet objet est
F g =G
m⋅M
2
rT
(11.7)
où rT est le rayon du globe terrestre.
dans cette expression.
M=
2
T
F g⋅r
m⋅G
une force centripète gravitationnelle.
F c =F g =G
m⋅M
2
R
(11.11)
Or l'intensité de la force centripète peut s'exprimer
à partir de la loi fondamentale de la dynamique et de
l'expression de l'accélération centripète tirée de la
cinématique du MCU (voir relation 11.3).
2
F c=
m 4 R
T
(11.12)
2
En égalant (11.11) à (11.12) et en isolant M, on obtient
2
G
2
4 R
m M m 4 R
=
⇔M=
2
2
2
R
T
GT
3
(11.12)
En introduisant dans cette dernière relation les
données relatives à l'orbite de la Terre (R = 150 10 6
km et T = 365,25 j), on peut calculer la masse du
Soleil.
Isolons M
2
M Soleil ≃
9 3
4 15010 
−11
6,67 10
30
365,25⋅24⋅3600
2
≃2,0⋅10 kg
(11.8)
Or la force de gravitation sur un objet de masse m à
la surface de la Terre est égale au poids de cet
objet. Donc en remplaçant Fg par P = mg dans (11.8),
on obtient
2
2
2
m⋅g⋅r T g⋅r T
M=
=
m⋅G
G
4.3. Calcul de la vitesse orbitale d'un Satellite
En égalant les expressions de la force centripète et
de la force gravitationnelle pour un satellite animé
d'un MCU de rayon R autour d'un astre de masse M,
on obtient une expression de la vitesse orbitale v.
(11.9)
Le rayon de la Terre étant environ égal à 6400 km,
on obtient la masse de la Terre.
6 2
9,81⋅6,410 
24
M≃
≃6,02⋅10 kg (11.10)
−11
6,67 10
4.2. Mesure de la masse du Soleil.
Considérons un satellite de masse m animé d'un MCU
autour d'un astre centrale de masse M.
La
connaissance du rayon R de l'orbite et de la période
de révolution T permet de calculer la masse M de
l'astre central.
Le satellite étant animé d'un MCU, il s'exerce sur lui

mv
m⋅M
G⋅M
F c =F g ⇔
=G
⇔v=
2
R
R
R
(11.13)
5. Champ gravitationnel.
5.1. Notion de champ.
En mécanique classique, la notion de champ est
introduite pour comprendre l'interaction à distance.
Une pomme située à proximité de la Terre est
attirée à distance par celle-ci car il existe autour de
la Terre une propriété appelée champ gravitationnel
qui « informe » la pomme de cette attraction. Vu
sous cet angle, il n'y a plus interaction directe entre
la pomme et la Terre mais entre la pomme et le
champ gravitationnel engendré par la Terre. Dans
cet exemple, la Terre est la « source » du champ
gravitationnel et la pomme en est le « témoin ». Le
Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 – Page 3/7
champ gravitationnel existe autour de la Terre en
l'absence de la pomme, mais la présence de celle-ci
est nécessaire pour le révéler. Comme, le champ
engendré par un objet source « informe » l'objet
témoin de la direction, du sens et de l'intensité de la
force gravitationnelle exercée par la source sur le
témoin, le champ est nécessairement une grandeur
vectorielle.
5.2 Définition.
Considérons un objet de masse m situé en un point de
l'espace et soumis à une force gravitationnelle
Fg ,
le champ gravitationnel 
g à l'endroit où se trouve
l'objet (témoin de l'existence du champ) est défini
par le rapport
g =
Fg
m
(11.14)
D'après cette définition, le champ gravitationnel a la
même orientation que la force exercée sur le témoin
et son unité est le N/kg où le m/s2.
5.3. Champ gravitationnel autour d'un objet
sphérique homogène.
Soit un objet de masse M de forme sphérique et de
densité homogène source d'un champ gravitationnel
(figure 11.6). Considérons un objet témoin de masse
m situé à une distance d du centre de M.
Figure. 11.7. Champ gravitationnel autour d'un objet
sphérique de densité homogène.
5.4. Champ gravitationnel à la surface d'un astre.
Considérons une région de l'espace de faible étendue
située à la surface d'un astre.
Si la région
considérée est suffisamment petite, le champ
gravitationnel varie faiblement suivant l'endroit
considéré, on dit que celui-ci est uniforme. En tout
point, le champ est vertical, orienté vers le bas et d'
intensité égale à
g=G
M
2
r
(11.16)
où M et r correspondent à la masse et au rayon de
l'astre.
Figure. 11.6. Champ gravitationnel.
La loi de la gravitation universelle (11.6) et la
définition du champ (11.14) nous permettent de
déterminer l'intensité g du champ
g= F g / m=G
Mm
M
/ m=G 2
2
d
d
(11.15)
L'intensité du champ gravitationnel est donc
proportionnelle à la masse de l'objet source et
inversement proportionnelle au carré de la distance
entre le point considéré et la source du champ. En
tout point, le champ gravitationnel pointe vers le
centre de l'astre source.
Figure. 11.8. Champ gravitationnel uniforme à la surface
d'un astre.
Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 – Page 4/7
Exemple numérique
Calculons l'intensité du champ gravitationnel à la
surface de la Terre à l'aide de la relation (11.6).
Par conséquent, la différence d'énergie potentielle
entre les points A et B est
 B
24
M
−11 6 10
g=G 2 ≃6.67 10
≃9,8 N / kg
6 2
r
6,4 10 
6. Energie potentielle gravitationnelle.
Considérons un corps de masse m placé dans un
champ de gravité 
g . La différence d'énergie
potentielle de la masse m entre les points A et B est
égale au travail qu'il faut effectuer pour déplacer le
corps du point A au point B.
 B
p
 A
p
 E p=E −E =W A  B
(11.17)
6.1. Cas d'un champ gravitationnel uniforme.
Supposons qu'un corps de masse m est placée dans
un champ gravitationnel uniforme 
g vertical dirigé
vers le bas. Pour déplacer le corps d'un point A à un

point B, il faut exercer sur le corps une force F
constante opposée au poids et déplacer le point
d'application de celle-ci entre les points A et B.
Figure 11.9. Travail pour déplacer une masse m dans un
champ uniforme.
La force exercée étant constante, le travail
effectué est égal au produit scalaire de la force et
du déplacement
W A  B = F g⋅
 r=P. r.cos 
(11.18)
Or, le produit  r.cos  est égal à la différence des
hauteurs h B −h A et le poids est égal au produit
mg . Le travail est alors égal à
W A  B =mg  h B−h A 
 A
E p − E p =mg h B−h A
(11.19)
(11.20)
En supposant que l'énergie potentielle est nulle pour
un point A situé au niveau du sol (c-à-d pour une
hauteur h A =0 ), on trouve la formule de l'énergie
potentielle d'un corps m situé à une hauteur h au
dessus du sol dans un champ gravitationnel uniforme
E p =mg h
(11.21)
6.2. Cas d'un champ gravitationnel autour d'un objet
sphérique homogène.
Supposons qu'un corps de masse m est placé dans un
champ gravitationnel 
g créé par un objet sphérique
homogène de masse M. Pour déplacer le corps d'un
point A à un point B, il faut exercer sur le corps une
force
 opposée à la force gravitationnelle Fg et
F
déplacer le point d'application de celle-ci entre les
points A et B.
Figure 11.10. Travail pour déplacer une masse m dans le
champ gravitationnel d'un objet sphérique homogène.
Ici, l'intensité de la force
Fg dépend de la distance
r séparant les centres des masses M et m. Pour
pouvoir calculer le travail, nous devons progresser
par étapes successives suffisamment petites pour
que l'intensité de la force puisse être supposée
constante.
W A  B =W A = A  A W A  A ...W A
1
W A  B =∑ W i
2
2
3
N−1
 A N= B
(11.22)
Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 – Page 5/7
Sur chaque étape l'intensité de la force varie de
F i =G
mM
2
ri
F i 1=G
à
mM
2
r i1
(11.23)
Une valeur moyenne de la force à exercer sur l'étape
i est
F mi =
GmM
r i r i 1
(11.24)
Pour chaque étape i, il faut alors effectuer un travail
GmM
r −r 
r i r i1 i1 i
r −r
1
1
W i =GmM i 1 i =GmM  −

r i r i 1
r i r i1
W i=F mi  r i=
(11.25)
Le travail total est égal à la somme des travaux des
différentes étapes
W A  B =GmM

1 1 1 1
1
1
−  − ...
−
r1 r2 r2 r3
r N −1 r N
W A  B =GmM



1 1
1 1
−
=GmM
−
r1 r N
rA rB
(11.26)


La différence d'énergie potentielle est dès lors
 B
 A
E p − E p =GmM

1 1
−
r A rB

(11.27)
On suppose généralement que l'énergie potentielle
est nulle en un point B infiniment éloigné de M (
r B  ∞ ).
On peut alors déterminer l'énergie
potentielle en A
 A
0− E p =GmM
 
1
 A  −GmM
−0 ⇔ E p =
(11.28)
rA
rA
L'énergie potentielle d'un objet de masse m situé à
une distance r d'un objet sphérique de masse M est
E p=
−GmM
r
(11.29)
Attribuer une valeur nulle à l'énergie potentielle
lorsque la distance est infinie implique que celle-ci
est négative lorsque la distance est finie.
Figure 11.11. Energie potentielle en fonction de la distance.
6.3. Vitesse de libération
On appelle vitesse de libération d'un astre, la vitesse
minimale qu'il faut communiquer à un objet situé à sa
surface pour qu'il échappe à l'attraction de l'astre.
Le principe de conservation de l'énergie mécanique
(somme des énergies cinétique et potentielle)
permet de déterminer cette vitesse. En effet, en
l'absence de frottements, l'énergie mécanique à la
surface de la Terre d'un objet m lancé à la vitesse
de libération vlib est la même que celle du même objet
ayant une vitesse nulle à un distance infinie de la
Terre. L'énergie mécanique de l'objet est donc nulle
à l'infini et à la surface de la Terre. En tenant
compte de la relation (11.29), nous pouvons écrire
2
mv
GmM
E m=E c E p= lib −
=0
2
r
(11.30)
En isolant la vitesse de libération vlib, on obtient
v lib =

2GM
r
(11.31)
où M et r désignent la masse et le rayon de l'astre.
Exemple numérique
La vitesse de libération de la Terre est


−11
2GM
2⋅6,67 10 ⋅6 10
≃
6
r
6,4 10
3
vlib ≃11,2 10 m / s≃40200 km/ h
v lib =
24
Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 – Page 6/7
7. Apesanteur
Lorsque l'on parle de l'apesanteur, on s'imagine
généralement un cosmonaute flottant dans sa cabine
en orbite autour de la Terre. Au sens littéral, le
t e r m e « a-pesanteur » s i g n i f i e « absence de
pesanteur ». Cette appellation est ambigüe car elle
suggère que le cosmonaute dans sa cabine n'est plus
soumis à la gravité. Ceci n'est évidemment pas le
cas, car en l'absence de gravité le cosmonaute
s'éloignerait indéfiniment de la Terre en poursuivant
son mouvement rectiligne uniforme.
Le terme
apesanteur signifie qu'en apparence, dans la cabine,
tout se passe comme si il n'y avait pas de pesanteur.
Le terme apesanteur fait référence à la notion de
poids apparent d'un objet c-à-d la grandeur mesurée
à l'aide d'une balance (graduée en N). Pour éviter
les confusions, appelons force gravitationnelle (au
lieu de poids) la force d'attraction entre l'astre et
un corps dans son voisinage.
Cas d'un homme debout dans un ascenseur
accélérant vers le bas.
Plaçons l'homme et la balance dans un ascenseur
(figure 11.13) qui accélère vers le bas avec une
accélération a.
L'accélération de l'homme étant
identique, la loi fondamentale de la dynamique
appliquée à l'homme permet de déterminer
l'intensité du poids apparent de celui-ci. En effet,
F r=F g −R=ma ⇔ R=F g−ma
(11.33)
Cette dernière relation montre que l'intensité du
poids apparent R est plus petite que celle de la force
de gravitation.
Cas d'un homme à la surface de la Terre.
Considérons un homme debout sur une balance à la
surface de la Terre (figure 1212). L'homme étant à
l'équilibre, le plateau de la balance exerce une force

R sur celui-ci opposée à la force gravitationnelle
notée
Fg entre l'homme et la Terre.
F r=F g −R=0⇔ R=F g
(11.32)
En vertu du principe d'action-réaction, l'homme
exerce une force
Pa sur le plateau de la balance.
L'intensité Pa de cette force mesurée par la balance
est le poids apparent de l'homme. Puisque les forces
Pa et R ont la même intensité, désignons par R
l'intensité du poids apparent de l'homme. Dans ce
cas, la force gravitationnelle et le poids apparent ont
même intensité.
Figure 11.13. Poids apparent dans un ascenseur accélérant
vers le bas et en chute libre.
Cas d'un homme debout dans un ascenseur en chute
libre
Coupons le câble qui maintient la cage de l'ascenseur
(figure 11.13). L'homme et l'ascenseur tombent alors
en chute libre avec une accélération d'intensité g. A
partir de (11.33), on vérifie que le poids apparent est
nul.
R=F g −ma=mg− mg=0
(11.34)
L'homme est donc en apesanteur.
Figure 11.11. Poids apparent à la surface de la Terre.
Cas d'un homme en orbite dans une capsule spatiale
En orbite autour de la Terre, la capsule et l'homme
ont une accélération d'intensité g égale au champ
gravitationnel à l'endroit de la capsule. La relation
(11.34) montre que le poids apparent est également
nul. L'homme est également en apesanteur.
Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 – Page 7/7