Franck BOYER , Stella KRELL , Flore NABET
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Franck BOYER , Stella KRELL , Flore NABET
Stabilité Inf-Sup du schéma DDFV pour le problème de Stokes 2D 1 BOYER , Franck Stella 2 KRELL , Flore 1 NABET 1 Aix-Marseille Université, 2 Université de Nice [franck.boyer,flore.nabet]@univ-amu.fr, [email protected] On propose un schéma DDFV (D ISCRETE D UALITY F INITE VOLUME) pour le problème de Stokes : Trouver u : Ω → R2 et p : Ω → R, −∆u + ∇p = f , dans Ω, div(u) = 0, dans Ω, Z (P) 1 p(x)dx = 0; u = 0, sur ∂Ω, m(p) = |Ω| Ω Ω ouvert polygonal borné connexe de R2, f ∈ (L2(Ω))2. • Inf-Sup inégalité : Z pdiv(v) Ω > 0. β = inf sup p∈L2(Ω) v∈(H 1(Ω))2 kvkH 1 kp − m(p)kL2 Principales questions : 1. Bien posé : Pour un maillage donné, a-t-on βT > 0 ? 2. Stabilité : Pour une famille de maillages, a-t-on lim inf βT > 0 ? size(T )→0 2. Formulation comme un problème de valeurs propres • Quelques matrices utiles : Rigidité RT : (RT uT , vT ) = (∇DuT : ∇DvT )D, Divergence BT : (BT vT , pD) = (divDvT , pD)D, Masse en pression MT : (MT pD, q D) = (pD, q D)D. 0 1. Cadre DDFV Lemme : Relation avec le complément de Schur • Maillages DDFV : primal, dual et ”diamant”. βT 2 = la seconde plus petite valeur propre de la matrice ST − 12 L∗ xL − 21 = λ2(ST ) où ST = MT BT RT−1tBT MT . xL∗ xK L 1 K∗ K Remarque : p̄D = MT2 1 ⇒ ST p̄D = 0 ⇒ λ1(ST ) = 0. xK∗ Maillage diamant D Maillage dual M∗ Maillage primal M • Zoom sur les cellules diamants : (supposées convexes) ~ nσK ~ τK,L ~ τK∗ ,L∗ mσ ~ nσ∗ K∗ Définition : Mode en damier Le mode en damier ψ D est défini par : D ψ = +1 si l’arête primale de D est horizontale, ψ D = −1 si l’arête primale de D est verticale. Remarque : m(ψ D) = 0 et kψ DkD,2 = 1. Théorème : Maillage cartésien uniforme Soit T un maillage cartésien uniforme, alors : (divDvT , ψ D)D = 0, ∀vT ∈ E0. Théorème : Maillage cartésien non conforme Soit T un maillage cartésien non conforme (cas 5 et 6), alors il existe C1, C2 > 0 (indépendantes de size(T )) telles que : ! 1 1 (divDvT , ψ D)D 2. C1size(T ) 2 ≤ sup ≤ C size(T ) 2 |||∇DvT |||D,2 vT ∈E0 4.2 Résultats numériques • Comparaison des valeurs propres de ST avec : m(pD)=0 • Méthode numérique : Méthode d’itération de sous-espaces avec projection de Rayleigh-Ritz. Résolution d’un problème de Stokes à chaque itération. xK ∗ xK Preuve : Manipulations algébriques à partir de la formule : ! (BT vT , pD) βT = inf sup . 1 1 pD∈RD vT ∈E0 (RT vT , vT ) 2 (MT pD, pD) 2 4.1 Inf-Sup instabilité fT = β inf pD∈{ψ D}⊥ (divDvT , pD)D sup D T D D vT ∈E0 |||∇ v |||D,2kp − m(p )kD,2 Cas 5 100 ! . Cas 6 100 αD xL mσ∗ 3. Stabilité Inf-Sup inconditionnelle xL∗ 10−1 Cas 2 Cas 1 • Inconnues discrètes : D D p = p D∈D ∈ RD, T u = ∗ uM, uM ∈ R2 T 10−2 −3 10 ∗ M M où u = (uK)K∈M∪∂M, u = (uK∗ )K∗∈M∗∪∂M∗ . • Gradient discret : ∇D est constant sur chaque diamant, Maillage triangles conforme Maillage triangles non conforme Cas 3 Cas 4 ∇D uT .(xL − xK) = uL − uK, ∇D uT .(xL∗ − xK∗ ) = uL∗ − uK∗ , uL − uK uL ∗ − uK ∗ 1 D T ⊗~ nσ ∗ K ∗ . ⊗~ nσK + ∇ u = sin(αD ) mσ∗ mσ 10−1 pente 0.5 β pT λ3(S) fT β 10−2size(T )10−1 pente 0.5 β pT λ3(S) fT β 10−2 −3 10 100 10−2size(T )10−1 100 =⇒ Instabilit p é mais il y a un unique mode instable. fT ∼ λ3(ST ). =⇒ β =⇒ ψ D bonne approximation du mode instable. • Modes instables : Cas 5 Cas 6 • Divergence discrète sur le maillage diamant : divD uT = Tr(∇D uT ), ∀D ∈ D. Maillage en ”damier” Maillage avec interfaces tri./rect. Maillages Inf-Sup stables • Divergence discrète sur les maillages primal et dual : 1 X D K D div ξ = m ξ ~ nσK, ∀ K ∈ M, σ mK σ⊂∂ K divT (ξ D) = 1 X ∗ D D K ∗. ∗ ∗ ∗ ∗ div m ξ = ξ ~ n , ∀ K ∈ M σ σ K mK∗ σ ∗⊂∂ K∗ ∇T pD = divT (pDId). Gradient de pression Théorème : Soit T une famille régulière de maillages triangles conformes (cas 1) ou de triangles non conformes (cas 2) ou de maillages ”en damier” (cas 3). Il existe βT > 0 (indépendante de size(T )) telle que pour tout pD ∈ RD, ! DvT , pD) (div D βT kpD − m(pD)kD,2 ≤ sup . D T |||∇ v |||D,2 vT ∈E0 • Produits scalaires discrets et normes associées : Pour pD, q D ∈ RD et ξ D, φD ∈ (M2(R))D, 1 P D D D D D D D 2 , (p , q )D = mD p q , kp kD,2 = (p , p )D P D D (ξ : φ )D = mD Tr(tξ D φD ), D∈D 1 Triangles conformes, Cas 1 Triangles non conformes, Cas 2 ”Damiers”, Cas 3 Interfaces triangles/rectangles, Cas 4 βT D∈D 100 2 |||ξ D|||D,2 = (ξ D : ξ D)D . 10−1 −2 10 10−1 size(T ) 100 1 2 D,2 ≤ Csize(T ) , 5. Conjectures Cas 5 Cas 6 Les tests numériques semblent montrer que la méthode DDFV est, en général, Inf-Sup stable. En particulier, on observe la stabilité dans les cas suivants : • Constante Inf-Sup discrète associée : pD∈RD Théorème : Asymptotique des modes instables Soit T un maillage cartésien non conforme, il existe C > 0 (indépendante de size(T )) telle que : 4. Stabilité Inf-Sup de codimension 1 n o T où E0 = uT ∈ R2 : ∀K ∈ ∂M, uK = 0, ∀K∗ ∈ ∂M∗, uK∗ = 0 . inf Théorème : Soit T un maillage cartésien, il existe βT > 0 (indépendante de size(T )) telle que pour tout pD ∈ RD vérifiant (pD, ψ D)D = 0 : ! DvT , pD) (div D βT kpD − m(pD)kD,2 ≤ sup . D T |||∇ v |||D,2 vT ∈E0 où q D est le mode propre instable observé numériquement. D∈D βT = 4.3 Inf-Sup stabilité de codimension 1 kq D − ψ Dk • Schéma Stokes-DDFV : Trouver uT ∈ E0 et pD ∈ RD tels que : T D uT ) + ∇ T p D = f T , −div (∇ divDuT = 0, P D D m(p ) = m p = 0. D (divDvT , pD)D sup D T D D vT ∈E0 |||∇ v |||D,2kp − m(p )kD,2 Pas de formule explicite pour ces modes !! • Maillages quadrangles conformes assez proches des rectangles. ! Maillage bidomaine Maillage localement rafffiné Maillages cartésiens non conformes • Maillages conformes composés de triangles et de rectangles (cas 4). References [1] F. B OYER , S. K RELL ET F. N ABET, Inf-Sup stability of the Discrete Duality Finite Volume method for the 2D Stokes problem, soumis, http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00795362, 2013. [2] M. D OBROWOLSKI, On the LBB condition in the numerical analysis of the Stokes equations, Applied Numerical Mathematics, Vol. 54, Issue 3-4, 314–323, 2005. [3] T. G ALLOU ËT, R. H ERBIN ET J.C. L ATCH É, W 1,q stability of the Fortin operator for the MAC scheme, Calcolo, Vol. 49, Issue 1, 63–71, 2012. [4] S. K RELL, Stabilized DDFV schemes for Stokes problem with variable viscosity on general 2D meshes, Num. Meth. for PDEs, Vol. 27, Issue 6, 1666–1706, 2011. [5] D.S. M ALKUS, Eigenproblems associated with the discrete LBB condition for incompressible finite elements, International Journal of Engineering Science, Vol. 19, Issue 10, 1299–1310, 1981.